2021年度【令和3年度】奈良県公立高校入試(数学)過去問題解説

【奈良県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

奈良県の2021年3月実施の令和3年度(2021年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

 

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大問1

問題文

次の各問い答えよ。

(1)次の①~④の計算せよ。

① ー2-5

② ー3²×9

③ 8a²b÷(ー2ab)²×6ab

④ (x+7)(xー4)ー(xー4)²

 

(2)連立方程式を解け。

{3x+4y=1

{2x-y=-3

 

(3)2次方程式x²ー3x+1=0

 

(4)√15の小数部分をaとするとき、a²+6aの値を求めよ。

 

(5)右の表は、A中学校とB中学校の3年生全生徒を対象に、1日当たりの睡眠時間を調査し、その結果を度数分布表にまとめたものである。この表から読み取ることができることがらとして適切なものを、次のア~エからすべて選び、その記号を書け。

 5時間以上6時間未満の階級の相対度数は、A中学校の方が大きい。

 睡眠時間が8時間以上の生徒の人数は、A中学校の方が多い。

 睡眠時間の最頻値(モード)は、B中学校の方が大きい。

 B中学校の半数以上の生徒が、7時間未満の睡眠時間である。

(6)図1は、立方体の展開図である。この展開図を組み立ててできる立体において、頂点Pと頂点A,B,C,Dをそれぞれ結ぶ線分のうち、最も長いものはどれか。次のア~エから1つ選び、その記号を書け。

 線分PA

 線分PB

 線分PC

 線分PD

(7)図2のように、3点A,B,Cがある。次の条件①,②を満たす点Pを、定規とコンパスを使って解答欄の枠内に作図せよ。なお、作図に使った線は消さずに残しておくこと。

 

【条件】

① 点Pは、線分BC上にある。

② ∠BAP=30°である。

(8)連続する4つの整数のうち、1つの数を除いた3つの整数の和は2021である。①、②の問いに答えよ。

① 連続する4つの整数のうち、最も小さい数をaとするとき、最も大きい数をaを用いて表せ。

② 除いた数を求めよ。

解答・解説

(1)① 【正答 -7】

両方とも負の数なので絶対値の足し算になる

 

(1)② 【正答 -81】

-3²×9=-9×9=-81

 

(1)③ 【正答 12a】

=(48a³b²)÷4a²b²

 

(1)④ 【正答 11x-44】

=x²+3xー28ー(x²ー8x+16)=11xー44

 

(2) 【正答 x=-1, y=1】

3x+4y=1

8x-4y=-12

よりx=-1

-3+4y=1となるので

y=1

 

(3) 【正答 x=(3±√5)/2】

 

(4) 【正答 6】

3<√15<4よりa=√15-3

a²+6a=a(a+6)=(√15-3)(√15+3)=15-9=6

 

(5) 【正答 ア、エ】

ア:Aの相対度数・・・5/30 Bの相対度数・・・5/73(相対度数は小数で表すが、比較のためにここでは分数としている) より正しい

イ:A・・・5人 B・・・5人 より正しくない

ウ:A・・・7.5時間 B・・・7.5時間 より正しくない

エ:Bの7時間未満は37人。37/73より半分を超えるので正しい

 

(6) 【正答 ウ】

頭の中で展開図を組み立てて実際に長さの比較をするのが適当か。

PA<PB=PC<PD

 

(7) 【正答】

 

(8)① 【正答 a+3】

連続する4つの整数とは具体的には1,2,3,4や103,104,105,106とか。

一番小さい数字をaとすれば一番大きい数はa+3であらわされる。

 

(8)② 【正答 673】

(iv)a+3を除くときを考えると、

(ii)a+1を除くとき

3a=2016

a=672となる。

除いた数はa+1なので673が本問の答え

大問2

問題文

花子さんと太郎さんは、ある博物館で入館料の割引キャンペーンが行われていることを知り、それぞれ何人かのグループで訪れる計画を立てている。次の【  】内は、博物館の入館料と、花子さんと太郎さんのそれぞれの計画をまとめたものである。各問いに答えよ。

(1)次の□内は、グループの入館料の合計金額に関する花子さんと太郎さんの会話である。この会話を読んで、①~③の問いに答えよ。

 花子:私のグループの場合、入館料の合計金額は【(あ)】円だね。
 太郎:私のグループの場合、月末割引の日に訪れる予定だから、特別割引の日に訪れるよりも入館料の合計金額は【(い)】円高くなるよ。
 花子:私のグループが月末割引の日に訪れるとしても、入館料の合計金額は、特別割引の日に訪れるより高くなるよ。
 太郎:特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなることはあるのかな。
 花子:大人x人、子どもy人のグループで訪れるとして、入館料の合計金額を式に表して考えてみようよ。

 

① 【(あ)】、【(い)】に当てはまる数を書け。

 

② 2人は、特別割引について考えている中で、xとyの大小関係により、グループの入館料の合計金額を表す式が異なることに気づいた。x<yであるとき、特別割引の日に訪れる場合のグループの入館料の合計金額をx、yを用いて表せ。

 

③ 2人は、グループの入館料の合計金額について、次の【  】内のようにまとめた。【(う)】に当てはまる数を書け。また(X)、(Y)に当てはまる語句の組み合わせを、後のア~エから1つ選び、その記号を書け。

 大人の人数より子どもの人数の方が多い場合、2種類の割引でグループの入館料の合計金額が等しくなるのは、子どもの人数が大人の人数の【(う)】倍のときである。このときより、大人の人数が1人(X)か、子どもの人数が1人(Y)と、特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなる。

