2020年度【令和2年度】奈良県公立高校入試(数学)過去問題解説

【奈良県】令和2年度/2020年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

奈良県の2020年3月実施の令和2年度(2020年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

 

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数学の過去問題はこちら>>

 

奈良県の2021年度(令和3年度入学者)の公立高校入試情報はこちら

 

大問1:小問集合

(1)次の①~④を計算する問題です。

(1)①:5-8
【・答え「-3」】

5-8=-3 

 

(1)②:-4×(-3)²
【・答え「9」】
※符号に注意 

-4×(-3)²=-36 
(-3)²=(-3)×(-3)=9 

(1)③:(4a³b+6ab²)÷2ab
【・答え「2a²+3b」】

(4a³b+6ab²)÷2ab=(4a³b+6ab²)/2ab

                               =2a²+3b

 

(1)④:(x+y)²-5xy
【・答え「x²-3xy+y²」】

(x+y)²-5xy=x²+2xy+y²-5xy

       =x²-3xy+y²

 

(2):絶対値が4より小さい整数は何個あるか答える問題です。
【・答え「7個」】

 絶対値が4より小さい整数は、数直線上において、-4~4までの間の整数の数になるので、-3、-2、-1,0,1,2,3の7個になる。

(3):2次方程式x²+5x+2=0を解く問題です。
【・答え「(‐5±√17)/2」】

 x²+5x+2=0は、解の公式x=(‐b±√(b^2-4ac))/2aを用いて、

x=(‐5±√(5²-4×) 1×2)/(2×1)

 =(‐5±√(25-8))/2

 =(‐5±√17)/2 

 

(4):yがxに反比例し、xとyの値が表1のように対応しているとき、Aに当てはまる数を答える問題です。
【・答え「-6」】

反比例に関する問題です。

反比例なので、y=a/xとなる。

表1より、x=-3のとき、y=4なので、これを数式に当てはめると、

-4=a/(-3) よって、a=12になり、y=12/x…①

表1のAは、x=-2のときのyの値なので、それぞれ代入すると、

y=12/(-2)=-6 よって、Aに当てはまる数字は-6となる。

 

 

(5):図Ⅰは円錐の展開図で、底面の半径は5cm、側面のおうぎ形の半径は12cmであるとき、∠xの大きさを求める問題です。
【・答え「∠x=150°」】

 ∠xに対する弧の長さは、半径5㎝の円の円周の長さなので、10π㎝。

次に、半径12㎝の円の円周の長さは、24π。中心角と弧の長さは比例するので、 

24π:10π=360°:x°

24x=3600

x=150  
よって、∠x=150°

 

(6):ある市における7月の日ごとの最高気温を度数分布表にまとめた表Ⅱから読み取れることとして適切なものをア~オの中からすべて選ぶ問題です。
【・答え「ア、エ」】

ア:5÷31=0.161…より、適切。
イ:階級の幅はそれぞれ2℃なので不適切。
ウ:28℃以上の日は、5+7+5+5=22日なので不適切。
エ:最頻値は(26.0+28.0)÷2=27.0℃なので適切。
オ:階級値は(30.0+32.0)÷2=31.0なので不適切。

 

(7)次の確率について述べた文章を見て①、②の問いに答える問題です。

(7)①:pの値を求める問題です。
【・答え「3/5」】

 (i)偶数→奇数の順で取り出した場合

2/5×3/4=6/20

(ii)奇数→偶数の順で取り出した場合

3/5×2/4=6/20

(i)(ii)より、6/20+6/20=3/5

 

(7)②:pの値とqの値の関係について正しく述べているものをア~ウの中から選ぶ問題です。
【・答え「ウ」】

 同様にqの値を求めると、

(i)赤→白の順で取り出した場合

   3/5×2/4=6/20

(ii)白→赤の順に取り出した場合

  2/5×3/4=6/20

(i)(ii)より、6/20+6/20=3/5 以上より、pとqの値は等しい。

 

(8)一の位が0でない二桁の自然数Aがあり、Aの十の位と一の位の数を入れ替えて出来る数をBとするとき、①、②の問いに答える問題です。

(8)①:Aの十の位をx、一の位をyとするとき、Bをx、yを用いて表す問題です。
【・答え「10y+x」】

 Aが、10x+yなので、Aの十の位と一の位を入れ替えたBは、10y+xとなる。

 

(8)②:Aの十の位の数は一の位の数の2倍であり、BはAより36小さいとき、Aの値を求める問題です。
【・答え「A=84」】

 Aの10の位の数は一の位の数の2倍なので、A=10×2x+xとなる。Bは、Aの十の位と一の位を入れ替えた数なので、B=10x+2x。さらに、Bは、Aの値より36小さいので、A=B+36。
以上から、10×2x+x=10x+2x+36

 9x=36

 x=4

よって、A=10×2×4+4 =84

 

大問2:資料の活用

(1):図4の四角形ABCDは、A判の規格の紙と相似な長方形です。辺BCは辺ABを1辺とする正方形ABEFの対角線の長さと等しいです。回答欄にある線分ABをもとに、点Cを作図する問題です。
【・答え「下図参照」】

点Bを通る直線ABの垂線上に点EをBE=ABとなるようにとるとき点Cは直線BE上のBC=AEとなる点である。

① 直線ABの垂線を引く。

② 点Bを中心とした半径ABの円を描き、垂線との交点をEとする。

③ 点Bを中心として、半径AEの円を描き、垂線との交点がCとなる。

 

