【和歌山県】令和2年度/2020年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

和歌山県の2020年3月実施の令和2年度(2020年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

和歌山県の数学は5つの大問で構成され、小問集合が2つ、法則性を問う問題(数列)、関数、図形となっています。

難易度はやや易です。数学が得意なお子さんは満点が狙えると思います。

 

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大問1:小問集合

問1:次の(1)~(5)の計算問題を解く問題です。

(1):-8+5
【・答え「-3」】

異符号どうしの加法は、符号を絶対値の大きい方に揃え、絶対値の差を比較する。

 

(2):1+3×(-2/7)
【・答え「1/7」】
かけ算から計算を行う。
(与式)=1-6/7=1/7

 

(3):2(a+4b)+3(a-2b)
【・答え「5a+2b」】
分配法則を用いればよい。
(与式)=2a+8b+3a-6b=5a+2b

 

(4):√27-6/√3
【・答え「」】

√は二乗の時に外に出せる。また、分母の有利化を行う。さらに、√の加法減法は√の中身が同じ時に実行できる。
(与式)=√3²×3-6×√3/√3×√3=3√3-2√3=√3 

(5):(x+1)²+(x-4)(x+2)
【・答え「2x²-7」】
一度展開してから解けばよい。展開公式(x+a)²=x²+2ax+a²と(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abを用いる。
(与式)=x²+2x+1+x²-2x-8=2x²-7

 

問2:次の式を因数分解する問題です。

問2:9x²-4y²
【・答え「(3x+2y)(3x-2y)」】
展開公式(x+a)(x-a)=x²-a²の逆を用いればよい。

 

問3:√10-nの値が自然数となるような自然数nを全て求める問題です。

【・答え「n=1,6,9」】
√の中身が2乗の形にできるのは√9、√4、√1のときのみ。

 

問4:∠xの大きさを求める問題です。

【・答え「140°」】
折り返した点なので∠EAC=∠ACB=20°、AD//BCより錯角が等しいので∠CAE=∠ACB=20°、三角形の内角の和より、∠xの対頂角が180-(20+20)=140°と分かる。

 

問5:サイコロを振り、出た目の数だけ階段を上るゲームをした時、花子さんが和夫さんよりも上に入る確率を求める問題です。ただし、花子さんは1段目、和夫さんは3段目にいます。

【・答え「1/6」】

和夫さんが1を出したとき、4段目に入ることになるので、花子さんが和夫さんよりも上に行くためには4,5,6を出す必要がある。

同様にして、和夫さんが2を出したとき5,6を、和夫さんが3を出したとき6を花子さんは出す必要がある。
和夫さんが4以上の数を出したときは7段目以上に入るので花子さんが何を出しても和夫さんより上に行くことはできない。
よって、命題を満たす場合の数は6通りである。
さいころを1回ずつ振るときの場合の数は36通りあるので、1/6が答えとなる。

大問2:小問集合

問1:円錐の投影図を見て体積を求める問題です。

【・答え「9√3π(cm³)」】

円錐の体積は底面積×高さ÷3で求められる。
投影図を見ると底面は半径3cmの円なので底面積は3×3×π=9π(cm²) 
高さは△ABCが正三角形であることに注目すると高さ:AC=√3:2となるので高さは3√3(cm)
よって体積は9π×3√3÷3=9√3π(cm³)

問2:y=axのグラフが2点A(2,6)B(8,2)の線分AB上の点を通るときのaの値の範囲を求める問題です。

【・答え「1/4≦a≦3」】
傾きaは点Aを通るときに一番大きく、点Bを通るときに一番小さくなるので、それぞれ代入すれば答えが得られる。

 

問3:あるクラスの生徒30人が4月と5月に図書室で借りた本の冊数を表したヒストグラムを見て(1)(2)の問いに答える問題です。

(1):4月と5月のヒストグラムを比較した内容として適切なものをア~オの中からすべて選ぶ問題です。
【・答え「ア、ウ」】

ア:資料を整理するために用いる区間を階級、区間の幅を階級の幅と呼ぶ。4月、5月ともに2冊ずつで区切っているので、正解。
イ:4月の最頻値は3冊、5月の最頻値は7冊なので、誤り。
ウ:4月の中央値は2~4冊、5月の中央値は6~8冊なので、正解。
エ:4冊以上6冊未満の相対度数は4月が40、5月が35なので、誤り。
オ:借りた冊数が6冊未満の数は4月が25人、5月が13人なので、誤り。

(2):5月に借りた本の冊数の平均値を求める問題です。
【・答え「6冊」】

平均値は相対度数を考えればよい。
(1冊×3人+3冊×3人+5冊×7人+7冊×10人+9冊×7人)÷30人=6冊 

問4:ある中学校における生徒会新聞の記事の一部を読んで先月の公園清掃ボランティアと駅前清掃ボランティアの参加者はそれぞれ何人か求める問題です。

【・答え「先月の公園30人、先月の駅前60人」】

 先月の公園ボランティア参加者をx人、先月の駅前ボランティア参加者をy人とする。
y-x=30、1.5x+1.2y=1.3(x+y)の連立方程式が出来るのでこれを解けばよい。

 

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大問3:法則性を問う問題

同じ大きさの箱を幾つか用意し、1番目に1個の箱を壁に接するように置く、2番目に4個の箱を2段2列になるように置く、3番目に9個の箱を3段3列に、4番目に16個の箱を4段4列にと順番に置いていくとき、次の問1,2に答える問題です。

