2021年度【令和3年度】和歌山県公立高校入試(数学)過去問題解説

【和歌山県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

和歌山県の2021年3月実施の令和3年度(2021年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

 

今年の和歌山県の数学は5つの大問で構成され、小問集合が2つ、法則性を問う問題(数列)、関数、図形となっています。

難易度としては例年よりも難しくやや難です。ただ設問毎のつながりが薄いので、解ける問題を落とさずに得点していくことが大事になってくるように思います。

 

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大問1:

問題文

次の(1)~(5)のに答えなさい。

 (1)次の①~⑤を計算しなさい。

① 3-7

② -1+4÷2/3

③ 3(2a+5b)-(a+2b)

④ 10/√2-√8

⑤ (x-2)(x+2)+(x-1)(x+4)

 

 (2)次の2次方程式を解きなさい。

x²+5x+3=0

 

 (3)等式4x+3y-8=0をyについて解きなさい。

 

 (4)ある数aの小数第1位を四捨五入すると,14になった。このとき,aの範囲を不等号を使って表しなさい。

 

 (5)次の資料は,10人のハンドボール投げの記録を小さい順に整理したものである。

  このとき、資料の中央値(メジアン),最頻値(モード)をそれぞれ求めなさい。

解答・解説

(1) ① 【正答 -4】

3-7=4

 

(1) ② 【正答 5】

=-1+6=5

 

(1) ③ 【正答 5a+2b】

=6a+15b-a-2b

 

(1) ④ 【正答 3√2】

=5√2-2√2

=3√2

 

(1) ⑤ 【正答 2x²2+3x-8】

=x²2-4+x²2+3x-4

=2x²2+3x-8

 

⑵ 【正答 x=(-5±√13)/2】

解の公式を使う

 

⑶ 【正答 y=-4/3x+8/3】

3y=-4x+8

y=-4/3x+8/3

 

⑷ 【正答  13.5 ≦  a < 14.5】

小数第1位が5になると、四捨五入で1つ上の整数になる。

13.5から14になり、14.5から15になる。

13.5≦a<14.5

 

⑸ 【正答 中央値 21,最頻値 17】

10人の中央値(メジアン)は5番目と6番目の平均→21m

最頻値(モード)は最もあらわれている値で17m。

大問2:

次の⑴~⑷に答えなさい。

問題文

 ⑴右の図は、1辺が5cmの立方体である。

  次の①~③に答えなさい。

①辺ABと垂直な面を1つ答えなさい。

②辺ADとねじれの位置にある辺はいくつあるか,答えなさい。

③2点G, Hを結んでできる直線GHと,点Aとの距離を求めなさい。

 ⑵次の条件にあてはまる関数を,下のア~エの中からすべて選び,その記号をかきなさい。

 条件 : x>0の範囲で,xの値が増加するにつれて,yの値が減少する。

 

 ア y=2x  イ y=-8/x  ウ y=-x-2  エ y=-x²

 

 ⑶図1のように,1,2,3,4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。また,図2のように正三角形ABCがあり,点Pは,頂点Aの位置にある。この4枚のカードをよくきって1枚取り出し,書かれた数字を調べてもとにもどす。このことを,2回繰り返し,次の法則に従ってPを正三角形の頂点上を反時計回りに移動させる。

ただし,どのカードの取り出し方も,同様に確からしいものとする。

 

 

〈規則〉

1回目は,Aの位置から,1回目に取り出したカードの数字だけ移動させる。

2回目は,1回目に止まった頂点から,2回目に取り出したカードの数字だけ移動させる。

ただし,1回目にちょうどAに止まった場合は、2回目に取り出したカードの数字より1大きい数だけAから移動させる。

 

例えば,1回目に1カード,2回目に2のカードを取り出したとすると,Pは図3のように動き,頂点Aまで移動する。

この法則に従ってPを移動させるとき、次①,②に答えなさい。

 

①1回目の移動後に,PがBの位置にある確率を求めなさい。

②2回目の移動後に,PがCの位置にある確率を求めなさい。

 ⑷太郎さんは,放課後,家に置いていた本を図書館に返却しようと考えた。午後4時に学校を出発し,学校から家まで徒歩で帰り,家に到着してから5分後に図書館へ自転車で向かい,午後4時18分に図書館に到着した。徒歩は毎分80m,自転車は毎分240mの速さであった。学校から家を経て図書館までの道のりの合計は2㎞である。

太郎さんは,午後4時何分に家を出発したか,求めなさい。ただし,答えを求める過程がわかるようにかきなさい。

 

解答・解説

⑴ ① 【正答 面AEHD】

 

面AEHDか面BFGC

 

