【大阪府】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

大阪府の2022年3月実施の令和4年度(2022年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

大阪府の数学問題は、レベル別にABCの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。

難易度は、Aが易、Bがやや難、Cが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。

  

 大阪府の2022年度(令和4年度入学者)の公立高校入試情報はこちら

 

【数学A】大問1

問1

-2-(-12)

【・答え 10】

-2+12=10

 

問2

27×(-5/9)

【・答え -15】

 

 

問3

40-7²

【・答え -9】

40-49=-9

 

問4

x-3+6(x+1)

【・答え 7x+3】

一旦バラした後、同じ文字・次数同士で計算する。

x-3+6x+6=7x+3

 

問5

 

48x³÷8x

【・答え 6x²】

 

 

問6

√12+9√3

【・答え 11√3】

平方根の中身を素因数分解して、根の値を合わせると計算できる。

2√3+9√3=11√3

大問2

問1

a=ー6のときのー2a+14を求める問題です。

【・答え 26】

aにー6を代入する。

-2×(-6)+14=26

 

問2

ある日のA市の最低気温は、5.3℃であり、B市の最低気温は-0.4℃であった。この日のA市の最低気温はB市の最低気温より何℃高いですか。

【・答え 5.7℃】

5.3℃-(-0.4℃)=5.7℃

 

問3

次のア~エの式のうち、「1袋につきa個のみかんが入った袋を3袋買ったとき、買ったみかんの個数の合計は20個より多い。」という数量の関係を正しく表しているものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。 

ア a+3>20     イ 3a>20      ウ 3a<20      エ 3a=20 

【・答え イ】

 

問4

連立方程式、7x+y=19・・・①、5x+y=11・・・②を解きなさい。

【・答え x=4,y=-9】

加減法で解けばよい。①-②をすると、

2x=8、よって、x=4を得る。これを、再度①に代入し、y=-9となる。 

 

問5

 二次方程式x²-8x+15=0

【・答え x=3,5】

x²-8x+15=0

(x-3)(x-5)=0
x=3,5

 

問6

次の表は、生徒7人の上体起こしの記録を示したものである。この生徒7人の上体起こしの記録の中央値を求めなさい。

  Aさん Bさん Cさん Dさん Eさん Fさん Gさん
上体起こしの記録(回) 30 28 27 32 26 27 31

【・答え 28】

中央値は小さい順に並び替えたときにちょうど中央にある数値のことなので、

26,27,27,28,30,31,32→28が中央値となります。

 

問7

二つの箱A,Bがある。箱Aには自然数の書いてある3枚のカード2⃣、3⃣、4⃣が入っており、箱Bには偶数の書いてある3枚のカード4⃣、6⃣、8⃣が入っている。A,Bそれぞれの箱から同時にカードを1枚ずつ取り出すとき、取り出した2枚のカードに書いてある数の積が16である確率はいくらですか。A,Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

【・答え 2/9】

全通りは3×3=9通り、このうち積が16になるのは(2,8)(4,4)の2通りなので、2/9が答えとなる。

問8

a,bを0でない定数とする。右図において、lは関数y=ax+bのグラフを表す。
次のア~エのうち、a,bについて述べた文として正しいものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。

ア:aは正の数であり、bも正の数である。

イ:aは正の数であり、bは負の数である。

ウ:aは負の数であり、bは正の数である。

エ:aは負の数であり、bも負の数である。

【・答え ウ】

傾きが右下がりなので、aは負の数。切片が原点よりも上なので、bは正の数だと分かる。

 

問9

右図において、mは関数y=ax²(aは定数)のグラフを表す。Aはm上の点であり、その座標は(-6,7)である。aの値を求めなさい。

【・答え a=7/36】

点Aの座標をmに代入すればよい。

a×(-6)²=7

a=7/36

 

問10

右図において、立体ABC-DEFは三角柱である。△ABCは、∠ABC=90°の直角三角形である。

△DEF≡△ABCであり、四角形ADEB,BEFC,ADFCは長方形である。AB=9cm,BC=4cm,AD=acmである。

 