問1:各順番において、置いた箱を全て見渡せる方向から見たとき、それぞれの箱は1面が見えるもの、2面がみえるもの、3面が見えるもののそれぞれの箱の個数と、全ての箱の個数を表1にまとめたとき、以下の(1)~(3)に答える問題です。

(1):表1中のア、イに当てはまる数を書く問題です。
【・答え「ア:8、イ:36」】

ア:表に注目すると2個ずつ増えているので答えは8
イ:表に注目すると、合計個数は順番の二乗になっているので36

 

(2):8番目について、1面が見える箱の個数を求める問題です。
【・答え「49個」】

表に注目すると1面が見える箱の個数は(順番-1)²になっているので(8-1)²=49個 

 

(3):(n+1)番目の箱の合計個数はn番目の箱の合計個数よりも何個多いかnの式で表す問題です。
【・答え「2n+1」】

(1)イと同様にして、(n+1)²-n²=2n+1

 

問2:いくつかの箱を移動し、階段状になる様に組み替えたとき(1)、(2)の問いに答える問題です。

(1):6番目について移動した箱の個数を求める問題です。
【・答え「15個」】

表に注目すると移動する数は順番が一つ少ない数から1までを足しあげた数なので
5+4+3+2+1=15個

 

(2):各順番における階段状の立体の見えない箱の個数、見えている箱の個数、箱の合計個数についてまとめた表2にまとめています。x番目の時見えている箱の個数が111個であるときxの値を求める問題です。
【・答え「x=11」】
表に注目すると、見えない箱の数が(x-1)個、箱の合計個数がx²と分かる。
よって、(x-1)+111=x²を解くと、x=11、-10が得られる。
xは自然数なので答えはx=11

 

大問4:関数とグラフ

y=-x²/4・・・①のグラフ上に点A(4、-4)があり、x軸上に点Pがある。また、点B(-2、-4)があるとき、以下の問1~4に答える問題です。

問1:関数①についてxの変域が-6≦x≦1のとき、yの変域を求める問題です。

【・答え「-9≦y≦0」】

xの変域に0が含まれているので、yの最大値は0である。最小値はx=-6の時なので代入するとy=-9となる。 

 

問2:△PABが二等辺三角形となるPはいくつあるか求める問題です。

【・答え「5個」】

∠Aを頂角とするもので2つ、∠Bを頂角とするもので2つ、∠Pを頂角とするもので1つの計5つ存在する。 

問3:①のグラフと直線APが2点A,Cで交わっている。Cのx座標が-2のとき、pの座標を求める問題です。

【・答え「P(-4,0)」】

2点A,Cを通る式を求めるとy=-x/2-2となる。点Pはy=0なので、代入すると答えが得られる。

 

問4:関数y=ax^2(a>0)・・・②のグラフ上に、x座標が-3である点Dがある。Pのx座標が4のとき、四角形PABDの面積が50となるようなaの値を求める問題です。

【・答え「a=8/9」】
Dは②上の点なので(-3,9a)と表せる。

(-3、-4)となる点Qを置くと、四角形APDQで台形になる。この台形から△DQBの面積を引くと四角形PABDの面積になる。
四角形APDQ=(上底+下底)×高さ÷2=(4+9a+4)×7÷2=63a/2+28
△DQB=1×(9a+4)÷2=9a/2+2
よって、(63a/2+28)-(9a/2+2)=50
54a=48、a=8/9となる。

 

大問5:平面図形

点Oを中心とし線分ABを直径とする半径3cmの半円がある。弧AB上に2点P,Qがあり、Aに近い方をP、Bに近い方をQとする。また、線分BPと線分OQの交点をRとする。このとき、問1~3に答える問題です。

問1:PQ=3㎝、PQ//ABのとき、線分QRの長さを求める問題です。

【・答え「3/2cm」】
△PQR∽△BORであり、QR:OR=PQ:BO=3:3=1:1となる。
OQ=3cmなので、QR=1/2OQ=3/2cmとなる。

 

問2:∠QPB=36°のとき、おうぎ形OBCの面積を求める問題です。

【・答え「9π/5(cm²)」】
弧QBに対する円周角と中心角の関係より、
∠QOB=2∠QPB=72°となる。

よって、おうぎ形OBCの面積は
3×3×π×72/360=9π/5(cm²)となる。

 

問3:線分AQと線分BPの交点をSとするとき(1)(2)の問いに答える問題です。

(1):△RQS∽△RPSを証明する問題です。
【・答え「以下参照」】

△RQSと△RPSにおいて、共通な角なので
∠QRS=∠PRQ・・・①
弧QBに対する円周角より
∠QPR=∠QAB・・・②
△OAQは二等辺三角形なので
∠QAB=∠SQR・・・③
②、③より
∠SQR=∠QPR・・・④
②、④より二つの角がそれぞれ等しいので
△RQS∽△RPS
 

(2):∠QOB=90°、OS//BQとなるとき、線分BRの長さを求める問題です。
【・答え「√10」】
OS//BQより、
OR:QR=SO:QB=AO:AB=3:6=1:2となるので
OR=1/3×OQ=1cm
△ORBに注目し、三平方の定理より
BR=√(1²+3²)=√10となる。

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