2020年度【令和2年度】大阪府公立高校入試(数学)過去問題解説

【大阪府】令和2年度/2020年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

大阪府の2020年3月実施の令和2年度(2020年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

大阪府の数学問題は、レベル別にABCの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。

難易度は、Aが易、Bがやや難、Cが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。

 

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【数学A】大問1:小問集合

問1:正負の数

問1:正負の数の計算をする問題です。

【・答え ー17】

-7-10=-17

 

問2:正負の数

問2:正負の数の計算をする問題です。

【・答え ー2/7】

÷〇 → ×1/〇 に変換する。

8/7÷(-4)=8/7×(ー1/4)=-2/7

 

問3:正負の数

問3:正負の数の計算をする問題です。

【・答え 12】

3×(-2)²=3×4=12

 

問4:文字と式

問4:文字と式の計算をする問題です。

【・答え 6x-11】

一旦バラした後、同じ文字・次数同士で計算する。

x+4+5(x-3)=x+4+5x-15=6x-11

 

問5:文字と式

問5:文字と式の計算をする問題です。

【・答え 2xy²】

同じ文字同士のかけ算は次数を付けることで表す。

xy×2y=2xy²

 

問6:平方根

問6:平方根を含む式を計算する問題です。

【・答え 8√5】

平方根の中身を素因数分解して、根の値を合わせると計算できる。

√45+5√5=3√5+5√5=8√5

 

大問2:小問集合

問1:式と代入

問1:a=ー8のときの2a+7を求める問題です。

【・答え ー9】

aにー8を代入する。

2×(-8)+7=-9

 

問2:正負の数

問2:表を読み、A市の気温がB市の気温より何℃高いかを求める問題です。

【・答え 5.9℃】

A市は4.6℃、B市はー1.3℃である。4.6は0より4.6だけ大きい値であり、0は-1.3より1.3大きい値であるから、以下のように計算できる。

4.6+1.3=5.9

従って、A市はB市よりも5.9℃高い

 

問3:比例

問3:選択肢のうち、比例の関係であるものを選ぶ問題です。

【・答え エ】

比例かどうかを見分けるためには、

・片方の値が増えたときに、もう一方の値が増えること ①

・もともとの値が0であること(x=0のときy=0であること) ②

が両方満たされればよい。

ア:ビスケット0個の時点で30gの重さがあるので、②を満たさない。

イ:早く進むほど(xの値が増えるほど)、かかる時間は短くなる(yの値が減る)ので、①を満たさない。

ウ:早く燃えるほど(xの値が増えるほど)、残りの線香の長さが短くなる(yの値が減る)ので、①を満たさない。

エ:①、②どちらも満たす。

 

問4:連立方程式

連立方程式 5x+y=22 x-y=ー4 についてxとyを解く問題です。

【・答え x=3,y=7】

5x+y=22を①、x-y=-4を②とする。

②をx=の形に変形すると、

x=y-4

これを①に代入すると、

5x+y=22 

→5(y-4)+y=22

5y-20+y=22

6y=42

y=7

 

y=7を②に代入すると、

x-y=-4

→x-7=-4

x=3

 

問5:二次方程式

問5:二次方程式を解く問題です。

【・答え x=ー5,x=2】

因数分解する。どのように分ければいいか分からない人は、-10をいくつかのかけ算で表現する方法を考えるとよい。

それでも分からない人は解の公式を解ける。

x²+3x-10=0

(x+5)(x-2)=0

x=-5,x=2

 

問6:確率

問6:二つのさいころの目の和が8になる確率を求める問題です。

【・答え 5/36】

サイコロの目の和が8になるのは

(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)

の5通りである。一方、サイコロの目は全部で

6×6=36

の36通りであるから、その確率は

5/36となる。

 

問7:資料の読み取り

問7:選択肢のうち、資料から読み取れるものとして正しいものを選ぶ問題です。

【・答え ウ】

冷静に資料を読み取れば、確実に得点できる問題である。

ア:1年生は1人、2年生は0人なので、この選択肢は誤り。

イ:1年生は6本~9本なので、範囲は4本である。2年生は5本~10本なので、範囲は6本である。したがって、この選択肢は誤り。

ウ:1年生は少ない本数から数えていくと、5人目(中央値)は7本である。2年生は少ない本数から数えていくと、6人目(中央値)は7本である。したがって、この選択肢は正しい。