⑴ ② 【正答 4】

ネジレ→延長しても交わらない、かつ平行ではない。

辺BF・CG・EF・HGの4本"

 

⑴ ③ 【正答 5√2】

△ADHは等辺が5cmの直角二等辺三角形。

1:1:√2より、AH=5√2cm

 

⑵ 【正答 ウ、エ】

x>0の範囲で、xが増加するとyが減少するのは、

y=-x-2とy=-x²2

ウ・エ

 

⑶ ① 【正答 1/2】

1か4を出せばいいので

2/4=1/2

 

⑶ ② 【正答 7/16】

反時計回りに進めて1個先が2通り、それ以外が1通りずつある。

〔B⇒C〕は2×2=4通り

〔C⇒C〕は1×1=1通り

〔A⇒C〕は2回目にBを出せばCに移るので、1×2=2通り

合計7通りで確率は7/16。

 

⑷ 【正答 太郎さんが学校から家まで歩いた時間をx分,家から図書館まで自転車で移動した時間をy分とすると,

 x + y +5=18

 80 x + 240 y = 2000

これを解いて,

x =7,y =6

よって,

太郎さんが家に到着した時刻は午後4時7分で,

その5分後の午後4時12分に出発した。】

 

学校~家までの徒歩が分速80m、家~図書館の自転車が分速240m。

距離の合計は2000mで、時間の合計は18-5=13分

 

徒歩の時間をx分とすると、自転車は13-x分。

80x+240(13-x)=2000

160x=1120

x=7

 

午後4時7分に家に到着した。

家を出発した時刻はその5分後の午後4時12分

 

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大問3:

問題文

正夫さんと和歌子さんは,1辺の長さが1㎝の正方形の白と黒のタイルを規則的に並べていった。

タイルの並べ方は,図1のように,まず1番目として白タイルを1枚置き,1段とする。

 2番目は,1番目のタイルの下に2段目として,左側から白と黒のタイルが交互になるように,白タイルを2枚,黒タイルを1枚置く。3番目は,2段目のタイルの下に3段目として,左側から白と黒のタイルが交互になるように,白タイルを3枚,黒タイルを2枚置く。

 このように,1つ前に並べたタイルの下に,左側から白と黒のタイルが交互になるように,段と同じ数の枚数の白タイルと,その白タイルの枚数より1枚少ない枚数の黒タイルを置いていく。

 下の⑴,⑵に答えなさい。

 ⑴次の表は,上の規則に従って並べたときの順番と,タイルの枚数についてまとめたものである。

  下の①,②に答えなさい。

①表1中の【ア】,【イ】にあてはまる数を書きなさい

②正夫さんは,n番目の白タイルの枚数をnの式で表すことを考えた。次の文は,正夫さんの考え方をまとめたものである。正夫さんは,どのような考えでn番目の白タイルの枚数をnの式で表したか,その考え方の続きを解答欄の[  ]にかき,完成させなさい。

 ⑵和歌子さんは,図1で並べた各順番のタイルを1つの図形を見て,それらの図形の周の長さを調べた。

  次の表2は,各順番における図形の周の長さについてまとめたものである。

  下の①,②に答えなさい。

①表2中のa,bの関係を等式で表しなさい。

②和歌子さんは,順番が大きくなったときの,図形の周の長さを求めるために,5番目の図形を例に,下のような方法を考えた。

 和歌子さんの考え方を参考にして,50番目の図形の周の長さは何cmになるか,求めなさい。

解答・解説

⑴ ① 【正答  21,  28】

白は+2、+3…で増えていく。

黒は白よりワンテンポ遅れ、白の枚数-〇番目=黒の枚数。

合計は平方数。

 

ア:15+6=21枚

イ:白の7番目と同じ。21+7=28枚

ア…21、イ…28

 

⑴ ② 【正答 (n²2+n)/2枚】

n番目の白をx枚とおく。

黒は問題文に書かれており、x-n枚。

合計はn番目の平方数でn²2枚。

 

白+黒=合計

x+(x-n)=n²2

2x=n²2+n

x=(n²2+n)/2

n番目の白の枚数は、(n²2+n)/2枚

 

⑵ ① 【正答 a+6=b】

4、10、16…と公差が6の等差数列。

a+6=b

 

⑵ ② 【正答 298】

縦の長さはn番目のnと一緒。

横の長さは1、3、5…と奇数で増えていくので、n番目は2n-1。

 

50番目は縦50cm、横99cmの長方形になる。

(50+99)×2=298cm

大問4:

問題文

図1のように,4点O(0,0),A(6,0),B(6,6),C(0,6)を頂点とすると正方形OABCがある。

 2点P,Qは,それぞれOを同時に出発し,Pは毎秒3cmの速さで,辺OC,CB,BA上をAまで動き,Qは毎秒1㎝の速さで,辺OAをAまで動く。

 ただし、原点Oから点(1,0)までの距離,および原点Oから点(0,1)までの距離は1㎝とする。

 次の⑴~⑷を答えなさい。

 

 ⑴P,Qが出発してからAに到着するのはそれぞれ何秒後か, 求めなさい。

 

 ⑵P,Qが出発してから1秒後の直線PQの式を求めなさい。

 

 ⑶△OPQがPO=PQの二等辺三角形となるのは,P,Qが出発してから何秒後か,求めなさい。

 

 ⑷図2のように、P,Qが出発してから5秒後のとき,△OPQと△OPDの面積が等しくなるように点Dを線分AP上にとる。

このとき,点Dの座標を求めなさい。

解答・解説

⑴ 【正答 P:6 Q:6】

P;18÷3=6秒後

Q;6÷1=6秒後

P…6、Q…6

 

⑵ 【正答 y=-3x+3】

1秒後はP(0,3)Q(1,0)

右に1、下に3さがるので傾きは-3。

切片はPのy座標で3。

y=-3x+3

 

⑶ 【正答 12/5】

PがCに着く2秒後ではPO<PQだが、

PがBに着く4秒後ではPO>PQと逆転する。

すなわちPがCB上を移動しているときにPO=PQとなる

 

OQ=xとする。

△OPQは二等辺三角形で、頂角からおろした垂線は底辺を2等分する。

CP=x/2

 

Pの移動距離…6+x/2、Qの移動距離…x

PとQの速さの比は3:1。距離で等式を立てる。

6+x/2=3x

5/2x=6

x=12/5

 

⑷ 【正答 D(6, 1/2)】

△OPQと△OPDの面積が等しいということは、

等積変形の要領でOP//QD。

 

OQ=Qの移動距離=5

PA=(OC+CB+BA)-Pの移動距離=6×3-3×5=3

OPの傾きは3/6=1/2

QDの傾きも平行で1/2。

Qから右に1、上に1/2移動して、Dのy座標は1/2。

D(6,1/2)

 

大問5:

問題文

図1のように,円Oの周上に4点A,B,C,Dがある。円Oの直径ACと,線分BDとの交点をEとする。

ただし,CDの長さは,ADの長さより長いものとする。

次の⑴~⑷に答えなさい。

 

 ⑴DB=DC,∠BDC=70°のとき、∠CADの大きさを求めない。

 ⑵図2のように,AC=4cm,∠ACD=30°のとき,斜線部分の面積を求めなさい。

 ただし,円周率はπとする。

 ⑶図3のように,AC//DFとなるように円Oの周上に点Fを取る。

 このとき,AF=CDを証明しなさい。

 ⑷図4のように,AC⊥BD,AD=3cm,DE=√5cmとする。また,BA//CFとなるように円Oの周上に点Fをとり、直線BDと直線CFの交点をGとする。

 このとき,△ABEと△CGEの面積の比を求め,最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答・解説

⑴ 【正答  ∠CAD= 55 】

△BCDは二等辺三角形より、∠DBC=(180-70)÷2=55°

弧CDに対する円周角より∠CAD=55°

 

⑵ 【正答 4/3π-√3】

半径から△OCDは二等辺三角形で、∠COD=120°

二等辺OCDを縦に割ると、辺の比が1:2:√3の直角三角形となる

△OCDの底辺CDは2√3cm、高さは1㎝。

2×2×π×1/3-2√3×1÷2=4/3π-√3

 

⑶ 【正答 △ACFと△CADで,

AC は共通      ・・・①

AC は直径で AC に対する円周角は等しいから,

∠AFC=∠CDA=90°・・・②

CFに対する円周角は等しいから,

∠CAF=∠CDF   ・・・③

AC // DF より,錯角が等しいので,

∠ACD=∠CDF   ・・・④

③,④より,

∠CAF=∠ACD   ・・・⑤

①,②,⑤から,直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので,

△ACF≡△CAD

よって,AF=CD】

 

⑷ 【正答 △ABE:△CGE = 16:25】

△ADEで三平方→AE=2cm

 

直径に対する円周角で∠ADC=90°

直角三角形ACD・ADE・DCについて、3つの直角三角形はすべて相似図形である。

AE:ED=DE:EC

2:√5=√5:EC

EC=√5×√5/2=5/2㎝

 

△ABE∽△CGEにおいて、AEとCEが対応する辺。

AE:CE=2:5/2=4:5

面積比は辺の比の2乗。△ABE:△CGE=16:25

 

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