2019年度【平成31年度】奈良県公立高校入試(数学)過去問題解説

【奈良県】平成31年度/2019年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

奈良県の2019年3月実施の平成31年度(2019年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

 

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大問1:小問集合

問1 ①:正負の数

問1 ①:ー5-7を計算する問題です。

【・答え ー12】

問1 ②:正負の数

問1 ②:2×(ー5²)を計算する問題です。

【・答え -50】

-5²=-5×5=-25「-」を忘れずに

問1 ③:文字式の計算

問1 ③:(ー3a)²×2b÷6abを計算する問題です。

【・答え 3a】
文字式の計算は、割り算から行うと、文字が約分できて消えるので分かりやすい。

問1 ④:乗法公式

問1 ④:(x+2)²ー(x+2)(xー2)を計算する問題です。

【・答え 4x+8】

x² -y²の公式を使うと簡単にできます。

問2:連立方程式

問2:2x-5y=ー2とy=x-5の連立方程式を解く問題です。

【・答え x=9、y=4】

y=x-5を代入すると簡単です。

問3:二次方程式

問3:x²ー7x-18=0を解く問題です。

【・答え x=-2、9】
x²-7x-18=0
(x-9)(x+2)=0
x=-2,9

問4:平方根

問4:3.3,10/3,√11のうち最も大きい数を選ぶ問題です。

【・答え 10/3】
平方根(√)は2乗すると外すことができるので、すべての数を2乗するとそれぞれ、10.89、11.1…、11となるので、最も大きい数は11/3となります。

問5:円柱

問5:円柱の表面積を求める問題です。

【・答え 72π】

展開すると、2つの円と長方形になる。

まず2つの円の面積は(3×3×π)×2=18π
次に長方形の面積、縦の長さは9cm、横の長さは円の円周の長さになるので6×πよって、長方形の面積は9×6π=54π
よって表面積は18π+54π=72πとなる。

問6:平面図形

問6:図中のxの角度を求める問題です。

【・答え 128°】

円周角の定理より、∠BOC=116°×2=232°

よって、x=360°‐232°=128°

問7:確率

問7:男子4人と女子2人の中から2人選ぶ確率のうち、最も起こる確率が大きい選択肢を選ぶ問題です。

【・答え イ】
ア2人とも男子が選ばれる確率は、4/6×3/5=6/15
イ男女1人ずつ選ばれる確率は、4/6×2/5+2/6×4/5=8/15
ウ男女1人ずつ選ばれる確率は、2/6×1/5=1/15

問8 ①:一次関数

問8 ①:図3のグラフから分かることをまとめた文章の空欄にあてはまる数を記述する問題です。

【・答え あ:20、い:750】

あ:グラフより、太郎さんは自宅を出発してから30分後に図書館に到着していますが、花子さんの家に着くまでに10分かかっているので、30-10=20分となります。
い:同様に、15分の時点で太郎さんは2250mに地点にいるので、図書館までは残り、3000-2250=750mとなります。

問8 ②:一次関数

問8 ②:10分後に出発し、その10分後に太郎さんに追いついた弟の移動する速さを求める問題です。

【・答え 分速250m】
弟は兄が出発した10分後に出発していて、その10分後に兄に追いついているので、兄は自宅を出発してから20分後に弟に追いつかれたことなる。兄が20分の地点での自宅からの距離は2500m。弟は10分で、この2500mを走ったことになります。したがって、速さ=距離÷時間より、2500÷10=250 よって、分速250mとなる。

大問2:資料の活用

問1:選択問題

問1:表1,2から読み取れる内容として適切なものを選択肢からすべて選び答える問題です。

【・答え ア、イ、エ】

ア:通学時間の範囲はA27-4=23 B31-10=21よりBの方が小さいので○
イ:中央値はそれぞれA(18+19)÷2=18.5 B(18+18)÷2=18 よりBの方が小さいので○
ウ:最頻値とは表の中で最も頻繁に表れる値なのでA17分、B17分より、AもBも同じなので×
エ:表2より○
オ:それぞれの相対度数は、A(1+1+2)÷24=1/6 B(0+0+3)÷16=3/16より、A<Bより×

問2 ①:選択問題

問2 ①:太郎さんが考えた平均値を求める方法が間違っている理由をまとめた文章の空欄あ、いにあてはまる語を、選択肢から選び答える問題です。

【・答え あ:ウ、い:オ】

問2 ②:計算問題

問2 ②:2組と3組の通学時間の平均値を求める問題です。

【・答え ア:18.9、イ:19.5】
ア:(17.2×25+21.6×15)/(25+15)=18.85 よって、18.9

イ:(17.0×18+21.5×22)/(18+22)=19.475 よって、19.5

問3:計算問題

問3:通学時間が15分以上20分未満である生徒の人数を推定する問題です。

【・答え 950人】

無作為に選んだ250人の中で、15分以上20分未満と答えた生徒の比率は、96/250よって、全生徒の場合は、2485×96/250=954.24 よって、950人となる。