①次のア~エのうち、辺ACと平行な辺はどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。

ア:辺AB イ:辺BE ウ:辺DE エ:辺DF

 

②立体ABC-DEFの体積をaを用いて表しなさい。

【・答え ①エ ②18a】

 

①辺ACと平行な辺は辺DFなので、エが正答。

②三角柱の面積は底面積×高さで求めることができるので

4×9÷2×a=18a(cm³)

 

大問3

Fさんは、コーンが積まれているようすに興味を持ち、右図のような模式図をかいて考えてみた。
右図は1個の高さが320mmのコーンを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンの個数」が1のとき「積んだコーンの高さ」は15mmずつ高くなるものとする。

問1

Fさんは、「コーンの個数」と「積んだコーンの高さ」との関係について考えることにした。「コーンの個数」がxのときの「積んだコーンの高さ」をymmとする。
①次の表はxとyとの関係を示した表の一部である。表中の(ア)、(イ)に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。

1 2 ・・・ 4 ・・・ 8 ・・・
320 335 ・・・ (ア) ・・・ (イ) ・・・

②xを自然数として、yをxの式で表しなさい。

【・答え ①(ア)365 (イ)425 ②y=15x+305】

表より、一つ増えるごとに15mm増えることが分かる。
よって、y=15(x-1)+320→y=15x+305

 

問2

Fさんは、 積んだコーンの高さが620mmとなるときのコーンの個数について考えることにした。
「コーンの個数」をtとする。「積んだコーンの高さ」が620mmとなるときのtの値を求めなさい。
【・答え t=21】

問1、②の式にx=t、y=620を代入すればよい。
15(t-1)+320=620

15t=315

t=21

 

大問4

右図において、四角形ABCDは長方形であり、AB=6cm、AD=12cmである。Eは辺BC上にあって、B,Cと異なる点であり、BE<ECである。AとE、DとEをそれぞれ結ぶ。四角形FGDHは1辺の長さが5cmの正方形であって、Gは線分ED上にあり、F,Hは直線ADについてGと反対側にある。Iは、辺FGと辺ADとの交点である。HとIとを結ぶ。

問1

 △ABEの内角∠BEAの大きさをa°とするとき、△ABEの内角∠BAEの大きさをa°を用いて表しなさい。

【・答え (90-a)°】

四角形ABCDは長方形なので、∠ABE=90°。内角の和は180°なので、∠BAD=(90-a)°

 

問2

正方形FGDHの対角線FDの長さを求めなさい。

【・答え 5√2(cm)】 

一辺の長さが5cmの正方形なので、1:1:√2の三角形になるので、FD=5√2(cm)

 

問3

次は、△DEC∽△IDGであることの証明である。( a ),( b )に入れるのに適している「角を表す文字」をそれぞれ書きなさい。また、( c )に当てはまるものをア~ウの中から一つ選び、記号を○で囲みなさい。

【証明】

△DECと△IDGにおいて
四角形ABCDは長方形だから∠DCE=90°・・・①

四角形FGDHは正方形だから∠ ( a )=90°・・・②

①、②より、∠DCE=∠( a )・・・③
AD//BCであり、平行線の錯角は等しいから

∠DEC=∠( b )・・・④

③、④より、

( c )がそれぞれ等しいから

△DEC∽△IDG

ア:1組の辺とその両端の角

イ:2組の辺の比とその間の角

ウ:2組の角

【・答え ( a )IGD ( b )IDG ( c )ウ】

 

問4

EC=10cmであるときの線分HIの長さを求めなさい。答えを求める過程が分かるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。

【・答え 以下】

△DEC∽△IDGより、

DC:IG=EC:DG=10:5=2:1

よって、IG=1/2DC=1/2×6=3(cm)

FI=FG-IG=5-3=2 (cm)

△FIHで三平方の定理より、

HI²=5²+2²=29 

HI>0より、HI=√29(cm)

 

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【数学B】大問1

問1

18-(-4)²÷8

【・答え 16】

加減法から計算を行う。

18-16÷8

=18-2=16

 

問2

2(5a-b)-3(a+6b)