エ:1年生の最頻値は7本である。2年生の最頻値は8本である。したがって、この選択肢は誤り。

 

問8:二次関数

問8:二次関数について座標と変域を求める問題です。

【・答え ①:8 ②㋐:0 ㋑:9/2】

①y=x²/2のグラフ上であり、xの値が-4のときのyの値は、

y=x²/2 → y=(-4)²/2=16/2=8

よって、y=8である。

②変域を求める。図を書くと一目瞭然である。

したがって、変域は 0≦y≦8 である。

 

問9:展開図

問9:直方体の展開図について、平行面・体積を求める問題です。

【・答え ①:イ ②:5a²】

②:面かを底面とした直方体を考える。面かの一辺の長さはacmなので、面積はa×a=a²cm²

面かを底面、辺ABを高さとすると、直方体の体積は5×a²=5a²cm³である。

 

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大問3:一次関数

スライドショーで表示される写真の枚数と、スライドショー全体の時間について考える問題です。スライドショーのタイトルを4秒間表示し、その後1枚につき5秒間表示することにしたそうです。写真の枚数をx枚、スライドショーの時間をy秒としたとき、次の3問を解いていきます。

 

問1:一次関数

問1:xとyの関係を表した表の空欄を埋める問題です。

【・答え ア:24 イ:39】

x=4のときは、4枚分の時間(4×5=20秒)とタイトル(4秒)があるので、スライドショーの時間は

20+4=24(秒)である。

x=7のときは、7枚分の時間(7×5=35秒)とタイトル(4秒)があるので、スライドショーの時間は

35+4=39(秒)である。

 

問2:一次関数

問2:yをxの式で表す問題です。

【・答え 5x+4】

問1より、スライドショーの時間は枚数に応じて増えていく時間と、枚数によらず変わらない(タイトルの)時間の足し合わせであるとわかる。したがって、

(スライドショーの時間)=(写真の時間)×(写真の枚数)+(タイトルの時間)

と表せる。これを文字式に置き換えると

y=5x+4

となる。

 

問3:一次関数

問3:y=84となるときのxの値を求める問題です。

【・答え 16】

問2で求めた式にy=84を代入すれば求められる。

y=5x+4 → 84=5x+4

5x=80

x=16

 

大問4:平面図形

次のような図形があるとき、次の問いに答えていく大問です。

問1:対角線の長さ

問1:正方形ABCDの対角線ACの長さを求める問題です。

【・答え 9√2】

正方形の対角線は正方形の辺との比で簡単に求められる。

正方形の辺:正方形の対角線=1:√2

より、正方形ABCDの対角線の長さをx(cm)とすると

9:x=1:√2

x=9√2

 

問2:面積

問2:おうぎ形CDBの面積を求める問題です。

【・答え 81π/4】

おうぎ形の面積は、円が欠けたものと考えれば簡単に求められる。

辺CD(辺CB)の長さは9(cm)であり、それを半径とした円の面積は(半径)²πで求められるので、

面積=9²π=81πとなる。

問題のおうぎ形はその円の1/4(90°/360°)の面積なので、

81π/4(cm)

 

問3:証明

問3:問題中に示された「△CHB≡△EFC」の証明の空欄ⓐⓑに適している「辺・角を表す文字」をそれぞれ答える問題です。また、空欄Ⓒに適した選択肢を選ぶ問題です。

【・答え ⓐ:CE ⓑ:CEF Ⓒ:イ】

ⓐ:△EFCのうち、辺CEはおうぎ形の半径を構成している。

ⓑ:相似であることを利用して、∠BCH=∠CEFを導く。

Ⓒ: の条件で直角三角形を示し、 の条件で斜辺と鋭角が対応していることを示している。

 

問4:平面図形

問4:EF=7cmであるときの線分GFの長さを求める問題です。

【・答え 31/7】

△CHBと△EFCの相似関係と、問3で示した△CHBと△EFCの合同関係を利用する。

最終的にはGF=EF-EGで求める。

 

