【大阪府】平成31年度/2019年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

大阪府の2019年3月実施の平成31年度(2019年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

大阪府の数学問題は、レベル別にABCの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。

難易度は、Aが易、Bがやや難、Cが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。

 

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【数学A】大問1:小問集合

問1:正負の数

問1:2ー(ー5)を計算する問題です。

【・答え「7」】

 与式=2+5=7

マイナス符号のついた()内の数字は符号が入れ替わるので注意。

 

問2:正負の数

問2:-9×4/3を計算する問題です。

【・答え「-12」】

 与式=-3×4=-12

マイナスの付け忘れ注意。

 

問3:乗法と除法

問3:13ー4²を計算する問題です。

【・答え「-3」】

 与式=13-16=-3

()のつかない累乗は符号の変化はないので注意。

 

問4:文字と式

問4:3x+7+3(x-2)を計算する問題です。

【・答え「6x+1」】

 与式=3x+7+3x-6=6x+1 
掛け算から計算していく。順番に気を付けよう。文字のついた数字は同じ文字同士でしか計算できない。

 

問5:文字式の計算

問5:4x²×2xを計算する問題です。

【・答え「8x³」】

与式=4x2x²×x=8x³ 累乗は全体に同じ文字がいくつあるか確認しよう。

 

問6:平方根の計算

問6:√50-3√2を計算する問題です。

【・答え「2√2」】

与式=5√2-3√2=2√2  平方根内の数字が同じか確認してから計算しよう。

大問2:小問集合

問1:文字式の計算

問1:a=2のときの6aー4の値を計算する問題です。

【・答え「8」】

 与式=6×2-4=8 代入法をしっかり見直そう。

問2:不等式

問2:数量の関係を正しく表した選択肢を選ぶ問題です。

【・答え「イ」】

配った色紙の枚数の合計は9x枚である。問題上50枚より多いとの事で>の記号を使用する。9X > 50のイとなる。文章題は読み間違えないように線を重要な部分には線を引きな  がら問題に取り組もう。

 

問3:比例の関係

問3:x:6=5:3を満たすxの値を計算する問題です。

【・答え「x=10」】

3x=5×6 3x=30 x=10 比例の計算は内項の積=外項の積を覚えておこう。

 

問4:資料の活用

問4:表から10人の垂直とびの記録の最頻値を求める問題です。

【・答え「55」】

 最も人数が多い記録を探す。55cmが4人と最も多い。よって最頻値は55cmである。

問5:連立方程式

問5:3x+y=11とx-y=5の連立方程式を解き、xとyの解を求める問題です。

【・答え「x=4 y=-1」】

 3x+y=11‥① x-y=5‥② とする。①∔②でyを式から消す。

3x+x=11+5 4x=16 x=4

①の式にx=4を代入すると 3×4+y=11 12+y=11 y=-1

連立方程式はいかに片方の文字だけの式にするかが大切。

 

問6:コインの確率

問6:二つの硬貨を同時に投げた時、同時に裏が出る確率を計算する問題です。

【・答え「1/4」】

 2枚の硬貨の表裏の出方を樹形図を使って調べよう。

樹形図の通り4通りの出方をする。そのうち2枚とも裏が出るのは1通りなので 1/4になります。

問7:二次方程式

問7:x²+9x+14=0を解き、xの解を求める問題です。

【・答え「x=-7,x=-2」】

 2次方程式はたすき掛けを使って解いてみよう。

問8:比例とグラフ

問8:aとbが正の定数のときのy=ax+bを表したグラフを選択肢から選ぶ問題です。

【・答え「ア」】

 関数y=ax+bのグラフは直線である。傾きつまりaの値が正であるため右上がりになる。

負ならば右下がりになる。切片つまりbの値はy座標との交点になる。a,b共に正であるためにアが正解となる。

 

問9:放物線

問9:y=ax²(aは定数)で(-3,5)を通るときのaの値を求める問題です。

【・答え「5/9」】

y=ax²にAの座標を代入する。

5=a×(-3)²より、 a=5/9

 