【・答え 7a-20b 】

()を外してから計算する

10a-2b-3a-18b

=7a-20b 

 

問3

14ab÷7a²×ab

【・答え 2b²】

数字と文字をそれぞれ計算する。(÷〇 → ×1/〇に変換してもよい)

14ab×(1/7a²)×ab
=2b²

 

問4

(x+1)(x-1)-(x+3)(x-8)

【・答え 5x+23】

一旦展開 → 文字と数をそれぞれまとめる。

x²-1-(x²-5x-24)

=5x+23

 

問5

(√6-√2)²+√27

【・答え 8-√3】

6-4√3+2+3√3
=8-√3

 

大問2

問1

等式b=(5a+4)/7をaについて解きなさい。

【・答え a=(7b-4)/5 】

7b=5a+4

5a=7b-4

a=(7b-4)/5 

問2

二次方程式2x²-3x-1=0を解きなさい。
【・答え x=(3±√17)/4】

解の公式を使えばよい。

x=3±√(3²-4×2×(-1))/2×2
=(3±√17)/4

 

問3

右図は、ある中学校の図書委員12人それぞれが夏休みに読んだ本の冊数を、S先生が調べてグラフにまとめたものである。図書委員12人それぞれが夏休みに読んだ本の冊数の平均値をa冊、最頻値をb冊、中央値をc冊とする。次のア~カの式のうち、三つの値a,b,cの大小関係を正しく表しているものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。

 

ア a<b<c イ a<c<b ウ b<a<c
エ b<c<a オ c<a<b カ c<b<a

【・答え エ】

平均値 a=4.5

最頻値b=3

中央値c=4

となるので、エが正答。

 

問4

二つの箱A,Bがある。箱Aには自然数の書いてある3枚のカード1⃣、2⃣、3⃣が入っており、箱Bには奇数の書いてある4枚のカード1⃣、3⃣、5⃣、7⃣が入っている。A,Bそれぞれの箱から同時にカードを1枚ずつ取り出すとき、取り出した2枚のカードに書いてある数の和が20の約数である確率はいくらですか。A,Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

【・答え 5/12】

20の約数は1,2,4,5,10,20の6通りがある。この中で数の和がこれらになるときは、(1,1)(1,3)(3,1)(2,3)(3,7)の5通りである。全通りは3×4=12通りとなるので、確率は5÷12=5/12となる。

 

問5

連続する三つの整数の和が2022となるとき、この連続する三つの整数のうち最も小さい整数を答えなさい。

 

【・答え 673】

連続する三つの整数をn,(n+1),(n+2)とすると、n+(n+1)+(n+2)=2022となればよいので、
3n= 2019

n=673

 

問6

右図において、3点A,B,Cは点Oを中心とする円の周上の異なる3点であり、3点A,B,Cを結んでできる△ABCは鋭角三角形である。OとCとを結ぶ。Dは、直線BOと線分ACとの交点である。
△ABCの内角∠CABの大きさをa°、△OCDの内角∠OCDの大きさをb°とするとき、△OCDの内角∠CDOの大きさをa、bを用いて表しなさい。

【・答え 2a-b°】

∠BOCは∠CABの円周角なので、2a°と分かる。さらに△ODCに注目すると、外角の大きさは隣接しない内角の和に等しくなるので、

∠CDO=2a-b°と表すことができる。

 

問7

次の二つの条件を同時に満たす自然数nの値を求めなさい。

  • 4<√n<5である
  • √6nの値は自然数である 

【・答え n=24】

第一の条件を満たす自然数nは17,18,19,20,21,22,23,24の8通り。

第二の条件を満たすためには、因数分解した際に2×3×○²となるものであればよい。→6の倍数に絞られる。よって、18,24のどちらかである。それぞれを素因数分解すると、

18=2×3²となるので不適。

24=2³×3となり、2×3×2²と変形することが可能なので、自然数nは24だと分かる。

 