 

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大問3:双曲線

問1:計算問題

問1:双曲線 y=a/x(a>0)の係数aを求める問題です。

【・答え a=6】

反比例のグラフなので、y=a/x これに点A (2,3)を代入して、3=a/2 よって、a=6

問2:選択問題

問2:x,y座標の関係を正しく述べた選択肢を選ぶ問題です。

【・答え ウ】

(1)より、y=6/x

点Pのx座標、y座標をそれぞれs、tとすると、

t=6/s

 

st=6となり、x座標とy座標の積は6と一定になるので、ウが適切。

問3 ①:計算問題

問3 ①:△OAPの内部・周上にある整数の座標の点の数を求める問題です。

【・答え 11個】

x,yが整数より、グラフ上の点になるので、0≤x≤6、0≤y≤3

(i)直線OA上の点は、OA=3/2xより、

x=1のときy=3/2

x=2のときy=3より、点Aのみ

(ii)直線OP=1/6ょり、

x=1~6まで順に当てはめていくと、整数なのはx=6、y=1つまり、点Pのみ。

(iii)直線AP=-1/2x+4より、点A、点P以外の場合は、x=4、y=2のときの1つのみ。

(iiii)△OAP内には図より点が7つ

よって(i)~(iiii)と、点Oより、全部で11個となる。

問3 ②:計算問題

問3 ②:点Dを求める問題です。

【・答え D(3/2,1)】

 

四角形ADCP=△BAP-BCDより、

△BCD=△BAP-△BCD

△BCD=1/2△BAP

直線BD=4/8x+b 点P(6,1)より、

1=6/2+b

b=-2

よってBP=1/2x-2

点Cはy=0より、

1/2x-2=0   

x=4 よってC(4,0)

点Aより直線BP上に垂直におろした点を得Eとする。点Eのx座標は点Aと同じなのでx=2、y座標はBP上の点より、

y=1/2×2-2 

y=-1   よって点E(2,-1)

ここで△BAP=△ABE+△APE AEを底辺としてみると、

AE×(2-(-2))×1/2=8

AE×(6‐2)×1/2=8 

8+8=16

△BCD=1/2×16=8  

点D(a, b)とする 

△BCD=△BOC+△DOCより、OCを底辺とみると、

8=1/2×4×3+1/2×4×b  

b=1 点Dは直線AB y=3/2x上の点より、

1=3/2x

x=2/3  よってD(3/2,1)となる。

大問4:平面図形

問1:作図

問1:点Eを作図する問題です。

【・答え ※下図参照】

ED=1/2DC=3より、DCの中点を探し、中点までの長さと同じ半径の円と、ADとの交点がEとなる。

問2:証明

問2:△ABCと△EDCが相似であることを証明する問題です。

【・答え 下記参照】

△ABCと△EDCにおいて

AB=6…①

BC=12…②

CD=6…③

ED=1/2CDよりED=3…④

①、②、③、④より

AB:BC=ED:DC=1:2…⑤

また、平行四辺形より ∠ABC=∠EDC…⑥

⑤、⑥より、2組の辺の比とその間の角が等しいので

 

△ABC∽△EDC

問3:計算問題

問3:線分AFの長さに対する線分CEの長さを求める問題です。

【・答え 7/6倍】

 

(2)より、△ABC∽△EDCなので、対応する線分の長さの比は等しい。

よって、EC:CA=1:2…①

平行線と線分の比の定理(※1)より△FAE∽△FCB、よって、

AF:FC=AE:BC=3:4…②

①,②より、CE=1とすると、AF=2×3/7=6/7

よって、CE:AF=1:6/7よりAF=7/6CE つまり7/6倍となる。

問4:計算問題

問4:四角形AQPGの面積を求める問題です。

【・答え 9√15 】

BC=12,CA=12より、△ABCは等辺三角形となる。点Cより辺ABに下ろした垂線との交点をHとすると、点HはABを2等分する点になるので、AH=3となる。△AHCにおいて三平方の定理より、CH=√(AC^2-AH^2 )=3√15

点Cと点Aが重なるように折り曲げているので、線分PQとACの交点は線分ACの中点となり、線分PQは平行四辺形の面積を2等分する線となる。よって、四角形AQPGは四角形PQCDのことであり、平行四辺形の面積の半分となる。

よって、△ABCの面積を求めればよい。 

△ABC=1/2×6×3√15=9√15 となる。

 

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