△CHB≡△EFCより、EF=CH=7(cm)

EH=CE-CHなので、9-7=2(cm)

△CHB∽△EFCより、

CH:CB=EH:EG

7:9=2:EG

EG=18/7

とわかる。

 

これをGF=EF-EGに代入すると、

GF=7-18/7=(49-18)/7=31/7(cm)

 

【数学B】大問1:小問集合

問1:正負の数

問1:18÷(ー6)+(ー5)²を計算する問題です。

【・答え 22】

累乗を計算 → 乗除を計算 →加減を計算する。

18÷(-6)+(-5)²

=18÷(-6)+25

=-3+25

=22

 

問2:文字と式

問2:(aー1)/2+(a+7)/4を計算する問題です。

【・答え 3a+5/4】

分母を大きい方に揃えて、分子を計算する。

(aー1)/2+(a+7)/4

=2(aー1)/4+(a+7)/4

=(2aー2+a+7)/4

3a+5/4

 

問3:文字と式

問3:2a²÷ab×(ー5b²)を計算する問題です。

【・答え ー10ab】

数字と文字をそれぞれ計算する。(÷〇 → ×1/〇に変換してもよい)

2a²÷ab×(ー5b²)

=2a²×(1/ab)×(-5b²)

-10ab

 

問4:文字と式

問4:(x+2)²ーx(x-3)を計算する問題です。

【・答え 7x+4】

一旦展開 → 文字と数をそれぞれまとめる。

(x+2)²ーx(x-3)

x²+4x+4-x²+3x …x²が消える

7x+4

 

問5:正負の数

問5:aが0でないとき、その値の符号がつねにaの符号と同じであるものをすべて選ぶ問題です。

【・答え エ,オ】

ア:符号が常に逆になるので、誤り。

イ:aがー1のときa+2は1となり符号が逆になる。したがって、誤り。

ウ:aが負の数の時、a²は正の値となる。したがって、誤り。

エ:正しい。

オ:正しい。

 

問6:平方根

問6:√189n (nは自然数)の値が自然数となるような最も小さいnの値を求める問題です。

【・答え 21】

平方根を素因数分解 → 対でないものをnで対にすることで自然数となる。

189=3³×7=3²×21

したがって、n=21

(√189×21=√3⁴×7²=63)

 

問7:表の読み取り

問7:表中のxの値を求める問題です。

【・答え 2.5】

(3.6+4.0+x)/3

と求めるのは誤りである。(それぞれの平均の重みを考慮していない為)

全員が詠んだ本の冊数/全員の人数=平均 であることに立ち戻る。

各学年の詠んだ本の冊数は(読んだ本の冊数の平均値)×(部員の人数)で求められるから、

1年生の読んだ本の冊数=3.6×20=72(冊)

2年生の読んだ本の冊数=4.0×12=48(冊)

3年生の読んだ本の冊数=x×8=8x(冊)

 

これを全部足したものが(全員が読んだ本の冊数)であるから、

72+48+8x=120+8x(冊)

となる。これを40人で割ったときの平均が3.5冊となるので

(120+8x)/40=3.5

と立式できる、これを解くと

120+8x=140

8x=20

x=2.5(冊)

 

問8:確率

問8:2つのさいころA,Bを同時に投げた時の目をa,bとしたときの10a+bの値が8の倍数である確率を求める問題です。

【・答え 5/36】

aとbが6のときの10a+bの値は66である。したがって、66以下の8の倍数を考えると、

8,16,24,32,40,48,56,64

があり、これを満たす通りを数えると5通りある。

一方、サイコロの出目は36通りなので、確率は5/36となる。

 

問9:二次関数

問9:次のグラフy=ax²(aは正の定数)のaの値を求める問題です。

【・答え 3/14】

方針

  1. Aの座標とCの座標によってBの座標を特定する
  2. Bの座標を通る二次関数が定まる。
  3. aを求める。

AとCのy座標は同じなので、Aのy座標はー6とわかる。

n:y=-3x²/8はAの座標を通るので、yにー6を代入するとAのx座標が求まる。

-6=-3x²/8

x=4、-4と求められる。問よりAのx座標は負であるとあるので、x=-4

Aの座標は(-4,-6)と分かる。

 