問8

右図において、mは関数y=1/2x²のグラフを表し、nは関数y=ax²(aは負の定数)のグラフを表す。Aはm上の点であり、そのx座標は3である。Bは、Aを通りy軸に平行な直線とx軸との交点である。Cはx軸上の点であり、CB=ABである。Cのx座標は、Bのx座標より小さい。DはCを通りy軸に平行な直線とmとの交点であり、EはCを通りy軸に平行な直線とnとの交点である。DE=2cmである。aの値を求めなさい。答えを求める過程がわかるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。ただし、原点Oから点(1,0)までの距離、原点Oから点(0,1)までの距離はそれぞれ1cmであるとする。

【・答え 下記参照】

まず点Aの座標から求める。Aのx座標は3なので、mの式に代入し、点A(3,9/2)が求まる。

次にCB=ABより、点Cの座標を求めると、点Bのx座標-点Cのx座標=9/2となるので、点C(-3/2,0)が求まる。
よって、m,nに代入すると、点Dと点Eの座標がそれぞれ求まり、点D(-3/2,9/8)、点E(-3/2,9a/4)となる。

そして、DE=2cmより、点Dのy座標-点Eのy座標=2となるので、a=-7/18となる。

 

大問3

Fさんは、大きさの異なる2種類のコーンがそれぞれ積まれているようすに興味を持ち、図Ⅰ、図Ⅱのような模式図をかいて考えてみた。
図Ⅰは、1個の高さが320mmのコーンAだけを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンAの個数」が1のとき「積んだコーンAの高さ」は320mmであるとし、「コーンAの個数」が1増えるごとに「積んだコーンAの高さ」は15mmずつ高くなるものとする。
図Ⅱは、1個の高さが150mmのコーンBだけを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンBの個数」が1のとき「積んだコーンBの高さ」は150mmであるとし、「コーンBの個数」が1増えるごとに「積んだコーンBの高さ」は10mmずつ高くなるものとする。

問1 

図Ⅰにおいて、「コーンAの個数」がxのときの「積んだコーンAの高さ」をymmとする。

①次の表は、xとyとの関係を示した表の一部である。表中の(ア)、(イ)に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。 

1 2 ・・・ 4 ・・・ 8 ・・・
320 335 ・・・ (ア) ・・・ (イ) ・・・

②xを自然数として、yをxの式で表しなさい。

③y=620となるときのxの値を求めなさい。

【・答え ①(ア)365 (イ)425 ②y=15x+305 ③x=21】

表より、一つ増えるごとに15mm増えることが分かる。
よって、y=15(x-1)+320→y=15x+305

さらにこの式に代入すると、15x+305=620→x=21

 

問2

FさんがコーンAを図Ⅰのように、コーンBを図Ⅱのようにそれぞれいくつか積んでいったところ、積んだコーンAの高さと積んだコーンBの高さが同じになった。「コーンAの個数」をsとし、「コーンBの個数」をtとする。「コーンAの個数」と「コーンBの個数」との合計が39であり、「積んだコーンAの高さ」と「積んだコーンBの高さ」とが同じであるとき、s,tの値をそれぞれ求めなさい。

【・答え s=9,t=30】

下準備として、コーンBの式を問1のように求めると、y=10(x-1)+150→y=10x+140となる。

個数と高さに注目して、連立方程式を立てることができる。

個数に注目して

s+t=39・・・①

高さに注目して

(15s+305)=(10t+140)・・・②

これらを解くと、s=9,t=30となる。

 

大問4

図Ⅰにおいて、四角形ABCDは内角∠ABCが鋭角の平行四辺形であり、AB=7cm、AD=6cmである。Eha、Cから辺ABにひいた垂線と辺ABとの交点である。Fは直線DC上にあってDについてCと反対側にある点であり、FD=5cmである。EとFとを結ぶ。Gは、線分EFと辺ADとの交点である。Hは、Fから直線ADにひいた垂線と直線ADとの交点である。

問1

△BCE∽△DFHであることを証明しなさい。

【・答え 下記参照】

△BCEと△DFHにおいて
∠BEC=∠DHF=90°・・・①

平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので
∠EBC=∠ADC・・・②

対頂角は等しいので
∠HDF=∠ADC・・・③
②、③より

∠EBC=∠HDF・・・④

①、④より、2組の角の大きさがそれぞれ等しいので

△BCE∽△DFH

 

