【滋賀県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

滋賀県の2022年3月実施の令和4年度(2022年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

今年度の滋賀県の数学は4つの大問に分かれています。難易度は全体的に○○です。

大問1の小問集合の難易度は易~やや易です。全問正解を狙えます。

大問2の

大問3の

大問4の

 

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大問1

問題文

次の(1)から(9)までの各問いに答えなさい。

(1)12-6÷(-3)を計算しなさい。

(2)1/2a-4/3aを計算しなさい。

(3)A=4x-1、B=-2x+3とするとき、次の式を計算しなさい。
-4A+3B+2A

 

(4)-15a²b÷3ab²×(-2b)²を計算しなさい。

 

(5)(√2-√3)²+√6を計算しなさい。

 

(6)次の2次方程式を解きなさい。

x²=x+12

 

(7)関数y=-3x²について、xが-4から3まで増加したときの、yの変域を求めなさい。

(8)3,4,5,6,7の数字の書かれたカードが1枚ずつある。この5枚のカードから同時に2枚のカードを引くとき、2枚のカードの数字の積が2の倍数でなく、3の倍数でもない確率を求めなさい。ただし、どのカードを引くことも同様に確からしいとします。

 

(9)下の表1は、A中学校におけるハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものです。表1をもとに、表2のB中学校の度数分布を推定します。A中学校とB中学校の10m以上20m未満の階級の相対度数が等しいとしたとき、表2の(ア)にあてはまる度数を求めなさい。

解答・解説

(1) 【正答 14】

 加減乗除は乗除から計算する
【与式】=12+2=14

 

(2) 【正答 −5a/6】

展開して計算すればよい

【与式】=(3a-8a)/6=−5a/6

 

(3) 【正答 -14x+11】

【与式】=-2A+3B

A、Bをそれぞれ代入して、

-2A+3B=-2(4x-1)+3(-2x+3)

                  =-8x+2-6x+9

                  =-14x+11

 

(4) 【正答 -20ab】

 

(5) 【正答 5-√6】

【与式】=2-2√6+3+√6

 

(6) 【正答 x=-3、-4】

【与式】=x²-x-12=0

⇔(x-4)(x+3)=0

⇔x=-3、-4

 

(7) 【正答 -48≦y≦0】 

y=-3x²にx=0を代入してy=0

 y=-3x²にx=-4を代入してy=-48

 

(8) 【正答 1/10】 

条件を満たす数字の組み合わせは、5、7の1通りのみ。

数字の組み合わせ方は10通りあるので、求める確率は1/10。

 

大問2

問題文

優さんは、コンピュータを使って、関数のグラフや図形について調べました。このコンピュータでは、一次関数y=ax+bのaとbに値を代入すると画面に直線が表示されます。後の(1)から(4)までの各問いに答えなさい。

 

はじめに、優さんは、aとbにある値を代入すると図1の直線が表示されました。

(1)優さんが代入したaの値は、正の値、負の値、0のいずれになりますか。また、3a+bの値は、正の値、負の値、0のいずれになりますか。それぞれ答えなさい。

さらに、優さんは、aとbの値をいろいろと変えました。

(2)図2の②の直線を表示するには、図1の直線とくらべて、aとbの値をどのように変えましたか。下線部のように「aの値は~bの値は~」の形式で答えなさい。

次に優さんは、コンピュータの画面上に4点A,B,C,Dをとり、四角形ABCDを表示しました。そして、図3のように、点B,C,Dは動かさず、点Aは点線上を動かすことにしました。

図4は、点Aが①、②、③、④の順に点線上を動くとき、点AとB、BとC、CとD、DとAを線分で結んでできる図形が変化していく様子を表しています。

優さんは、この変化の様子を図5のように座標平面上で考えました。3点の座標を、B(1,2)C(4,0)D(-3,-2)とし、点Aは点線で示された直線y=-x上を動くこととします。

(4)図4の④のような2つの三角形が出来る場合、点Aの座標が(2,-2)のときに2つの三角形の面積が等しくなりました。図6のように、線分ABと線分CDの交点をRとすると、△RADと△RBCの面積が等しくなることを証明しなさい。

解答・解説

(1) 【正答 (aの値)負の値 (bの値)負の値】

グラフの傾きからaの値は負。

y=ax+bにx=3を代入したときのグラフの値を読み取ると、負の値になっている。

 

(2) 【正答 aの値は大きくする bの値は小さくする】

 図1の直線とくらべて、傾きが緩くなっているので、aの値は大きくする。

図1の直線とくらべて、切片の値は小さくなっているので、bの値は小さくする。

 

(3) 【正答 S:T=1:4】

 線分BDと直線y=-x、直線BCと直線y=-xのそれぞれの交点をA´、A´´とする。

S=△BCD、T=△A´´CDとおける。

直線BCは、傾きが(2-0)/(1-4)=-2/3なので、

y=-2/3x+bに(4,0)を代入して、

y=-2/3x+8/3 ー①

y=-xと①より、点A´´(-8,8)

BC=√{(4-1)²+(0-2)²}=√13、

A´´C=√{(-8-4)²+(8-0)²}=4√13、

△BCD、△A´´CDにおいて、線分BC、A´´Cを底辺とすると高さな同じである。

よって、底辺の長さの比が、面積の比と等しくなるので、

S:T=△BCD:△A´´CD=√13:4√13=1:4

 

(4) 【正答 (例)