問10:投影図

問10 ①:円錐の投影図である選択肢を選ぶ問題です。

【・答え「エ」】

 立面図とは真正面から図形を見た図であり、この問題の場合三角形でなければならない。

平面図は真上から図形を見た図であり、この問題の場合円に見えなければならない。よって、エが正解となる。

 

問10 ②:底面の半径が4cm、高さが6cmの円錐の体積を求める問題です。

【・答え「32π㎤」】

円錐の体積の公式は1/3× (底面積) × (高さ)  である。

底面積は42π=16π(㎠)なので、体積は1/3× 16π × 6 = 32π(㎠) となる

 

 

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大問3:一次関数

前脚と後脚までの幅が40cmである椅子が前後に並べられています。「椅子の個数」をx個、「線分OPの長さ」をycmとしたときに、以下の問題を解いていく大問です。

 関係を読み取って関係式を求めることができれば、問3まで簡単に解くことができます。

 

問1

問1:xとyの関係を示した表中の(ア)(イ)に当てはまる数を求める問題です。

【・答え「ア:310 イ:580」】  表を見ると、xが1増えるとyは90増える。そのためxが2から4になると2増えているため2×90=180増える。130+180=310 310(ア)となる。またxが4から7まで3増えているyは90×3=270増える。310+270=580 580(イ)となる。  

 

問2

問2:「椅子の個数」と「線分OPの長さの関係」を、yをxの式で表す問題です。

【・答え「90x-50」】

 x=1の時y=40であり、xが1増えると90増えるのだから、y=40+90(x-1)=90x-50となる。

yをxの式で表しなさいという問題はよく出ます。y=(xが含まれた式)の形を崩さずに文章をよく読みながら作ってあげて下さい。

 

問3

問3:y=1660となるときのxの値を求める問題です。

【・答え 「19」】

y=90x-50にy=1660を代入すると、1600=90x-50 x=19 よって19となる。

 

大問4:平面図形

正方形ABCDと正方形DEFG(>正方形ABCD)があり、線分BCの延長線上に点Eがくるように置かれています。線分DCに対して平行となるように引かれた点Eからの直線と線分DGの交点を点Hとしたとき、以下の問題に解いていく大問です。

 

平方根や三角形の面積、平行関係の線分の関係など、基本的な内容が分かっていれば解くことが出来ます。

問1

問1:正方形ABCDの対角線ACの長さを求める問題です。

【・答え「3√2」】

 ACの長さを求めるうえで必要なのが三平方の定理になります。△ABCを見ると二等辺三角形になっていることが分かります。

AB:BCが1:√2なので

AC=√2AB=3√2(cm)

問2

問2:△DCEの面積をxを用いて表す問題です。

【・答え 「3/2x」

 DC=3cm CE=xcm ∠DCE=90° なので△DCEは 1/2× CE × DC = 1/2× x × 3 =3/2x(㎠) となる。

 

問3

問3:△DCE∽△EDHであることの証明として示されている文の空欄a,bに適している文字をそれぞれ書く問題です。

【・答え「Ⓐ EDH Ⓑ DEH Ⓒウ」 】

 証明問題は難しそうに見えてとても簡単!相似条件、合同条件をしっかり覚えて文章にあてはめていこう。

 

問4

問4:x=2であるときの線分DHの長さを求める問題です。

【・答え 「(2√13)/3」】

△DCE∽△EDHでCE=x=2㎝だから、相似比が分かればDHを求めることができる。

∠DCE=90°だから、三平方の定理により、DE=√(CE²+DC² )=√(2²+3² )=√13(㎠)

よって、△DCEと△EDHの相似比は、CE:DE=3:√13なので、DH=√13/3CE

=√13/3×2=2√13/3(㎠)

 

【数学B】大問1:小問集合

問1:乗法と除法

問1:4²ー(-6)÷2を計算する問題です。

【・答え「19」】

 与式=16-(-3)=16+3=19

マイナス符号のついた()内の数字は符号が入れ替わるので注意しよう。

 