次に、原点とAの座標を通る直線の式(…①)は

y=3x/2

と分かる。この直線とCのx座標(x=7)が交わる点がBとなるので、①にx=7を代入すると、

y=3×7/2=21/2

と分かるので、Bの座標は(7,21/2)と分かる。

 

これをm:y=ax²に代入する。

21/2=a×7²=49a

a=21/(2×49)

a=3/14

 

大問2:一次関数

スライドショーで表示される写真の枚数と、スライドショー全体の時間について考える問題です。流す写真は「体育祭」と「文化祭」に分かれており、前半に体育祭の写真、後半に文化祭の写真が流れるようにするそうです。

【体育祭】スライドショーのタイトルを4秒間表示し、その後1枚につき5秒間表示する。

【文化祭】スライドショーのタイトルを4秒間表示し、その後1枚につき8秒間表示する。

これらの条件のもと、次の問いに答えていく大問です。

 

問1 ①:一次関数

問1 ①:xとyの関係を表した表の空欄を埋める問題です。

【・答え ア:24 イ:39】

 

x=4のときは、4枚分の時間(4×5=20秒)とタイトル(4秒)があるので、体育祭のスライドショーの時間は

20+4=24(秒)である。

x=7のときは、7枚分の時間(7×5=35秒)とタイトル(4秒)があるので、体育祭のスライドショーの時間は

35+4=39(秒)である。

 

問1 ②:一次関数

問1 ②:yをxの式で表す問題です。

【・答え 5x+4】

問1 ①より、体育祭のスライドショーの時間は枚数に応じて増えていく時間と、枚数によらず変わらない(タイトルの)時間の足し合わせであるとわかる。したがって、

(スライドショーの時間)=(写真の時間)×(写真の枚数)+(タイトルの時間)

と表せる。これを文字式に置き換えると

y=5x+4

となる。

 

問1 ③:一次関数

問1 ③:y=84となるときのxの値を求める問題です。

【・答え 16】

 

問1 ②で求めた式にy=84を代入すれば求められる。

y=5x+4 → 84=5x+4

5x=80

x=16

 

問2:連立方程式

問2:体育祭の写真の枚数をs,文化祭の写真の枚数をtとし、その枚数の合計が50枚、全体の時間が300秒であるときのsとtの値を求める問題です。

【・答え s=36 t=14】

2つの式を作り、連立させて解いていく。

1:体育祭と文化祭の写真の枚数が50枚である。

2:体育祭のスライドショーの時間と文化祭のスライドショーの時間を300秒である。

の2つが分かっているので、これらをそれぞれ立式する。

 

体育祭の写真の枚数(s)+文化祭の写真の枚数(t)=50(枚)より

s+t=50 …①

 

体育祭のスライドショーの時間+文化祭のスライドショーの時間=300(秒)であり、

5s+4+8t+4=300

5s+8t=292 …②

 

①と②を連立して解く。

 

①を変形して、

s=50-t

これを②に代入すると、

5(50-t)+8t=292

250-5t+8t=292

3t=42

t=14

 

t=14を①に代入すると、

s+14=50

s=36

 

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大問3:平面図形

問1 ①:線分の長さ

問1 ①:線分BEの長さを求める問題です。

【・答え 3√3】

∠ABC=30°、∠BEA=90°ということは、線分AB:線分BE:線分AEが2:√3:1であるとわかる(30°60°の角を持つ直角三角形の辺の比より)。

よって、AB:BE=6:BE=2:√3

BE=3√3

 

問1 ②:弧の長さ

問1 ②:弧BDの長さを求める問題です。

【・答え 2π】

ODに線を引く。

∠OBD=∠ODB=30°であるから、∠BOD=120°とわかる。

従って、円周×1/3(120°/360°)すればいいので、

円周×1/3=6π×1/3=2π

したがって、弧BDの長さは2πである。

 

問2 ①:証明

問2 ①:△ABCと△BFGが相似であることを証明する問題です。

【・証明

△ABCと△BFGにおいて、

同じ弧に対する円周角は等しいから、∠ACB=∠BGF …①

ABとCGは平行であり、平行線の錯角は等しいから、∠ABC=∠BCG …②

同じ弧に対する円周角は等しいから、∠BFG=∠BCG …③

②、③より、∠ABC=∠BGF …④

①、④より、二組の核がそれぞれ等しいから、△ABCと△BFGは相似である。

 