問2

DH=2cmであるとき、

①線分BEの長さを求めなさい。

②△FGDの面積を求めなさい。
【・答え ①12/5cm ②25√21/16cm²】

 ①△BCE∽△DFHより、対応する辺の比は等しくなるので

BC:DF=BE:DH

6cm:5cm=BE:2cm

BE=12/5cm

②AE//FDより、△AEG∽△DFGだから、

AE=7-12/5=23/5で、GD=xcmとすると、
AG:GD=AE:DFより、(6-x):x=23/5:5

よって、x=25/8

△FDHで、三平方の定理より、FH²=5²-2²=21

FH>0より、FH=√21cm

したがって、△FGD=1/2×25/8×√21=25√21/16cm²

 

図Ⅱにおいて、立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDはAD//BCの台形であり、AD=3cm、BC=7cm、AB=DC=6cmである。四角形EFGH≡四角形ABCDである。四角形EFBA,HEAD,HGCD,GFBCは長方形であり、EA=9cmである。Iは、辺AB上にあってA,Bと異なる点である。FとIを結ぶ。Jは、Iを通り辺BCに平行な直線と辺DCとの交点である。FとJ,BとJとをそれぞれ結ぶ。

問3

次のア~オのうち、辺ADとねじれの位置にある辺はどれですか。すべて選び、記号を○で囲みなさい。

ア:辺AB イ:辺BC ウ:辺EF エ:辺FB オ:辺FG

【・答え ウ、エ】

ねじれの位置は交わることがなく、並行でもない位置にあることである。

 

問4

AI=2cmであるとき、

①線分IJの長さを求めなさい。

②立体IFBJの体積を求めなさい。

【・答え ①IJ=13/3cm ②52√2/3cm³】

①右図のように、4点P,Q,R,Sをとる。
BP=CQ=(7-3)÷2=2cm

△ABP∽△AIRより、

AB:AI=BP:IRだから、

6:2=2:IRより、IR=2/3cm

IR=JSだから、IJ=2/3×2+3=13/3cm

②三平方の定理より、AP²=6²-2²=32

AP>0より、AP=√32=4√2cm

よって、PR=4√2×IB/AB=4√2×4/6=8√2/3cm

立体IFBJは、底面が△IBJ、高さがBFの三角錐だから体積は、

1/3×(1/2×13/3×8√2/3)×9=52√2/3cm³

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【数学C】大問1

問1

(3a-b)/4-(a-2b)/6を計算しなさい。

【・答え (7a+b)/12】

分母を12に揃えて計算をすればよい。

 

問2

方程式x-16y+10=5x-14=-8yを解きなさい。

【・答え x=2/3、y=4/3】

連立方程式として解けばよい。

 

問3

x=√15+√5、y=√15-√5のとき、x²-y²の値を求めなさい。

【・答え 20√3 】

x²-y²

=(x+y)(x-y)

ここに代入し

=2√15×2√5=20√3 

 

問4 

a,bを0でない定数とする。右図において、lは二元一次方程式ax+by=1のグラフを表す。次のア~エのうち、a,bについて述べた文として正しいものを一つ選び、記号を○で囲みなさい。

ア:aは正の数であり、bも正の数である。

イ:aは正の数であり、bは負の数である。

ウ:aは負の数であり、bは正の数である。

エ:aは負の数であり、bも負の数である。

【・答え ウ】

式を変形するとy=-a/bx+1/bとなる。

切片が正になっていることからbは正の数だと分かる。

次にグラフが右上がりになっているので、傾きが正になることが分かるので、aは負の数だとわかる。

 

問5

二つの箱A,Bがある。箱Aには偶数の書いてある3枚のカード2⃣、4⃣、6⃣が入っており、箱Bには奇数の書いてある3枚のカード1⃣、3⃣、9⃣が入っている。箱Aからカードを2枚、箱Bからカードを1枚同時に取り出し、取り出した3枚のカードそれぞれに書いてある数のうち、最も小さい数をa、2番目に小さい数をb、最も大きい数をcとする。このときac/bの値が自然数である確率はいくらですか。A,Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

