【岡山県】令和2年度/2020年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

岡山県の2020年3月実施の令和2年度(2020年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

岡山県の数学は5つの大問で構成され、小問集合、法則性を問う問題(数列)、関数、図形となっています。

難易度はやや易です。数学が得意なお子さんは満点が狙えると思います。

 

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大問1:小問集合

問1:次の(1)~(5)の計算問題を解く問題です。

(1):4+(ー8)
【・答え「-4」】

異符号どうしの加法は、符号を絶対値の大きい方に揃え、絶対値の差を比較する。

 

(2):(ー18)÷(ー3)
【・答え「6」】
負の数どうしの割り算なので答えは正

 

(3):4(2a-b)ー(-3a+b)
【・答え「11aー5b」】
分配法則を用いればよい。
(与式)=8a-4b+3a-b

    =11a-5b

 

(4):6ab×(-3a/2)
【・答え「ー9a^2b」】

(与式)=3ab×(-3a)

 

(5):(1-√5)^2
【・答え「6-2√5」】

(与式)=1ー2√5+5

    =6-2√5

 

(6):方程式 x^2ーx-3 を解きなさい

【・答え「1±√13/2」】

二次方程式の解の公式「-b±√b^2-4ac/2a」を利用する。

-(-1)±(-1)^2-4×1×(-3)/2 = 1±√13/2

 

(7)   :図をみて∠AOB = 70°、∠OBC = 65°のとき∠APBの大きさを求める問題です。

【・答え「100」】

円周角の定理より、中心角は円周角の2倍なので、∠ACB = 35°

三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内閣の和に等しいので、65°+35° = 100°

 

(8):3枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は表となる確率を求める問題です。ただし表と裏の出方は同様に確からしいものとする。

【・答え「7/8」】

「少なくとも1枚は表となる確率」なので 1ー「1枚も表にならない確率」を計算すればよい。

1 - (1/2 × 1/2 × 1/2) = (7/8)

 

(9):図1,2のような、底面の半径がr cmで高さが2r cmの円柱と半径がr cm の球がある場合、空白に当てはまる適当な数がどれか、ア~エから選ぶ問題です。

【・答え「ア」】

円柱の体積の求め方は「底面積」×「高さ」

図1の円柱の体積 = r × r× π × 2r = 2πr^3

球の体積の求め方は 4πr^3/3

図2の球の体積 = 4πr^3/3

 

2πr^3  ÷  4πr^3/3  = 3/2

 

(10):度数分布票をみて答える問題です。

1.80点以上100点未満の階級の相対度数

【・答え「0.20」】

その階級の度数/度数の合計 1/15

 

2.度数分布票からわかる得点の平均値

【・答え「66」】

 階級地を求める

(10×0)+(30×1)+(50×6)+(70×4)+(90×3)+(110×1) = 990

990÷15 =66

大問2:標本調査

模様入りと単色の2種類のボールが合計500個入っている袋を1つ受け取った。ボール500個の消費税込みの価格は2000円であることがわかった。大樹さんと桃子さんは袋に入っている模様入りボールと単色ボールの個数をしらべる方法について①、②の方法を考えた。

①標本調査を行えば、それぞれのおよその個数がわかる。

②それぞれのボール1個あたりの価格が分かれば、連立方程式を利用して、それぞれの正確な個数を求めることができる。

問1:大樹さんが袋の中から25個のボールを無作為に抽出したところ、抽出したボールのうち模様入りボールは6個。はじめに袋に入っていいた模様入りボールのおよその個数としてもっとも適当なのはア~エのうちどれか1つ答える問題です。

【・答え「イ」】

25:6 = 500:x

25x = 3000

x=120

 

問2:桃子さんが調べたところ、消費税込みの価格で模様入りボールは1個7円、単色ボールは1個3円であることが分かった。

① 模様入りボールをx個、単色ボールをy個として、連立方程式をつくる問題です。

【・答え「x+y = 500      7x+3y = 2000」】
② ボール500個のうち、模様入りボールと単色ボールはそれぞれ何個ずつあるかを求める問題です。

 【・答え「模様入りボール125 単色ボール375」】 

(1)の式を連立方程式で解く

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大問3:関数

図のようにxの値がー2から4まで増加するときの変化の割合が1である関数 y= ax^2 について、グラフ上に2点A,Bがあり、Aのx座標はー2、点Bのx座標は4である。また直線ABとx座標との交点をCとする。

問:

①:変化の割合が正になるのは、ア~エのうちどれか、すべて選ぶ問題です。
【・答え「ア、エ」】

変化の割合 = yの増加量 / xの増加量 

 

②:(1)に適当な式を、(2)にはaの値を求める問題です。(2)は過程も書くこと
 (1):【・答え「16a」】

y=ax^2にx=4を代入

 