問2 ② ㋐:線分の長さ

問2 ② ㋐:FC=2cmのときの線分BGの長さを求める問題です。

【・答え 8√2/3】

問2 ①で証明した△ABC∽△BFGより、AC:BG=AB:BF(…(ⅰ))が言えるので、AC、BFを求めることでBGを導く。

△BFCは直角であり、△ABCは二等辺三角形なので、Fは線分ACの中点であるとわかる。したがって、

AC=FC×2=4(cm)

 

BFは三平方の定理で求められる。

AF=2(cm)、AB=6(cm)なので、

BF²=AB²ーAF²

BF²=36-4

BF²=32

BF=4√2

 

(ⅰ)についてBG以外が分かったので、求めていく。

4:BG=6:4√2

6BG=16√2

BG=8√2/3

 

問2 ② ㋑:面積

問2 ② ㋑:FC=2cmのときの△FGCの面積を求める問題です。

【・答え 28√2/9】

(△FCGの面積)=(△BFCの面積)+(△BGCの面積)-(△BFGの面積)で求められる。

 

△BFCの面積=BF×FC÷2=4√2×2÷2=4√2(cm²)

△BGCの面積=BG×GC÷2

GCは三平方の定理で求めることができるので、

GC²=BC²ーBG²

 

GC=14/3

よって、

△BGCの面積=8√2/3×14/3÷2=56√2/9(cm²)

 

△BFGの面積はBG×高さ÷2で求められる。

(高さ)²=BF²-(BG/2)²

=(4√2)²-(4√2/3)²

=32-32/9

=256/9

高さ=16/3(cm)

 

より、△BFGの面積は

△BFGの面積=8√2/3×16/3÷2

=64√2/9(cm³)

 

最後にこれらを計算する。

(△FCGの面積)=(△BFCの面積)+(△BGCの面積)-(△BFGの面積)

=4√2+56√2/9ー64√2/9

=28√2/9(cm³)

 

大問4:立体図形

次のような図形があるとき、次の問いに答えていく大問です。

問1 ①:平行面

問1 ①:次の選択肢のうち、線分FIと平行な面であるものを選ぶ問題です。

【・答え ウ】

それぞれの選択肢を延長したときに、交わらないのは面BCDのみである。

 

問1 ②:線分の長さ

問1 ②:四角形EGHFの面積が16cm²であるときのAIの長さ(x)を求める問題です。

【・答え 5-√5】

四角形EGHFの面積はEF×FHで求められる。

FH=BIであり、BI=AB-AIで求められるので、

FH=10-x

 

△EFIと△CDBは相似の関係にあるので、EFは

EF:AI=CD:ABより

EF:x=8:10

EF=4x/5

 

四角形EGHFの面積が16(cm²)となるので、

(10-x)×4x/5=16

これを変形して、

x²-10x+20=0

xについて解くと、

x=5-√5、5+√5

設問より0<x<5なので、

x=5-√5

 

問2 ①:線分の長さ

問2 ①:線分BJの長さを求める問題です。

【・答え 3√5】

DJの長さをyとする。

△BJDについて、BJ²を三平方の定理より解くと、

BJ²=BD²-y²=49-y² …①

また、△BJCについて、BJ²を三平方の定理より解くと、

BJ²=BC²-CJ²=BC²-(CD-DJ)²=81-(8-y)² …②

 

①②について方程式を解くと、

49-y²=81-(8-y)²

y=2

 

これを①に代入してBJを求めると、

BJ²=49-4=45

BJ=3√5

 

問2 ②:体積

問2 ②:立体EFLーCDKの体積を求める問題です。

【・答え 49√5/2】

方針:立体A-CDKから立体A-EFLの体積を引く

設問より、立体A-CDKと立体A-EFLは相似であり、その相似比はAC:AE=2:1より、

体積比は8:1であるとわかる。

 