問2:文字式の計算

問2:2(5aー3b)ー7(aー2b)を計算する問題です。

【・答え「3a+8b」】

 与式=10a-6b-7a+14b=3a+8b

文字のついた数字は同じ文字同士でしか計算できない。

 

問3:文字式の計算

問3:18xy³÷(-3y)²を計算する問題です。

【・答え「2xy」】

 与式=18xy2÷9y2=2xy

()の外についた累乗は中の符号を変化させるので注意。

 

問4:平方根の計算

問4:(√7+2√5)(√7-2√5)を計算する問題です。

【・答え「-13」】

 与式=7-20=-13

(√7+2√5)(√7-2√5) →(A+B)(A-B)=A²-B²

この形は良く出るので覚えておこう!

 

問5:資料の活用

問5:度数分布表から最頻値を求める問題です。

【・答え「115」】

 まずは最も大きい階級のものを探す。今回の場合は110g~120gになります。

最頻値はこの階級の階級値になるので(110+120)/2=115g となる。

 

問6:正負の数

問6:a,bを負の数とするとき、a,bの絶対値によらず常に負となるものを選択肢から選ぶ問題です。

【・答え「イ」】

 ア:負の数×負の数は正の数となる。イ:負の数+負の数は負の数となる 。ウ:イの逆になるので正の数   エ:数を2乗した場合必ず0以上の数になる。

 よって イ が正解となります

 

問7:二次方程式

問7:(x+4)cmの辺と(x+5)cmの辺で構成された長方形の面積が210cm²のときのxの値を求める問題です。

【・答え「10」】

 

縦が(x+4)㎝ 横が(x+5)㎝ 面積が210㎠ の長方形が出来たとの事。

(x+4)(x+5)=210 x2+9x+20=210  x2+9x-190=0 

(x+19)(x-10)=0 x=-19.10 x>0より x=10

文章題はしっかり文字式におこすことから始めてみよう。

 

問8:確率

問8:2,4,6のカードが入った箱Aと1,3,5,7,9のカードが入った箱Bから同時に1枚取り出したときの大きい方の数が3の倍数である確率を求める問題です。

【・答え「7/15」】

 全ての取り出し方とaの値を下の表のようにまとめた。全部で15通りとなり、その中で3の倍数になるものは〇印のものになる。

7通り確率の問題は樹形図や表を使って視覚的に分かりやすくしてから解くのがコツ!丁寧に解こう。

問9:放物線

問9:2つの放物線を横切る一次関数ℓのy切片を求める問題です。

【・答え「33/10」】

Aは放物線y=x2上の点だから、x=2を代入するとA(2,4)である。

Bは放物線y=1/4 x^2上の点だから、x= -3を代入するとB(-3,9/4)である。

 2点A,Bを通る直線ℓの傾きは(4-9/4)/(2-(-3))=7/20より7/20となる。

y=7/20 x+aに(2,4)を代入してa=33/10となる。よってCのy座標は33/10となる。

大問2:一次関数

前脚と後脚までの幅が40cmである椅子が前後に並べられています。「椅子の個数」をx個、「線分OPの長さ」をycmとしたときに、以下の問題を解いていく大問です。

 

関係を読み取って関係式を求めることができれば、問1までは簡単に解くことができます。

問1 ①

問1 ①:xとyの関係を示した表中の(ア)(イ)に当てはまる数を求める問題です。

【・答え「ア:310 イ:580」】

 表を見ると、xが1増えるとyは90増える。そのためxが2から4になると2増えているため2×90=180増える。130+180=310 310(ア)となる。またxが4から7まで3増えているyは90×3=270増える。310+270=580 580(イ)となる。

 

問1 ②

問1 ②:「椅子の個数」と「線分OPの長さの関係」を、yをxの式で表す問題です。

【・答え「90x-50」】

 x=1の時、y=40であり、xが1増えると90増えるのだから、y=40+90(x-1)=90x-50となる。

yをxの式で表しなさいという問題はよく出ます。

y=(xが含まれた式)の形を崩さずに文章をよく読みながら作ってあげて下さい。

 