(2)A0判の紙の短い方の辺の長さをacmとするとき、①・②の問いに答える問題です。

(2)①:A1判の紙の短い方の辺の長さをaを用いて表す問題です。
【・答え「√2/2 a」】

 A0判の辺の長さの比が、1:√2より、A0判の短い方の辺をa㎝とすると、長い方の辺の長さは、√2 aとなる。A1判は、A0判の半分なので、対応する辺も半分となる。よって、√2/2 aとなる。

(2)②:A3判の面積をaを用いて表す問題です。
【・答え「√2/8 a² (cm²)」】

 A0の面積は、a× √2 a=√2 a^2

A1の面積は、A0の半分なので、√2/2 a^2

A2の面積は、A1の半分なので、√2/2 a^2×1/2¬=√2/4 a^2

A3の面積は、A2の面積の半分なので、√2/4 a^2×1/2=√2/8 a^2

 

(3)A3判の資料を、コピー機でB6判に縮小して文集に使用することにしたときになされた会話をよみ、①・②の問いに答える問題です。

(3)①:「あ」に当てはまる数を小数第3位を四捨五入した値で答える問題です。
【・答え「1.22倍」】

 A0とA3の関係より、対角線の長さは、√(1+2)=√3

よって、1:√2=x:√3

x=√3/√2

=√6/2

√6/2=2.449/2

=1.224….

 

(3)②:A3判の資料をB6判に縮小するには、何%の倍率にすればよいかを小数第1位を四捨五入した値で答える問題です。
【・答え「0.433倍」】

 ①より、A3とB3の関係は、√6/2倍。

B3→B4は、√6/2 ×√2/2 ※(2)①より、√2/2倍

B4→B5は、√6/2 ×√2/2×√2/2

B5→B6は、√6/2 ×√2/2×√2/2×√2/2=(2√12)/16=√3/4=1.732/4=0.433

 

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大問3:二次関数

(1):2点A,Cを通る直線の式を求める問題です。
【・答え「y=-2x+4」】

y=-2x+4 傾きが(2-8)/(1-(-2))=-2、A(1、2)を代入して、

2=-2×1+b

b=4  よって、y=-2x+4

 

(2):関数y=2x²についてア~エの中から変化の割合が最も大きくなるものを選び、その時の変化の割合を求める問題です。
【・答え「ア」】

それぞれの変化の割合を求めると、 

ア:6/1=6 イ:8/2=4 ウ:8/2=4 エ:0/4=0 以上より、変化の割合が最も大きくなるのはアである。

 

(3):∠OPA=45°となるとき、△OPAを、x軸を軸として一回転させてできる立体の体積を求める問題です。
【・答え「4π(cm³)」】

点Aからx軸におろした垂線とx軸との交点をHとすると、△OPAは、x軸を軸として回転させると、半径AHの円を底面にした、二つの円錐になる。

よって、

2×2×π×1×1/3+2×2×π×2×1/3=4π

 

(4):四角形APQCが平行四辺形となるとき、点Pのx座標を求める問題です。
【・答え「3+√3」】

点P(p,0)、点Qのy座標をqとする。AC//PQ、AC=PQより、点Aと点Cのy座標の差は、点Pと点Qのy座標の差に等しいので、

8-2=q-0 q=6

点Qは、y=2x^2上の点より、Qのx座標は、2x^2=6 x>0より、x=√3 よって、点Q(√3 、6)

同様にx座標の差も等しいので、1-(-2)=p-√3 よって、p=3+√3

 

大問4:平面図形

(1):△AFE∽△BCEを証明する問題です。
【・答え「下記参照」】

 (1) 仮定より、∠AEF=90°、∠BEC=90°、∠ADC=90°…①

また、△ADCにおいて、∠DAC=180°-90°-∠ACD…②

△BCEにおいて、∠EBC=180°-90°-∠ACB

よって、∠EBC=180°-90°-∠ACD…③

②③より、∠DAC=∠EBC

△AFEと△BCEにおいて、∠FAE=∠CBE…④

①④より2組の角がそれぞれ等しいので△AFE∽△BCE

 

(2):∠AFE=a°のとき、∠OABの大きさをaを用いて表す問題です。
【・答え「90°-a°」】

△AFE∽△BCEより、∠AFE=∠ACB=a°

弧ABに対する円周角より∠ACB=∠AGB=a°

中心角と円周角の関係より∠AOB=2∠AGB=2a°

△OABにおいて、OAとOBは円の半径なので等しい。つまりOA=OBの二等辺三角形である。

よって、∠OAB=(180°-∠AOB)/2

=(180°-2a°)/2

=90°-a°

 

 

(3)BC=10cm、AF=2cm、DF=3cmのとき、①・②の問いに答える問題です。

(3)①:線分AGの長さを求める問題です。
【・答え「8」】

 △FBGにおいて仮定より、∠FDB=∠GDB=90°…①

弧CGにおいて円周角より、∠GAC=∠GBC…②

△AFE∽△BCEより、∠EAF=∠EBC

つまり∠CAG=∠FBD=∠DBG…③

△FBDと△DBGにおいて共通の辺なのでBD=BD…④

①~④より△FDBと△DBGは1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい          

ので△FDB≡△DBG

よって、対応する円の長さは等しいのでFD=GD=3

AG=AF+FD+DG

=2+3+3

=8

 

(3)②:円Oの面積を求める問題です。
【・答え「36π(cm²)」】

 弦BCと弦AGの垂直二等分線をそれぞれひくと点Oを通る。垂直二等分線

とそれぞれの弦との交点をP,Qとすると、BP=BC/2=5/2、

OP=QD=AG/2-DG=8/2-3=1

△OBPにおいて三平方の定理より、OB=√(BP²+OP² )=√(5² +1² )=√26

よって円Oの半径は√26

以上より円Oの面積は、(√26)×(√26)×π=36π(cm²)

 

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数学の公立高校入試過去問題

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