立体A-CDKの体積は立体A-BCDからK-BCDを引くと求めれらる。

立体A-BCD=AB×△BCD×1/3=AB×BJ×CD×1/2×1/3

=10×3√5×8×1/6

=40√5

立体K-BCD=KB×△BCD×1/3=KB×BJ×CD×1/2×1/3

=3×3√5×8×1/6

=12√5

 

したがって、立体A-CDKの体積は

40√5-12√5=28√5

 

求めたい立体EFLーCDKの体積は、

立体A-CDK×7/8=28√5×7/8

=49√5/2

 

【数学C】大問1:小問集合

問1:文字と式

問1:3a²b/8÷9ab²/4×(-3b)²を計算する問題です。

【・答え 3ab/2】

÷〇 → ×1/〇にする。

3a²b/8÷9ab²/4×(-3b)²

=3a²b/8×4/(9ab²)×9b²

=3a²b×4×9b²/8×9ab²

3ab/2

 

問2:平行根

問2:6-√18/√2+√2(1+√3)(1-√3)を計算する問題です。

【・答え ー3+√2】

有理化・展開によって簡単な形にする → まとめる

6-√18/√2を有理化

 

(6-√18)×√2/√2×√2=(6√2-6)/2=3√2-3

√2(1+√3)(1-√3)を展開

√2(1+√3)(1-√3)=√2(1-3)=-2√2

 

6-√18/√2+√2(1+√3)(1-√3)=3√2-3-2√2=-3+√2

 

 

問3:二次方程式

問3:(x-1)²-7(x-1)-8=0を解く問題です。

【・答え x=0,9】

x-1をXとおいて解いていく。

X²-7X-8=0

(X-8)(X+1)=0

X=8,X=-1

 

求めたいのはxなので、

8=x-1

x=9

 

-1=x-1

x=0

 

問4:変化の割合

問4:y=a/x(aは定数)のxが3から5まで増加するときの変化の割合が1であるときのaの値を求める問題です。

【・答え -15】

変化の割合とは(yの増加量)/(xの増加量)で求められる。

まずyの増加量を求める。(x=5を代入したyの値)ー(x=3を代入したyの値)は

a/5-a/3=ー2a/15

となる。xの増加量は5-3=であるから、変化の割合は

-2a/15÷2=1

となればよい。aについて解くと、

a=-15

 

問5:確率

問5:2つの箱に入っているカードに書かれた数によって3つの袋から玉を移動させる操作をする問題について、ある事象の確率を求める問題です。

【・答え 4/9】

Pから2、Qから1が出ると(それぞれ最小の値が引かれると)、a=6,c=7となり、a<cが常に成立することが分かる。そこで、a<b、b<cとなる組み合わせを見つければよい。

調べると、(P、Q)=(2,3)、(3,3)、(4,3)、(4,4)、(4,5)

の5通りが上記の条件を満たす。

組み合わせは全部で9通り(Pに3枚×Qに3枚=9)なので、求める確率は

5/9

となる。

 

問6:統計

問6:初めに求めた平均の合計と、一部の標本を除いた時の平均の差異から、初めに求めた平均を求める問題です。

【・答え 10.6℃】

ここ2年を除いた8年の最高気温の平均値=初めに求めた10年の最近気温の平均値(x)+0.3

となるので、左辺を導出する。

まず、10年の平均値の合計は(平均)×(年数)=x×10=10x

ここから2年を除くので、

10x-2.6-16.2

これが8年分の最高気温の平均値であるから8で割ると、

10x-18.8/8

 

最初の式を元に立式して解くと、

10x-18.8/8=x+0.3

10x-18.8=8x+2.4

2x=21.2

x=10.6(℃)

 

問7:整数

問7:「2020-nの値が93の倍数」「n-780の値が素数」を同時に満たす自然数nを求める問題です。

【・答え 811】

「2020-nの値が93の倍数」は

2020-n=93m(mは自然数)

で表すことが出来る。これをnについて整理すると、

n=2020-93m …ⅰ

と表せる。

次に「n-780の値が素数」を満たせばいいので、ⅰを代入すると、

nー780=2020-93m-780=1240-93m=31(40-3m)

となる。これが素数であるためには、(40-3m)が1である必要がある。

40-3m=1

m=13

と一つに決まるので、これをⅰに代入する。

n=2020-93×13=811

 