問1 ③

問1 ③:y=1660となるときのxの値を求める問題です。

【・答え「19」】

 y=90x-50にy=1660を代入すると、1600=90x-50 x=19

よって19となる。

 

問2

問2:PQが200cm、OP間の椅子の個数が23、QR間の椅子の個数が16と分かっているときにORが3490cmとなる場合の、「前脚から後脚までの幅」aを求める問題です。

【・答え「82」】

OP間の椅子の個数は23個なのでOP間の距離は90×23-50=2020 2020 cmとなる。

QR間の椅子の個数は16個なのでQR間の距離は40+(16-1)a=40+15a 40+15a cmとなる。

 またQR間の距離は200 cmであり、OR間の距離は3490 cmであり、 OP間、PQ間、QR間の距離の和にあたるので、2020+40+15a+200=3490 である。

これをaについてとくとa=43 よってaの値は82となる。

 

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大問3:平面図形

三角形ABCと長方形ECGFがあり、点Eは線分ABの間、点Fは線分ACの間に置かれています。点Aから線分BCに対して垂直にひいた線と線分BCが交差する点を点D、線分BCと線分EGとの交点をHとしたとき、次の問題を解いていく大問です。

 

問1

問1:∠AEFをa°としたときの∠EAFの大きさをa°を用いて表す問題です。

【・答え「90-a」】

 ⊿AEFについて、∠AEF=a°、∠AFE=90°である。⊿AEFの内角の和は180°なので、∠EAF=180-∠ AFE-∠AEF=90-a

問2

問2:△ABDと△CHGが相似であることを証明する問題です。

【・答え  

仮定より∠HGC=∠BDA=90° …①

EGとFCが平行であるので、∠GHC=∠ACB

仮定より⊿ABCは二等辺三角形であるので∠ACB=∠ABC

∠ABC=∠DBAであるので∠GHC=∠DAB …②

 ①②より二つの角がそれぞれ等しいので△ABD∽△CHG 】

 

証明問題は難しそうに見えてとても簡。相似条件、合同条件をしっかり覚えて文章にあてはめていこう。

 

問3 ①

問3 ①:HG=2cm,HC=5cmであるときの、線分BDの長さを求める問題です。

【・答え「22/5」】

 △ABD∽△CHGより、AB:CH=HG:BDである。仮定よりAB=11、CH=5、HG=2より11:5=BD:2なので、これをといてBD=22/5

 

問3 ②:HG=2cm,HC=5cmであるときの、線分FCの長さを求める問題です。

【・答え「27/4」】

 Dは二等辺三角形ABCの底辺の中点でありBD=22/5よりBC=44/5

HC=5であるのでBH=BC-HC=44/5-5=19/5

 △BEH∽△BACより、BH:BC=EH:ACである。BH=19/5、BC=44/5、AC=11より19/5:44/5=EH:11なので、これをといてEH=19/4

よってFC=EG=EH+HG=19/4+2=27/4

 

 

大問4:立体図形

四角柱ABCD-EFGHをもとに、以下の問題に解いていく大問です。

 

問1 ①

問1 ①:四角形EICFがひし形であるとき、AEとねじれの位置にある辺を選択肢から選ぶ問題です。

【・答え「エ」】

辺DH、辺CG、辺BFは辺AEと平行。

平行でなく、交わってもない位置関係をねじれの位置という。

 

問1 ②

問1 ②:四角形EICFがひし形であるときの四角形EFGHの対角線EGを求める問題です。

【・答え「4√2」】

 四角形ABCDと四角形EFGHは合同

なので、EH=HG=4、よって△EHGは直角二等辺三角形。

そのため、三平方の定理よりEG=4√2

 

問1 ③

問1 ③:四角形EICFがひし形であるときの四角形EFGHの面積を求める問題です。

【・答え「8√6」】

 辺CI、辺FE、辺FE、辺EIはいずれも底辺4、高さ2の直角三角形の斜辺である。(辺EHの中点Jとして辺IJ、辺FJをひくとわかりやすい)

よって四角形EICFは一辺の長さ2√5のひし形であることが分かる。

 

