【愛媛県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験

愛媛県の2022年3月実施の令和4年度(2022年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

 

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大問1

問題文

次の計算をして、答えを書きなさい。

1 -3-6

2 (2x-5y)/3+(x+3y)/2

3 (3x²y-2xy²)÷xy

4 √10/√2-(√5-2)²

5 (a-3)(a+3)+(a+4)(a+6)

 

解答

【解答】

1 【正答 -9】 

2 【正答 (7x-y)/6】 

3 【正答 3x-2y】

4 【正答 5√5-9】

5 【正答 2a²+10a+15】

 

【解説】

2 (与式)={2(2x-5y)+3(x+3y)}/6=(4x-10y+3x+9y)/6=(7x-y)/6 

3 (与式)=3x²y/xy-2xy²/xy=3x-2y

4 (与式)=√5-(5-4√5+4)=5√5-9

5 (与式)=a²-9+a²+10a+24=2a²+10a+15

 

大問2

問題文

次の問いに答えなさい。

1 二次方程式5x²+4x-1=0を解け。

 

2 次の図で、l//mのときの、∠xの大きさを求めよ。

3 次の表は、A中学校の1年生30人とB中学校の1年生90人について、ある日の睡眠時間を調べ、その結果を度数分布表に整理したものである。この表から分かることを述べた文として正しいものを、次のア~エから1つ選び、その記号を書け。

 

ア A中学校とB中学校で、最頻値は等しい。

イ A中学校とB中学校で、8時間以上9時間未満の階級の相対度数は等しい。

ウ A中学校で、7時間未満の生徒の割合は、40%以下である。

エ B中学校で、中央値が含まれる階級は、6時間以上7時間未満である。

4 袋の中に赤玉4個と白玉2個の合計6個の玉が入っている。この袋の中から同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めよ。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

 

5 次の図は、円柱の投影図である。この円柱の体積を求めよ。(円周率はπを用いること。)

6 次の図のように、直線l上に2点A,Bがある。線分ABを1辺とする正方形のうち、A,B以外の頂点が、直線lより上側にあるものを作図せよ。ただし、作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

7 下の資料は、ある中学校が発行した図書館便りの一部である。この図書館便りを読んで、9月に図書館を利用した男子と女子の人数を、それぞれ求めよ。ただし、用いる文字が何を表すかを最初に書いてから連立方程式をつくり、答えを求める過程も書くこと。

解答

【解答】

1 【正答 x=1/5,-1】 

2 【正答 75度】 

3 【正答 イ】

4 【正答 8/15】

5 【正答 90πcm³】

6 【正答 図を参照】

7 【正答 下記参照】

【解説】

1 解の公式を用いればよい。

2 ∠x+35°=110°より、∠x=75°

3 

ア A,Bの最頻値はそれぞれ、6.5(時間)、7.5(時間)なので正しくない。
イ A,Bの8時間以上9時間未満の相対度数はそれぞれA:7/30、B:21/90=7/30より、正しい。

ウ Aの7時間未満の生徒の割合は(10+3)/30≒0.43より、正しくない。

エ Bの中央値が含まれる階級は下から45番目と46番目を含む階級だから、7時間以上8時間未満の階級であるため、正しくない。

4 すべての起こりうる場合は15通り。そのうち、赤と白が1個ずつの場合は8通りあるので、8/15

5 底面が直径6cmの円、高さが10cmの円柱であるから、3²π×10=90π(cm³)

7 

9月に図書館を利用した男子をx人、女子をy人とすると、

x+y=253-33…①

21/100x+10/1000y=33…②

②から、21x+10y=3300…③

③-①×10よりx=100

x=100を①に代入して、y=120

(答)9月に図書館を利用した男子、女子の人数はそれぞれ100人、120人

 

大問3

問題文

次の会話文は、太郎さんが、数学の授業で学習したことについて、花子さんと話をしたときのものである。

【数学の授業で学習したこと】

太郎さん:選んだ2つの数が3,5のとき、大きい方の整数は53,小さい方の整数は35だから、P=53-35=18となり、確かにPは9の倍数だね。

花子さん:それなら、3けたの時はどうなるのかな。1~9の自然数の中から異なる3つの数を選び、この3つの数を並べて出来る3けたの整数のうち、最も大きい整数から最も小さい整数をひいた値をQとして考えてみようよ。

太郎さん:例えば、選んだ3つの数が1,3,4のとき、並べてできる3けたの整数は、134,143,314,341,413,431だね。最も大きい整数は431,最も小さい整数は134だから、Q=431-134=297となるね。

