【奈良県】平成31年度/2019年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

奈良県の2019年3月実施の平成31年度（2019年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

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問1 ①：ー５－７を計算する問題です。

【・答え　ー１２】

問1 ②：２×（ー５²）を計算する問題です。

【・答え　－50】

－５²＝－5×5＝－25「－」を忘れずに

問1 ③：（ー３ａ）²×２ｂ÷６ａｂを計算する問題です。

【・答え　3a】
文字式の計算は、割り算から行うと、文字が約分できて消えるので分かりやすい。

問1 ④：（ｘ＋２）²ー（ｘ＋２）（ｘー２）を計算する問題です。

【・答え　4x+8】

ｘ² -ｙ²の公式を使うと簡単にできます。

問2：２ｘ－５ｙ＝ー２とｙ＝ｘ－５の連立方程式を解く問題です。

【・答え　ｘ＝9、ｙ＝4】

ｙ＝ｘ－５を代入すると簡単です。

問3：ｘ²ー７ｘ－１８＝０を解く問題です。

【・答え　ｘ＝-2、9】
ｘ²-7ｘ-18＝0
（ｘ-9）（ｘ+2）＝0
ｘ＝-2,9

問4：3.3，10/3，√11のうち最も大きい数を選ぶ問題です。

【・答え　10/3】
平方根（√）は２乗すると外すことができるので、すべての数を２乗するとそれぞれ、10.89、11.1…、11となるので、最も大きい数は11/3となります。

問5：円柱の表面積を求める問題です。

【・答え　72π】

展開すると、2つの円と長方形になる。

まず2つの円の面積は（3×3×π）×2＝18π
次に長方形の面積、縦の長さは9ｃｍ、横の長さは円の円周の長さになるので6×πよって、長方形の面積は9×6π＝54π
よって表面積は18π+54π＝72πとなる。

問6：図中のｘの角度を求める問題です。

【・答え　128°】

円周角の定理より、∠BOC＝116°×2＝232°

よって、ｘ＝360°‐232°＝128°

問7：男子4人と女子2人の中から2人選ぶ確率のうち、最も起こる確率が大きい選択肢を選ぶ問題です。

【・答え　イ】
ア２人とも男子が選ばれる確率は、4/6×3/5＝6/15
イ男女１人ずつ選ばれる確率は、4/6×2/5＋2/6×4/5＝8/15
ウ男女１人ずつ選ばれる確率は、2/6×1/5＝1/15

問8 ①：図3のグラフから分かることをまとめた文章の空欄にあてはまる数を記述する問題です。

【・答え　あ:20、い:750】

あ：グラフより、太郎さんは自宅を出発してから30分後に図書館に到着していますが、花子さんの家に着くまでに10分かかっているので、30-10＝20分となります。
い：同様に、15分の時点で太郎さんは2250ｍに地点にいるので、図書館までは残り、3000-2250＝750ｍとなります。

問8 ②：10分後に出発し、その10分後に太郎さんに追いついた弟の移動する速さを求める問題です。

【・答え　分速250ｍ】
弟は兄が出発した10分後に出発していて、その10分後に兄に追いついているので、兄は自宅を出発してから20分後に弟に追いつかれたことなる。兄が20分の地点での自宅からの距離は2500ｍ。弟は10分で、この2500ｍを走ったことになります。したがって、速さ＝距離÷時間より、2500÷10＝250　よって、分速250ｍとなる。

問1：表1,2から読み取れる内容として適切なものを選択肢からすべて選び答える問題です。

【・答え　ア、イ、エ】

ア：通学時間の範囲はＡ27-4＝23　B31-10＝21よりＢの方が小さいので○
イ：中央値はそれぞれＡ(18+19)÷2＝18.5　Ｂ(18+18)÷2＝18　よりＢの方が小さいので○
ウ：最頻値とは表の中で最も頻繁に表れる値なのでＡ17分、Ｂ17分より、ＡもＢも同じなので×
エ：表２より○
オ：それぞれの相対度数は、Ａ(1+1+2)÷24＝1/6　Ｂ(0+0+3)÷16＝3/16より、Ａ＜Ｂより×

問2 ①：太郎さんが考えた平均値を求める方法が間違っている理由をまとめた文章の空欄あ、いにあてはまる語を、選択肢から選び答える問題です。

【・答え　あ：ウ、い：オ】

問2 ②：2組と3組の通学時間の平均値を求める問題です。

【・答え　ア：18.9、イ：19.5】
ア：(17.2×25+21.6×15)/(25+15)＝18.85　よって、18.9

イ：(17.0×18+21.5×22)/(18+22)＝19.475　よって、19.5

問3：通学時間が15分以上20分未満である生徒の人数を推定する問題です。

【・答え　950人】

無作為に選んだ250人の中で、15分以上20分未満と答えた生徒の比率は、96/250よって、全生徒の場合は、2485×96/250＝954.24　よって、950人となる。