【・答え 5/9】

得られる組み合わせは(2,4,1)(2,4,3)(2,4,9)(2,6,1)(2,6,3)(2,6,9)(4,6,1)(4,6,3)(4,6,9)の9通り。この中で、条件を満たすのは(2,4,1)(2,6,1)(2,6,3)(2,6,9)(4,6,9)の5通りなので、確率は5/9となる。

 

問6

Sさんは、サッカー部員32人とバレーボール部員20人の立ち幅跳びの記録をそれぞれ度数分布表にまとめ、度数および相対度数をそれぞれ比較した。215cm以上220cm未満の階級の度数を比較すると、サッカー部員32人の記録の度数はバレーボール部員20人の記録の度数より3人多かった。また、215cm以上220cm未満の階級の相対度数を比較すると、サッカー部員32人の記録の相対度数はバレーボール部員20人の記録の相対度数と同じであった。サッカー部員32人の記録における215cm以上220cm未満の階級の度数を求めなさい。

【・答え 8人】

求める度数をx人とすると、バレーボール部員20人の記録における215cm以上220cm未満の階級の度数は(x-3)人だから、

x/32=(x-3)/20より、x=8人

 

問7

mを2桁の自然数とする。mの十の位の数と一の位の数の和をnとするとき、11n-2mの値が50以上であって60以下であるmの値をすべて求めなさい。

【・答え m=17,28,39】

xを1以上9以下の整数、yを0以上9以下の整数として、m=10x+yとおくと、n=x+yだから、

11n-2m=11(x+y)-2(x+y)=-9x+9y=9(-x+y)

11n-2mは9の倍数だから、11n-2m=54

つまり、-x+y=6であればよい。
(x、y)=(1,7)(2,8)(3,9)であり、それぞれ、m=17,28,39となる。

 

問8

右図において、mは関数y=1/3x²のグラフを表し、lは関数y=1/3x-1のグラフを表す。A,Bはm上の点であって、Aのx座標は正であり、Bのx座標は負である。Aのy座標とBのy座標とは等しい。Aのx座標をtとし、t>0とする。Cはy軸上の点であり、Cのy座標はAのy座標と等しい。Dはl上の点であり、そのx座標は負である。Eはy軸上の点であり、Eのy座標はDのy座標と等しい。4点A,B,D,Eを結んでできる四角形ABDEは平行四辺形である。CE=4cmであるときのtの値を求めなさい。答えを求める過程がわかるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。ただし、原点Oから点(1,0)までの距離、原点Oから点(0,1)までの距離はそれぞれ1cmであるとする。

【・答え 下記参照】

点Aのy座標は1/3t²だから、点Cのy座標は1/3t²

点Bのx座標は、AC=BCより、-tだから、

AB=t-(-t)=2tcm

AB=EDより、点Dのx座標は-2tだから、

y座標は、1/3×(-2t)-1=-2/3t-1

よって、点Eのy座標は、-2/3t-1

CE=4cmより、1/3t²-(-2/3t-1)=4

よって、t=-1±√10

t>0より、t=-1+√10

 

大問2

右図において、△ABCは∠ABC=90°の直角三角形であり、BA=3cm、BC>BAである。点Oは、3点A,B,Cを通る円の中心である。このとき、Oは辺ACの中点である。△DECは∠DEC=90°、ED=ECの直角二等辺三角形であって、EC//ABであり、Dは円Oの周上にあって直線ACについてBと反対側にある。Fは、辺EDと円Oとの交点のうちDと異なる点である。Gは、直線OFと直線CEとの交点である。

円周率をπとして、次の問いに答えなさい。

問1

AC=acmとするとき、円Oの面積を aを用いて表しなさい。

【・答え a²/4πcm²】

ACは円Oの直径となるので、円Oの面積は(a/2)²×π=a²/4πcm²となる。

 