花子さん:選んだ3つの数が2,6,7のとき、Qは【ア】となるね。

太郎さん:Qも何かの倍数になるのかな。授業と同じように、文字式を使って考えてみようよ。

花子さん:選んだ3つの数をa,b,c(a>b>c)とすると、最も大きい整数は100a+10b+c、最も小さい整数は【イ】と表されるよね。するとQ=(100a+10b+c)-(【イ】)となって、これを計算すると、【ウ】×(a-c)となるね。a-cは整数だから、Qは【ウ】の倍数となることが分かるよ。

 このとき、次の問いに答えなさい。

 

1 会話文中のアに当てはまる数を書け。

 

2 会話文中のイに当てはまる式、ウに当てはまる数をそれぞれ書け。

 

3 1~9の自然数の中から異なる3つの数の選び、Qについて考えるとき、

 (1)Q=396となるときの、3つの数の選び方は全部で何通りあるか。

 (2)選んだ3つの数の中に、3と8の、2つの数が含まれるときのQの値を全て求めよ。

 

解答

【解答】

1 【正答 ア 495】 

2 【正答 イ 100c+10b+a ウ 99】 

3 【正答 (1)15通り (2)495,594,693】

 

【解答】

1 このとき並べてできる3けたの数のうち最も大きいものは762、最も小さいものは267であるから762-267=495

2ウ Q=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c)

3(1) Q=396となるとき、99(a-c)=396よって、a-c=4、したがって(a>b>c)に注意してa-c=4となる場合を考えればよい。

3(2) 条件を満たす3つの数の選び方は(a,b,c)=(9,8,3)(8,7,3)(8,6,3)(8,5,3)(8,4,3)(8,3,2)(8,3,1)の7通り。このうちQ=99(a-c)であることを考えると、(a,c)=(9,3)(8,3)(8,1)だけ考えればよいので、Q=495,594,693

 

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大問4

問題文

次の図1のように、AB=10cm,BC=acmの長方形ABCDと、∠P=90°,PQ=PR=bcmの直角二等辺三角形PQRがある。長方形ABCDの辺ABと直角二等辺三角形PQRの辺PQは直線l上にあり、点Aと点Qは同じ位置にある。

この状態から、次の図2のように、直角二等辺三角形PQRを直線lにそって、矢印の向きに、点Qが点Bに重なるまで移動させる。AQ=xcmのときの、2つの図形が重なっている部分の面積をycm²とする。

このとき、次の問いに答えなさい。

1 a=5,b=6とする。x=3のとき、yの値を求めよ。

 

2 xとyの関係が次の図3のようなグラフで表され、0≦x≦4では原点を頂点とする放物線、4≦x≦10では右上がりの直線の一部分と、x軸に平行な直線の一部分であるとき、

(1)0≦x≦4のとき、yをxの式で表せ。

(2)a,bの値をそれぞれ求めよ。

解答

【解答】

1 【正答 y=9/2】 

2(1) 【正答 y=1/2x²】 

 

2(2) 【正答 a=4,b=11/2】

 

【解説】

1 求める図形は等しい辺の長さが3cmの直角二等辺三角形になるから、y=1/2×3²=9/2

2(1) (4,8)をグラフが通っているからy=ax²にこれらを代入して、8=16aより、a=1/2。したがって、y=1/2x²

2(2) グラフよりx=4のとき辺RQ上に点Dが重なることがわかる。したがって、a=4。グラフより、点Pが点Aより右側にあるときy=14であることがわかる。また、求める図形は次の図のような台形であるから、1/2×{(b-4)+b}×4=14

これを解いてb=11/2

大問5

問題文

次の図のような、線分ABを直径とする半円Oがある。弧AB上に点Cをとり、直線AC上に点Dを、∠ABD=90°となるようにとる。このとき、次の問いに答えなさい。(円周率はπを用いること)

 

1 △ABC∽△BDCであることを証明せよ。

2 AC=3cm、CD=1cmであるとき、

 (1)線分BCの長さを求めよ。

 (2)線分BDと線分CDと弧BCとで囲まれた部分の面積を求めよ。

解答

【解答】

1 【正答 下記参照】 

2(1) 【正答 √3㎝】

2(2) 【正答 (5√3/4-π/2)㎝²】

 

 【解説】

△ABCと△BDCにおいて、

ABは直径より、∠ACB=∠BCD=90°…①

△ABCで∠ACB=90°より、∠BAC=90°-∠ABC…②

また、∠ABD=90°より、∠DBC=90°-∠ABC…③

②、③より、∠BAC=∠DBC…④

①、④より、2組の角がそれぞれ等しいから。

△ABC∽△BDC

2(1) △ABC∽△BDCより、BC:1=3:BC BC²=3 BC>0より、BC=√3

2(2) 求める面積は(四角形COBD)-(おうぎ形OBC)=△DCB+△COB-(√3)²π×1/6=√3/2+3√3/4-π/2=5√3/4-π/2

 

 

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