問2 ①

問2 ①:線分EJの長さを求める問題です。

【・答え「(4√5)/5」】

 三平方の定理よりEH2-EJ2=FH2-FJ2

 EF=FH=2√5、FJ=-2√5-EJ、EH=4を上式に代入して 16-EJ2=20-(2√5-EJ)2

 展開して整理すると、4√5EJ=16

これをといてEJ=(4√5)/5

 

問2 ②

問2 ②:立体BFGJの体積を求める問題です。

【・答え「16/5」】

立体BFGJは底面が△FGJ、高さが線分BFの三角錐である。

ここで⊿EFGについて、面積はFG×GH÷2=2×4÷2=4

△FGJと△EFGの面積比はFE:FJに等しく

FE=2√5-(4√5)/5=(6√5)/5、FJ=(4√5)/5

よって△EFGの面積をxとして4:x=2√5:(6√5)/5

これをといてx=12/5

よって立体BFGJの体積は12/5×4×1/3=16/5

 

【数学C】大問1:小問集合

小問集合とはいえ、どれも多少ひねった問題になっているので、誤答しないように注意が必要です。

大問2、3が難しいので、大問1は完問必須です。

問1:二次方程式

問1:x=5-2√3のときのx²ー10x+2を計算する問題です。

【・答え -11】

式にx=5-2√3を代入すると、

x²ー10x+2

→(5-2√3)²ー10(5-2√3)+2 ()内の計算をする

=25-20√3+12-50+20√3+2 同類項をまとめる

=-11

となる。

 

問2:連立方程式

問2:x-y+1=3x+7=-2yを解き、xとyの解を求める問題です。

【・答え x=-5 y=4】

 方針としては、

  1. 分かりやすい連立方程式(○x+△y=◇)の形にする。
  2. 連立方程式を解く

とするのが正攻法です。まず、

x-y+1=-2y

3x+7=-2y

の二つに分けます。これを○x+△y=◇に変形すると、

x+y=-1 …①

3x+2y=-7 …②

となります。この連立方程式を解くと、

3x+3y=-3 …①×3

3x+2y=-7 …②

これを引き算すると、y=4

これを①に代入すると、x=-5

従って上記の答えになる。

 

問3:二次方程式

問3:(a+2b)²+a+2b-2を因数分解する問題です。

【・答え (a+2b+2)(a+2b-1)】

これを展開してから再び因数分解すると大変な時間ロスになる。なので、まず共通した部分を探す。

この問題の場合はa+2bが共通部分として存在する。

これをxとすると、x²+x-2となる。これを因数分解すると、

(x+2)(x-1)

x=a+2bを代入すると、

(a+2b+2)(a+2b-1)

となる。

 

 

問4:平方根の不等式

問4:√31と8/√2と5.5の大小関係を正しく表している選択肢を選ぶ問題です。

【・答え オ】

値を二乗すると、小さい大小関係の差が明確になるのでわかりやすい。(値の大小関係はそれぞれを二乗したり根をとっても変わらないため、それを利用する。)

(√31)²=31

(8/√2)²=64/2=32

(5.5)²=30.25

これより、大小関係は5.5<√31<8/√2 とわかるので、正しい選択肢であるオを選ぶ。

 

問5:確率

問5:2つのサイコロA,Bを同時に投げ、出た目をそれぞれa,bとするとき、2b/aが素数となる確率を求める問題です。

【・答え 1/4】

2b/aで存在しうる最大の数は12となる。(a=1、b=6のとき)

それ以下の素数は2,3,5,7,11なので、この値となる確率を求める。

a=1のとき:2,4,6,8,10,12→素数は2の1つ

a=2のとき:1,2,3,4,5,6→素数は2,3,5の3つ

a=3のとき:2/3,4/3,2,8/3,10/3,4→素数は2の1つ

a=4のとき:1/2,1,3/2,2,5/2,3→素数は2,3の2つ

a=5のとき:2/5,4/5,6/5,8/5,2,12/5→素数は2の1つ

a=6のとき:1/3,2/3,1,4/3,5/3,2→素数は2の1つ

全ての通りを考えると、9通りあることが分かる。

従って、(2b/aが素数となる通り)/(すべての通り)=9/36=1/4

 