問8:二次関数

問8:二次関数について、aとbの値をそれぞれ求める問題です。

【・答え a:11/48 b:1/6】

A,B,C,Dの座標を求める。

Aの座標:

x座標は4と分かっており、mの関数上にあるので、

y=a×16=16a

したがって、A(4,16a)

とおける。

Bの座標:

x座標はCと同じであり、lの関数上にあるので、

y=-2b+4

したがって、B(-2,-2b+4)

Dの座標:

x座標はAと同じであるから、x=4

Dはnの関数上にあるので、

y=b×4-3=4b-3

したがって、D(4,4b-3)

Cの座標:

x座標はBと同じであり、y座標はDと同じである。

したがって、C(-2,4b-3)

 

AとBのx座標より、ABの長さが6cmであるから、

BCの長さは

-2b+4-(4b-3)=-6b+7=6

b=1/6

 

Bのy座標は

ー2×1/6+4=11/3

となり、これはAのy座標と同じなので、

16a=11/3

a=11/48

 

大問2:平面図形

問1:証明

問1:四角形EACFが平行四辺形であることを証明する問題です。

【・証明例

問題文より、EF//AC …①

△ABDはAB=ADの二等辺三角形だから、∠ABD=∠ADB …②

AB//EDであり、平行な2つの線の同位角は等しいから、∠EDF=∠ABD …③

①より、平行な2つの線の同位角は等しいから、∠EFD=∠ADB …④

②、③、④より、∠EDF=∠EFDであり、△EDFは二等辺三角形だから、EF=ED …⑤

△ABC≡△DAEだから、CA=ED …⑥

⑤、⑥より、EF=CA …⑦

①、⑦より、一辺の対辺が平行かつ長さが等しいので、

四角形EACFは平行四辺形である。

 

問2 ①:辺の長さ

問2 ①:辺BCの長さを求める問題です。

【・答え 4√3】

CGの長さを求める → BCの長さを求める

 

まずCGの長さを求める。AC=6、AG=2と分かっているので、CGの長さは三平方の定理より、

CG²+AG²=AC²

CG²=36-4

CG=4√2

 

次にBCの長さを求める。BGの長さはAB+AG=4よりBG=4とわかる。BCの長さは三平方の定理より、

BC²=BG²+CG²

BC²=16+32=48

BC=4√3

 

問2 ②:線分の長さ

問2 ②:線分EHの長さを求める問題です。

【・答え 14√3/5】

線分DEと線分CGの交点をIとする。AG//EDより、△AGHと△EHIが相似であることから、この相似比を求めることでEHを導出する。相似比を出すためにはEIの長さを導出する必要がある。

 

まず、△DAE≡△ABCより、

AE=BC=4√3

CD=CA-DA=6-2=4で求められる。

AG//DIより△CAG∽CDIとなるので、AG:AC=DI:DCの比が成り立つ。

これに代入してDIを求めると、

2:6=DI:4

DI=4/3

となる。EIの長さはED-DIで求められるので、

EI=6-4/3=14/3

 

△AGHと△EHIの相似比はAG:EI=2:14/3=6:14=3:7

であるから、EHの長さは、

EH=7/10×AE=7/10×4√3=14√3/5 (cm) 

 

問2 ③:面積

問2 ③:四角形EHCFの面積を求める問題です。

【・答え 102√2/5】

△EHC+EFCの足し算として考える。

△DEAの面積の導出

①よりCG=4√2であるから、

△DEA=△ABC=AB×CG÷2=2×4√2÷2=4√2

△EACの面積の導出

△DEAとEACの面積比はAD:ACで求められるから、

AD:AC=2:6=1:3

したがって、△EAC=3△DEA=12√2

△EFCの面積の導出

△EACと△EFCは平行四辺形EACFを対角線CEで二分したものだから、面積は等しくなる。

したがって、△EFC=△EAC=12√2

△EHCの面積の導出

△EHCとEACの面積比はEH:EAで求められるから、

EH:EA=7:10

したがって、△EHC=7/10△EAC=42√2/5

 

求める面積は、

△EFC+△EHC=12√2+42√2/5=60√2+42√2/5=102√2/5

 

 