 X 増える Y 増える

 X 増える Y 減る

 X 減る Y 増える

 X 減る Y 減る

 

(2)特別割引の日に入館する子どもには、スクラッチカードが配られ、記念品として「クリアファイル」か「ポストカード」のいずれかが必ずプレゼントされる。次の【  】内は、スクラッチカードとその説明である。花子さんのグループの子ども3人のうち、少なくとも1人は「クリアファイル」がプレゼントされる確率を求めよ。

解答・解説

(1)① 【正答 あ:1200 い:200】

あ:大人が二人なので子供二人が無料になる。

500×2+200×1=1200

い:特別割引では500×3+200×2=1900

月末割引では450×3+150×5=2100

差額は200円である

 

(1)② 【正答 300x+200y】

x<yのとき子供料金はy-x人分であるから

500x+200(y-x)=300x+200y

 

(1)③ 【正答 3、ウ】

特別割引では300x+200y

月末割引では450x+150y

これらが等しくなるので300x+200y=450x+150y

これを解いて3x=y

x:y=1:3のときに等式が成立。すなわち子供の人数が大人の3倍の時。

 

また、大人が1人増えると、特別割引では大人が+500円、子供が-200円、トータルで+300円。

月末割引では+450円。

すなわち大人の人数が増えるほど特別割引の方が安くなる。

子供が1人増えると、特別割引では+200円、月末料金では+150円。

子供の人数が増えるほど、月末料金の方が安くなる。

 

(2) 【正答 19/27】

少なくとも一人はAを選ぶという事象は全体から三人ともBを選ぶ事象を除けばよいので

1-2/3×2/3×2/3=19/27

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大問3

問題文

右の図のように、関数y=ax²(a>0)のグラフ上に、2点A,Bがあり、そのx座標はそれぞれー1、2である。原点をOとして、各問いに答えよ。

 

(1)aの値が大きくなると、次の①、②はどのように変化するか。正しいものをそれぞれア~ウから1つずつ選び、その記号を書け。

①グラフの開き方

 大きくなる  小さくなる  変わらない

②線分ABの長さ

 長くなる  短くなる  変わらない

 

(2)xの変域が-1≦x≦2のとき、yの変域が0≦y≦2となる。このときのaの値を求めよ。

 

(3)a=2のとき、①,②の問いに答えよ。

①直線ABの式を求めよ。

②線分OA上に点Cをとり、直線BCとy軸との交点をDとする。また、直線ABとy軸との交点をEとする。△BEDの面積と△ODCの面積が等しくなるとき、点Cのx座標を求めよ。

解答・解説

(1)① 【正答 イ】

aの値が大きくなるほどグラフの開きは小さくなる

 

(1)② 【正答 ア】

グラフの開きが小さくなるほどx軸方向は短くなるが、y軸方向は長くなる。

傾きが大きくなるほど長くなる。

 

(2) 【正答 1/2】

x=2で最大値y=2 (2,2)を通る。

y=ax²に代入してa=1/2

 

(3)① 【正答 y=2x+4】

y=2x²に代入。A(-1,2)→(2,8)

右に3、上に6だから傾きは2。

Aから右に1、上に2移動して切片は4。

y=2x+4

 

(3)② 【正答 -2/3】

Cはy=4x+4とy=-2xの交点だから、

4x+4=-2x

x=-2/3

大問4

問題文

右の図のように、線分ABを直径とする円Oの周上に点Cがあり、AB=5㎝、AC=3㎝である。線分AB上に点Dをとり、直線CDと円Oとの交点のうち点C以外の点をEとする。ただし、点は、点A,Bと一致しないものとする。各問いに答えよ。

(1)△ACD∽△EBDを証明せよ。

 

(2)∠BAC=a°とする。BC=CEのとき、∠OCDの大きさをaを用いて表せ。

 

(3)∠AOE=60°のとき、線分DEの長さは線分ADの長さの何倍か。

 

(4)AC=CDのとき、△OEBの面積を求めよ。

解答・解説

(1) 【正答 円周角は等しいので∠ACD=∠EBD

対頂角は等しいので∠ADC=∠EDB

二組の角がそれぞれひとしいので△ACD∽△EBD】

 

(2) 【正答 90-a】

∠CBEを∠OBE(=×)と∠OBC(=●)の二つに分けて考える。

半径よりOB=OC、△OBCは二等辺で∠OCB=●

弧AEに対する円周角より、∠ACE=×

直径に対する円周角より、∠ACB=90°

したがって、∠OCD=90-(●+×)=90-a°

 

(3) 【正答 5√3/6】

OB=5÷2=5/2cm

直角三角形OBHの辺の比は1:2:√3でHはEBの中点だから、

EB=5/2×√3/2×2=5√3/2cm

 

△ACD∽△EBDで、AC:EB=AD:ED

=3:5√3/2=6:5√3=1:5√3/6

よって、DEの長さはADの長さの5√3/6倍。

 

(4) 【正答 42/25】

CからABに垂線CHを引くと、△CHAも3:4:5の直角三角形。

CA=⑤とすると、AH=③

△ACDは二等辺三角形で、CHを対称の軸とするとDH=AH=③

AD=3×⑥/⑤=18/5cm

DB=5-18/5=7/5cm

 

CD:AD:DB

=3:18/5:7/5

=⑮:⑱:⑦

△ACD∽△EBDより、DE=⑱×⑦/⑮=〇42/5

 

CD:DE=⑮:〇42/5=75:42=25:14

したがって、△OEBの面積は、6×14/25×1/2=42/25㎠

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