 (2):【・答え「16a-4a/4-(-2) = 1 が成り立つ。  12a/6 = 1  が成り立つ。 2a = 1  よって a = 1/2 である。」】

 

③:点Cの座標は(□,0)である。□の数字を答える問題です。

(1):【・答え「ー4」】

2 = -2a' + b'と8 = 4a' + b' を連立方程式でとく

a' = 1 b' = 4

よってy = x + 4 これに y = 0 を代入

x = -4

 

④:(1),(2)に当てはまる数字を答える問題です。

(1):【・答え「56π/3」】

大きい三角形の体積から小さい三角形の体積を引く

(16×π×4 × 1/3) ー (4×π× 2×1/3) = 56π/3

 

(2):【・答え「(20 + 12√2)π」】

上下の底面積と側面積を求める

下の底面が16π 上の底面が4π

側面積が  π(4+2)√(4-2)^2+2^2 = 16√2π

  

大問4:文章題

太陽さんは道路側が斜めに切り取られた建物の日当たりを確保するためのきまりについて、真横から書いた模式図にまとめた。

①~④に答えなさい

問:

①:点Aを通り、直線lに垂直な直線を定規とコンパスをつかって作図する問題です。作図に使った線は残す。

【・答え「左図」】

 

 

②:図1において、OA = 12m のとき、線分ABの長さを求める問題です。

【・答え「15」】

12 : x = 4 : 5

x = 15

③:(1),(2)には適当な数または式を書き、(3)には点Eのx座標を求める過程の続きを書く問題です。

(1)【・答え「3x/2」】

15 : y = 2 : 3 2y = 45 y = 45/2

45/2 =  15a a = 3/2 

よって、y = 3x/2

(2)【・答え「45/2」】

(1)の式より

(3)【・答え「点Eは、直線 y = 5x/4上の点であることから、45/2 = 5/4x が成り立つ。よって、x = 18 であるから、点EのX座標は18」】

 

④:まとめ3の□に適当な数を書く問題です。

【・答え「9/2」】

y = 3x/2 に Aのy座標 12 を代入 y = 18

45/2 ー 18 = 9/2 

大問5:平面図形

次の図のように∠DABが鋭角の平行四辺形ABCDについて、線分ADを2:1に分ける点をEとする。線分ABの延長戦上に、点Aとは異なる点FをAB = BFとなるようにとり、点Bと点F、点Eと点Fをそれぞれ結ぶ。線分EFと線分BCの交点をG,線分EFと平行四辺形ABCDの対角線BDの交点をHとする。また、点Hから線分ADに引いた垂線と線分のADの交点をPとする

問:

①:四角形が平行四辺形にならない場合があるのはア~エのうちどれか答える問題です。

【・答え「ウ」】
平行四辺形になる条件は以下の通り

1.2組の向かい合う辺がそれぞれ平行である。

2.2組の向かい合う辺がそれぞれ等しい。

 3 .2組の向かい合う角がそれぞれ等しい。

 4 .対角線が、それぞれ中点で交わる。

 5 .1組の向かい合う辺が等しくて平行である。

 

②:BG = ED を求めるために(1)には照明の過程を、(2)には適当な数を書く問題です。

 (1)【・答え「AE//BGから、平行線の同位角は等しいので、∠EAF = ∠GBF … ⅰ

     ∠Fは共通の角なので、∠AFE = ∠BFG … ⅱ

     ⅰ,ⅱから、2組の角がそれぞれ等しいので」】

 

(2)【・答え「1/2」】

1 : 2 = BG : AE

2BG = AE

BG = 1/2 AE

③:AD = 15cm , DH = EH , △BFGの面積が20√6のcm^2のとき、線分HPの長さは (1)cm であり、線分ABの長さは(2)cmである。

 

 (1)【・答え「4√6」】

 DE = 5cm

AD//BCの錯覚から、1辺の両端角が等しいので△BGH≡△DEH

Hを通るADに平行な線を引き、ABとの交点をIとする。Hは対角線BDの中点。AI : IB = 1: 1

△BGIを△BGFに等積変形する。IB : BF =1 : 2

△BGIの面積は、20√6 × 1/2 = 10√6 ㎠

よってPHは、10√6 ×2 ÷ 5 = 4√6 ㎝ 

 

(2)【・答え「22」】

PHを延長し、BCとの交点をQとする。PH =HQ

PQ = 4√6 × 2 = 8√6 cm

二等辺の頂点から底辺におろした垂線は底辺の中点を通る+合同な二等辺、よってPE = QB

つまり、PQ = BE

△ABEで三平方の定理より、AB^2 = 10^2 + (8√6)^2 = 484

AB = 22㎝

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