問6:連立方程式

問6:黒と白の碁石が合わせて100個入っている袋から40個をランダムで取り出す操作を2回行い、その結果から袋全体の黒の碁石の数を推測する問題です。

【・答え 560】

一見すると確率の問題に見えるかもしれないが、これは連立方程式の問題である。

方針としては、

  1. 情報を整理して立式する。
  2. 式を解く

とするとよい。

 

最初の黒の碁石をX、白の碁石をYとする。この状態で40個の碁石を取り出した結果が黒:白=32:8となった。

この結果はあくまで40個の碁石から取り出した結果ではあるが、これを全体の碁石の結果と推定する。

全体の黒白の比と結果の比を式で表すと

X:Y=32:8=4:1

となる。これを変形すると

4Y=X …①

次に、白の碁石に100個追加した上でもう一度40個の碁石を取り出した結果が黒:白=28:12となった。

この結果も全体の碁石の結果と推定する。ただし、今回は白の碁石が100個追加されているので、比を式で表すと

X:Y+100=28:12=7:3

となる。これを変形すると

7Y+700=3X …②

となる。

この連立方程式を解くと、X=560,Y=140

となる。したがって、答えは560

 

問7:整数

問7:連続する二つの奇数a,b(a<b)が「0<a<100かつ0<b<100」「b²ーa²=100m(mは自然数)」を同時に満たすときのa,bを求める問題です。

【・答え a=49、b=51】

文字の数を減らし、問題を的確にとらえることが出来るかがポイントとなる。(1と99、2と98…と当たっていくのは方針としてはナシです!)

方針

  1. 情報を整理して、減らせる文字は減らす
  2. 計算する

解答

整理1:aとbの2つがあると、式が最低2つ無いと答えを絞ることが出来ない。

そこで、条件よりb=a+2とする。(aより1つ大きい奇数がbなので、aより2大きい値がbである。)

整理2:問題文より「b²ーa²=100m(mは自然数)」という式を立てる。mの値によって100、200、300…となる。そのいずれかが当てはまればOKである。

 

計算

b=a+2とb²ーa²=100mより、

(a+2)²ーa²=100m

となる。これを計算すると、

a²+4a+4-a²=100m

4a+4=100m

4で割ると

a+1=25m

となる。

 

mには1、2、3…が入るので、

a+1=25

a+1=50

a+1=75

a+1=100

となる。これらの式によってaとなる可能性の値は

24、49、74、99、124…

 

このうち、偶数と100以上を除くと

49、99

が残る。

「a、b<100」より、a=99はb=101となってしまうので、99は不適。

従って、a=49

=a+2=49+2=51

 

問8:放物線

問8:y=3x+2上の点Aと点B(x軸上で点Aと同じx座標の点)を繋いだ線分ABと、y=1/8x²上の点Dと点Cを繋いだ線分DCの交点を点E、x軸上にあり点Cと同じx座標の点を点Fとし、「DE=AB」かつ「EC=CF」であるときの点Aのx座標を求める問題です。

【・答え √3】

方針

求めたいのは点Aの座標であるtの値である。tを用いてほかの座標を表し計算することで、tの値を求めることが出来る。

  1. A,Bの座標をtを用いて表し、ABの長さを求める。
  2. ABの長さからDEの長さを求め、Dの座標が分かる。
  3. Dの座標よりCの座標が分かり、Fの座標が分かる。
  4. EC=CFを表す
  5. tの値を導出する

 

座標を求める

A:3x+2のうえにあり、x座標はtなので、A(t,3t+2)

B:Aと同じx座標でx軸上にあるので、B(t,0)

したがって、ABの長さは3t+2となる。

 

DE=ABなので、DEの長さは3t+2

Eのx座標はA,Bと同じなのでt。したがって、Dのx座標は

t-(3t+2)=-2t-2

Dは1/8x²上の点なので、D(-2t-2,(4t²+8t+4)/8)

Eのy座標はDと等しいので、E(t,(4t²+8t+4)/8

 