問1：双曲線 ｙ＝ａ/ｘ（ａ＞０）の係数ａを求める問題です。

【・答え　a=6】

反比例のグラフなので、ｙ＝a/ｘ　これに点A (2,3)を代入して、3＝a/2　よって、a＝6

問2：ｘ，ｙ座標の関係を正しく述べた選択肢を選ぶ問題です。

【・答え　ウ】

(1)より、ｙ＝6/ｘ

点Pのｘ座標、ｙ座標をそれぞれｓ、ｔとすると、

ｔ＝6/ｓ

ｓｔ＝６となり、ｘ座標とｙ座標の積は６と一定になるので、ウが適切。

問3 ①：△OAPの内部・周上にある整数の座標の点の数を求める問題です。

【・答え　11個】

x,yが整数より、グラフ上の点になるので、0≤ｘ≤6、0≤ｙ≤3

(i)直線OA上の点は、OA＝3/2ｘより、

ｘ＝1のときｙ＝3/2

ｘ＝2のときｙ＝3より、点Aのみ

(ii)直線OP＝1/6ょり、

ｘ＝1～６まで順に当てはめていくと、整数なのはｘ＝6、ｙ＝1つまり、点Pのみ。

(iii)直線AP＝-1/2ｘ+4より、点A、点P以外の場合は、ｘ＝４、ｙ＝２のときの1つのみ。

(iiii)△OAP内には図より点が7つ

よって(i)～(iiii)と、点Oより、全部で11個となる。

問3 ②：点Ｄを求める問題です。

【・答え　Ｄ(3/2，1)】

四角形ADCP＝△BAP－BCDより、

△BCD＝△BAP-△BCD

△BCD＝1/2△BAP

直線BD＝4/8ｘ+ｂ　点P(6，1)より、

1＝6/2+ｂ

ｂ＝-2

よってBP＝1/2ｘ-2

点Cはｙ＝0より、

1/2ｘ-2＝0　　　

ｘ＝4　よってC(4，0)

点Aより直線ＢＰ上に垂直におろした点を得Eとする。点Eのx座標は点Aと同じなのでx＝２、ｙ座標はBP上の点より、

ｙ＝1/2×2-2　

ｙ＝-1　　　よって点E(2，-1)

ここで△BAP＝△ABE+△APE AEを底辺としてみると、

AE×(2-（-2）)×1/2＝8

AE×(6‐2)×1/2＝8　

8+8＝16

△BCD＝1/2×16＝8　　

点D(a, b)とする　

△BCD=△BOC+△DOCより、OCを底辺とみると、

8＝1/2×4×3+1/2×4×ｂ　　

ｂ＝１　点Ｄは直線AB　ｙ＝3/2ｘ上の点より、

1＝3/2ｘ

ｘ＝2/3　　よってＤ(3/2，1)となる。

問1：点Eを作図する問題です。

【・答え　※下図参照】

ＥＤ＝1/2ＤＣ＝3より、ＤＣの中点を探し、中点までの長さと同じ半径の円と、ＡＤとの交点がＥとなる。

問2：△ＡＢＣと△ＥＤＣが相似であることを証明する問題です。

【・答え　下記参照】

△ＡＢＣと△ＥＤＣにおいて

ＡＢ＝6…①

ＢＣ＝12…②

ＣＤ＝6…③

ＥＤ＝1/2ＣＤよりＥＤ＝3…④

①、②、③、④より

ＡＢ：ＢＣ＝ＥＤ：ＤＣ＝1：2…⑤

また、平行四辺形より　∠ＡＢＣ＝∠ＥＤＣ…⑥

⑤、⑥より、2組の辺の比とその間の角が等しいので

△ＡＢＣ∽△ＥＤＣ

問3：線分ＡＦの長さに対する線分ＣＥの長さを求める問題です。

【・答え　7/6倍】

(2)より、△ＡＢＣ∽△ＥＤＣなので、対応する線分の長さの比は等しい。

よって、ＥＣ：ＣＡ＝1：2…①

平行線と線分の比の定理(※１)より△ＦＡＥ∽△ＦＣＢ、よって、

ＡＦ：ＦＣ＝ＡＥ：ＢＣ＝3：4…②

①，②より、ＣＥ＝1とすると、ＡＦ＝2×3/7＝6/7

よって、ＣＥ：ＡＦ＝1：6/7よりＡＦ＝7/6ＣＥ　つまり7/6倍となる。

問4：四角形ＡＱＰＧの面積を求める問題です。

【・答え　9√15　】

BC=12,CA=12より、△ABCは等辺三角形となる。点Cより辺ABに下ろした垂線との交点をHとすると、点HはABを２等分する点になるので、AＨ＝3となる。△AHCにおいて三平方の定理より、ＣＨ=√(AC^2-AH^2 )=3√15

点Ｃと点Aが重なるように折り曲げているので、線分PQとACの交点は線分ACの中点となり、線分ＰＱは平行四辺形の面積を２等分する線となる。よって、四角形AQPGは四角形ＰＱＣＤのことであり、平行四辺形の面積の半分となる。

よって、△ABCの面積を求めればよい。　

△ABC＝1/2×6×3√15＝9√15　となる。

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