大問3:立体図形

次の図について、各問題に答える大問です。

問1 ①:面積

問1 ①:△EJHの面積を求める問題です。

【・答え 64/7(cm²)】

EJ+JIが最小となるとき、展開図上でJは線分EI上にあるので、△EJH=1/2×HE×HJで求める。
GE//CAより、△EJH∽△IJDだから、HJ:DJ=HE:DI=4:3なので、HJ=4/(4+3)HD=4/7×8=32/7(cm)
よって、△EJH=1/2×4×32/7=64/7(cm²)となる。

 

問1 ②:内角の大きさ

問1 ②:四角形ABIDの内角∠BIDの大きさを求める問題です。

【・答え 2a+b(°)】

 面ABCDについて、△EKH≡△AODなので、∠AOD=∠EKH=b°である。
平行線の同位角は等しいので、OD//BIより、∠ABI=∠AOD=b°である。
四角形ANCDは平行四辺形だから、AN=DC=5cmである。
よって、△ABNはAB=ANの二等辺三角形だから、∠ANB=∠ABN=a+b(°)である。
平行線の同位角は等しいので、AN//DCより、∠DCN=∠ANB=a+b(°)である。
三角形の1つの外角は、これととなりあわない2つの内角の和に等しいから、
△BICについて、∠BID=∠IBC+∠ICB=a+(a+b)=2a+b(°)である。

 

問1 ③:線分の長さ

問1 ③:線分KFの長さを求める問題です。

【・答え 15/4(cm)】

KF=OBなので、OBの長さを求める。
PD//BIより、PB:BC=DI:IC=3:(5-3)=3:2なので、PB=3/2BC=3/2×8=12(cm)
AD//PCより、△AOD∽△BOPだから、OA:OB=AD:BP=4:12=1:3
よって、OB=3/(1+3)AB=3/4×5=15/4(cm)だから、KF=OB=15/4(cm)

 

問2 ①:線分の長さ

問2 ①:線分DFの長さを求める問題です。

【・答え 11(cm)】

上図のように、DからBCに対して垂線DQを引くと、DQは面FBCGに対して垂直なので∠DQF=90°となる。
これより三平方の定理を利用して、DFの長さを求める。
四角形ABCDはAB=DCの台形なので、QC=(BC-AD)÷2=(8-4)÷2=2(cm)となる。
△CQDについて、DQ²=DC²-QC²=5²-2²=21
BQ=8-2=6(cm)より、△BQFについて、FQ²=FB²+BQ²=8²+6²=100
△DFQについて、DF=√(DQ²+FQ²)=√21+100=11(cm)

問2 ②:線分の長さ

問2 ②:線分AMの長さを求める問題です。

【・答え 8√21/11(cm)】


AMは上図Ⅰの色付きの三角錐ADFLにおいて、面DFLを底面としたときの高さなので、
三角錐ADFLの体積=1/3×△DFL×AMから、AMの方程式を立てる。
三角錐ADFLは底面を△ADLとすると、高さはFB=8cmとなる。
DQ=√21cmとなるから、△ADL=1/2×AD×DQ=1/2×4×√21=2√21(cm²)である。
三角錐ADFLの体積は、1/3×2√21×8=16√21/3(cm³)である。
△DFLについて上図Ⅱのように作図し、DR=xcmとする。
三平方の定理を用いて、RL²を2通りのxの式で表し、xの方程式を作る。

EF//DL,EF//ABより、AB//DLであり、AD//BLだから、四角形ABLDは平行四辺形なので、DL=AB=5cmである。
△DRLについて、RL²=DL²-DR²=25-x²・・・①
BL=AD=4cmより、△LFBについて、FL²=FB²+BL²=8²+4²=80であり、FR=DF-DR=11-x(cm)だから、
△FRLについて、RL²=FL²-FR²=80-(11-x)²=-x²+22x-41・・・②
①、②より、RL²について、25-x²=-x²+22x-41となり、x=3を得る。
よって、RL=√25-3²=4cmだから、△DFL=1/2×DF×RL=1/2×11×4=22(cm²)である。
したがって、三角錐ADFLの体積について、16√21/3=1/3×22×AMより、AM=8√21/11(cm)

 

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