Dとy軸に対して線対称の位置にあるC座標は、D座標のx軸の符号が変わるだけなので、C(2t+2,(4t²+8t+4)/8)

Fの座標はCとx座標が同じで、x軸上にあるので、F(2t+2、0)

 

ECとCFを求める

EとCはy座標が同じなので、ECの長さはx座標の差からわかる。x座標の値が大きいCからEを引くと、

2t+2-t=t+2=EC

 

CとFはx座標が同じなので、CFの長さはy座標の差からわかる。y座標の値が大きいCからFを引くと、

4t²+8t+4)/8ー0=(4t²+8t+4)/8=CF

 

tを求める

EC=CFよりtを求める。

t+2=(4t²+8t+4)/8

4t²+8t+4=8t+16

4t²ー12=0

4(t²ー3)=0

(tー√3)(t+√3)=0

tは正の数なので、t=√3は不適。従って、t=√3となる。

 

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大問2:平面図形

平面図形の問題です。相似の関係を見つけられるかがポイントです。

証明問題については、相似条件と示す方法を分かりやすく記述出来るように勉強しておきましょう。

数学C全体を見ると、大問2までは完問を目指したいです。

 

問1

問1:∠AOBの大きさをa°とするときの弧ABの長さをaを用いて表す問題です。

【・答え πa/45】

弧の長さは中心角a°と半径からから求めることが出来る。

円周は2πrで求められ、8πである。

 

その円周に占める弧はa/360で示されるので、弧ABの長さは

8π×a/360=πa/45

となる。

 

問2

問2:FO=FCを証明する問題です。

一つの弧に対する中心角の大きさは、その弧に対する円周角の大きさの2倍なので、

∠FOC=2∠CAE …①

△CDAはCD=CAより二等辺三角形なので、

∠CDA=∠CAE …②

∠FCOは△CDAの頂点における外角なので

∠FCO=∠CDA+∠CAE …③

②、③より∠FCO=2∠CAE …④

①、④より∠FOC=∠FCO

従って、△FOCは二等辺三角形なので、

FO=FCとなる。

 

問3

問3 ①:AC=6cmであるとき線分FCの長さを求める問題です。

【・答え 8/3】

△FOCと△OCAの相似から、辺の長さを求めていく。

まず、同じ角度を共有しているので

∠OCA=∠FCO …①

△OCAはOC=OAの二等辺三角形なので∠OCA=∠OAC …②

△FOCはFO=FCの二等辺三角形なので∠FCO=∠FOC …③

①,②,③より∠OAC=∠FOC …④

①と④より2つの角が等しいので、

△FOCと△OCAは相似であると分かる。

 

さて、OA:AC=FC:OC

の関係からFCの長さを導出する。

それぞれに長さを代入して計算すると、

4:6=FC:4

6×FC=16

FC=8/3

したがって、FC=8/3

 

 

問3 ②:AC=6cmであるとき△AOFの面積を求める問題です。

【・答え 5√7/3】

 

△AOF=△OAC-△FCOより求める。

△OACの面積

まず△OACの点OからACと垂直に下したときに重なる点を点Gとおく。

OA=4、AG=3

であり、OGは三平方の定理より

16-9=7

よってOG=√7

△OACの面積は

√7×6÷2

=3√7

 

△FOCの面積

まず△FOCの点FからOCと垂直に下したときに重なる点を点Hとおく。

FO=8/3、OH=2

より、FHは三平方の定理を用いて

64/3-4=28/9

よってOG=2√7/3

△FOCの面積は

4×2√7/3÷2

=4√7/3

 

△AOFの面積は

△OAC-△FOC=3√7-4√7/3

=5√7/3

 

大問3:立体図形

錐体の問題です。問1①、②や問2①は確実に解けるようにしておく必要があると思います。

問2の②は特に難しいです。過去問の傾向からすると易ですが、それでも似たような問題を複数解いて慣れることが必要かもしれません。

問1 ①

問1 ①:△AEBの面積を求める問題です。

【・答え 9√7/2 (cm²)】(解説では単位を省略します。)