問2

△ABC∽△COGであることを証明しなさい。

【・答え 下記参照】 

△ABCと△COGにおいて、

EC//ABより、∠BAC=∠OCG・・・①

弧CFに対する円周角と中心角の関係から、∠COG=∠CDF×2

さらに△DECは直角二等辺三角形なので、∠CDF=45°、よって、∠COG=90°

つまり、∠ABC=∠COG・・・②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、

△ABC∽△COG

 

問3

BC=5cmであるとき、

①線分OGの長さを求めなさい。

②四角形OFECの面積を求めなさい。

【・答え ①5√34/6cm ②25/4cm²】

①三平方の定理より、AC=√34cm

△ABC∽△COGで、相似比は、

AB:CO=3:√34/2=6:√34

よって、OG=5×√34/6=5√34/6cm

②CG=√34×√34/6=17/3cm

また、△ABC∽△FEGだから、FE=xcmとすると、

FG=√34/3xで、OF+FG=OGより、

√34/2+√34/3x=5√34/6

よって、1/2+1/3x=5/6より、x=1

CE=CG-EG=17/3-5/3x=17/3-5/3=4cmより、

四角形OFEC=△OFC+△FEC=1/2×√34/2+1/2×1×4=25/4cm²

 

大問3

図Ⅰ、図Ⅱにおいて、立体ABC-DEFは五つの平面で囲まれてできた立体である。△ABCは、AB=AC、CB=8cmの二等辺三角形である。△DEFは、DE=DF=10cm、FE=8cmの二等辺三角形である。四角形ADEBはAD//BEの台形であり、∠ADE=∠DEB=90°、AD=3cm、BE=5cmである。四角形ADFC≡四角形ADEBである。四角形CFEBは長方形である。

問1

図Ⅰにおいて、Gは辺CB上の点であり、CG=6cmである。Hは、Gを通り辺ACに平行な直線と辺ABとの交点である。HとDとを結ぶ。Iは、Bを通り線分DHに平行な直線と辺DEとの交点である。

①△DEFの面積を求めなさい。

②線分HBの長さを求めなさい。

③線分DIの長さを求めなさい。

【・答え ①8√21cm² ②√26/2cm ③5/3cm】

①辺EFの中点をPとすると、∠DPE=90°だから、三平方の定理より、

DP=√10²-4²=2√21cm

よって、△DEF=1/2×8×2√21=8√21cm²

②点Aから辺BEに垂線AQを引く。三平方の定理より、

AB=√10²+2²=2√26cm

AC//HGより、BA:BH=BC:BG=8:(8-6)=4:1

よって、HB=AB×1/4=2√26×1/4=√26/2cm

③直線ABとDEの交点をRとすると、

△ARD∽△BAQより、

RD:AQ=RA:AB=AD:BQ=3:2だから、

RD=10×3/2=15cm

DH//IBより、

RD:DI=RH:HB=(3+2×3/4):(2×1/4)=9:1

よって、15:DI=9:1より、DI=5/3cm

 

問2

図Ⅱにおいて、Jは辺DE上の点であり、DJ=4cmである。KはJを通り辺ADに平行な直線と辺ABとの交点である。KとEとを結ぶ。Lは、Kを通り辺CBに平行な直線と辺ACとの交点である。LとFとを結ぶ。このとき、4点L,F,E,Kは同じ平面上にある。

①線分LKの長さを求めなさい。
②立体KEB-LFCの体積を求めなさい。

【・答え ①16/5cm ②96√21/5cm³】

①KL//BC、AD//KJ//BEより、

KL:BC=AK:AB=DJ:DE=4:10=2:5

よって、KL:8=2:5より、5×KL=16

KL=16/5cm

右図のように、点S,T,U,Vをとると、求める体積は、三角柱KUV-LTSと2つの四角錐K-VUEB、L-CFTSの体積の和である。

CS=VB=(8-16/5)÷2=12/5cm

辺BC、線分KLの中点をそれぞれM,Nとし、右図のように点Wをとると、

WP=2√21×(10-4)/10=6√21/5cm

よって、

(1/2×5×6√21/5)×16/5+{1/3×(5×12/5)×6√21/5}×2

=48√21/5+48√21/5=96√21/5cm³

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