直線ACの傾きは1、直線DBの傾きも1

よってAC//DB ー①

△ADCと△ABCについて、ACを底辺とする①より△ADC=△ABC ー②

△RAD=△ADC-△ARC、△RBC=△ABC-△ARC

②より△RAD=△RBCの距離は等しい 】

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大問3

問題文

涼さんと純さんは、食パンとロールパンをつくります。次の(1)から(3)までの各問いに答えなさい。

 

(1)涼さんは、つくったロールパンを友人に同じ個数ずつ配りたいと考えています。4個ずつ配ると9個あまり、6個ずつ配ると5個足りません。友人の人数を求めなさい。

 

食パン1斤とロールパン6個をつくるために使う小麦粉とバターの分量は、次のとおりです。

 

(2)純さんは食パンとロールパンをつくるために、小麦粉1.5kg、バター80gを用意しました。用意した小麦粉とバターは残さずに使います。純さんは、食パンとロールパンをそれぞれいくつつくる予定ですか。方程式をつくり、答えを求めなさい。ただし、答えを求めるまでの過程も書きなさい。

 

2人は、図1のような食パン1斤を焼き上げたあと、食パンを2つ切って2人で分けました。図2は純さんの食パンを表し、図3は、図2の食パンの大きさを表しています。ただし、食パン1斤を直方体とみて、頂点E,F,G,Hが同じ平面上にあるとします。

(3)純さんは図3の四角形EFGHが平行四辺形であることに気づきました。このときの、対角線FHの長さを求めなさい。

 

解答・解説

(1) 【正答 7人】

友人の人数をx人とすると、ロールパンの個数はそれぞれ、

4x+9(個)ー①、6x-5(個)ー②

①、②より

4x+9=6x-5

⇔x=7

 

(2) 【正答 (食パン)2斤 (ロールパン)36個

(求める過程)食パンをx斤、ロールパンをy個つくるとすると、

小麦粉が1.5㎏だから、300x+150y/6=1500 ー①

バターが80gだから10x+10y/6=80 ー②

①より12x+y=60 ー③

②より6x+y=48 ー④

③-④より6x=12 x=2

④よりy=36 】

 

(3) 【正答 17㎝】

線分FHを対角線とする直方体をつくる

点Hと点Fは10-9=1㎝分座標に差があり、直方体の高さと横の長さは12㎝なので、

直方体の対角線を求める公式√(a²+b²+c²)に代入して

√(12²+12²+1²)=√289=17

 

大問4

涼さんと純さんは、体育の授業中に3人で行うダンスの隊形移動について考えています。3人の位置を点A,B,Cとします。後の(1)から(4)までの各問いに答えなさい。

はじめに、点A,B,Cを図1の①から②、②から③の順に動かすことにしました。ただし、①において、点A,B,Cは一直線上にあり、AB=AC=2mとします。

(1)図1の②のように、点B、Cは点Aを中心とする半径2mの円周上を反時計回りに90°それぞれ動きます。点B,Cがそれぞれ動くとき、点B,Cの2点が動く距離の合計を求めなさい。

 

次に、2人は、図1の③から点A,B,Cを動かすことを考えています。

2人は、点A,B,Cが動く距離の合計が、最も短くなる点Pの位置を求めるにはどうしたらよいか先生に質問したところ、アドバイスをもらいました。

(2)下線部のCP=DQであることを証明しなさい。

 

(3)点A,B,Cが動く距離の合計が最も短くなるときの値を求めなさい。

 

さらに2人は、先生から次のアドバイスをもらいました。

先生のアドバイス2の①をもとに作図すると、点Pは、3つの頂点から等距離にあることがわかりました。

 

図4の三角形ABCは正三角形で、点Pは正三角形の3つの頂点からの距離の合計が最も短くなる点です。また、△BCTはmCB=CTの二等辺三角形でBC=2BTです。

 

(4)先生のアドバイス2をもとに、3点B,C,Tからの距離が最も短くなる点Rをコンパスと定規を使って作図しなさい。ただし、作図に使った線は消さないこと。

解答・解説

(1) 【正答 2π㎝】

点B、点Cはそれぞれ、円周の1/4分だけ動くので、あわせて半円分動くことになる。

この円の円周は、2×2×π=4π

これの半分なので、2π

 

(2) 【(例)

△APQ、△ABCは正三角形より

AP=AQー①、AC=BCー②、∠PAQ=∠BCA=60°ー③

AD//BCだから∠BCA=∠DAC(錯角) 

よって③より∠DAC=60°ー④

△APCと△AQDについて、

③より∠PAC=∠PAQ-∠CAQ=60°-∠CAQ

④より∠QAD=∠CAD-∠CAQ=60°-∠CAQ

よって、∠PAC=∠QADー➄

また、AD=BCだから②よりAC=ADー⑥

①、➄、⑥より2組の辺とその間の角が等しいので△APC≡△AQD

合同な2つの三角形の対応する辺の長さは等しいのでCP=DQ】

 

(3) 【正答 4√3m】

 線分BP、PQ、QDの直線が一直線になるとき、BP∔PQ∔QDが最も短くなる。

△ABCより、BC=AB=4㎝

AD=4㎝なので、△ABDはAB=ADの二等辺三角形 ー①

また、AD=BCかつAD//BCなので四角形ABCDは平行四辺形 ー②

①、②より四角形ABCDはひし形とわかる

線分ACと線分BDの交点を点Oとすると、

∠AOC=90°ー③

また、△ABCは正三角形なので∠BAC=60°ー④

③、④よりAB:BO:OA=2:√3:1

BO=4×√3/2=2√3

BD=2×BO=4√3

 

 

(4) 【正答】

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