まず、四角形ADEBの高さにあたる長さを求めたい。

ABとDEが平行であり、ABとBEが同じ長さであることから、AからDEに下した垂線とDEの交点をLとすると、DL=1とわかる。

ALの長さを求めるために三平方の定理を用いると、

(8)²=1²+AL²

AL=√63=3√7

この長さを用いて△AEBを求めると、

AB×AL÷2→3×3√7÷2

=9√7/2

 

したがって、△AEBの面積は9√7/2となる。

 

問1 ②

問1 ②:線分AHの長さを求める問題です。

【・答え 24/5(cm)】(解説では単位を省略します。)

△ADEと△HDGが相似であることがわかれば、比より長さを求めることが出来る。

△ADEと△HDGが相似である証明

同じ角であるから∠ADE=∠HDG …①

AE//HGより∠DEA=∠DGH …②

①、②より△ADEと△HDGはそれぞれ二つの角が等しいので

△ADE∽△HDG

 

次にHDの長さを求めていく。

AD:DE=HD:DG

でもとめられる。

DG=DE-GE=5-3=2であるから、

8:5=HD:2

HD=16/5

 

求めたいのはAHなので、

AH=AD-HD=8-16/5

AH=24/5

 

したがって、AHの長さは24/5である。

 

問1 ③

問1 ③:線分IHの長さを求める問題です。

【・答え 3√15/5(cm)】

DからACに下した垂線のACの交点をNとする。NDの長さが分かれば、図形の比よりIHを求められる。

△ACDの面積を求めていく。AからCDに下した垂線のCDとの交点をA'とすると、AA'の長さは三平方の定理より

(AC)²=(CA')²+(AA')²

AA'=2√15

とわかる。したがって、△ACDの面積は

△ACD=CD×AA’÷2

=4×2√15÷2

=4√15

とわかる。

 

次に△ACDの面積をACを底辺、NDを高さとして求める式を立ててみる。△ACDの面積は上で求めたので、

AC×ND÷2=8×ND÷2=4√15

ND=√15

とわかる。

 

NDとIHの長さの関係は、△ANDと△AIHが相似であることと、AH:ADが3:5の関係であることから、(前問参照)

AH:AD=IH:ND

3:5=IH:√15

IH=3√15/5

したがって、IHの長さは3√15/5である。

 

問2 ①

問2 ①:線分JKの長さを求める問題です。

【・答え 7/2(cm)】

問1①と同じ手法で解くことが出来る。

 

ALとJKの交点をMとおく。ここで出来る△AJMと△ADLは相似の関係となっている(証明省略)。

そこで、AJ:JM=AD:DLとすると、

2:JM=8:1

より、JM=1/4とわかる。

次に、BからDEにひいた垂線とDEの交点をO、JKとの交点をPとおく。

AB//JK、AJ=BKより、同様のことが言えるので、PK=1/4となる。

また、AM⊥JK、BP⊥JKよりMP=ABとわかる。

 

従って、JK=JM+MP+PK=1/4+3+1/4

JK=7/2

 

問2 ②

問2 ②:立体JK-CDEFの体積を求める問題です。

【・答え 27√59/4(cm³)】

 

まず、立体断面①の面積を求めていく。

底辺の長さはCDと同じなので4、斜辺は(1)で求めたALと同じなので、3√7

これより、まず高さ(xとする)を求めていく。

三平方の定理より、

(CD/2)²+x²=(AL)²

4+x²=63

x=√59

とわかる。したがって、①の面積は

4×√59÷2=2√59

となる。

 

次に、求めたい体積部分の断面積を求める。

AD=8、JD=6と分かっていることから、①の面積と、そのうち求めたい体積部分の断面積の比は4:3と表せる。

従って、求めたい体積部分の断面積は

2√59×3/4

=3√59/2

となる。

 

さて、立体JK-CDEFの体積の高さはJKとCFとDEの平均とすればいいので、

(JK+CF+DE)/3=(7/2+5+5)/3=9/2

となる。

したがって、体積は

体積=断面積×高さ=3√59/2×9/2

=27√59/4

 

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