茨城県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

大問1　小問集合

問題文

（1）次の①～④の計算をしなさい。
①$1-6$
②$2(x+3y)-(5x-4y)$
③$15a^2b \div 3ab^2 \times b^2$
④$\frac{9}{\sqrt{3}}-\sqrt{12}$

（2）$x^2-6x+9$を因数分解しなさい。

解答・解説

（1）次の①～④の計算をしなさい。

① \(1-6 = -5\)

② \(2(x+3y)-(5x-4y) = 2x+6y-5x+4y = -3x+10y\)

③ \(15a^{2}b \div 3ab^{3} \times b^{2} = 15a^{2}b^{3} \div 3ab^{3} = 5a\)

④ $$ \frac{9}{\sqrt{3}} – \sqrt{12} $$ $$ = \frac{9}{\sqrt{3}} – \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{3}} $$ $$ = \frac{9-6}{\sqrt{3}} $$ $$ = \frac{3}{\sqrt{3}} $$ $$ = \sqrt{3} $$

（2）$x^2-6x+9$を因数分解しなさい。
$(x − 3)^2$
足して-6、かけて9になる 2 つの数の組み合わせを考えればよい。
かけて9になる2つの数の組み合わせは(1,9)(-1,-9)(3,3)(-3,-3)の 4 つ。
この中で足して-6 になるのは(-3,-3)。

大問2　小問集合

問題文

次の（1）～（4）の問いに答えなさい。

（2）$\frac{252}{n}$の値が、ある自然数の2乗となるような、最も小さい自然数$n$の値を求めなさい。

（3）$x$についての2次方程式
$x^2+3ax+a^2-7=0$がある。$a=-1$のとき、この2次方程式を解きなさい。

（4）チョコレート何個かと、それを入れるための箱が何個かある。1個の箱にチョコレートを30個ずついれたところ、すべての箱にチョコレートを入れてもチョコレートは22個余った。そこで、1個の箱にチョコレートを35個ずつ入れていったところ、最後の箱はチョコレートが32個になった。
このとき、箱の個数を求めなさい。

解答・解説

（1）イ、エ
ア：箱ひげ図には平均値は記されていない。
イ：各図の左端の縦線がその教科での最低点を表している。どの教科でも20点以上であるので、この3つを足し合わせたら確実に60点を超えるため、合計点が60点以下の生徒はいないことが分かる。
ウ：中学三年生の中での中央値は12位の人と13位の人の間の点数である。つまり、中央値より多い点数を取った人は12人である。国語を見ると、中央値が60点を上回っているので、1２人以上いるということは分かるが、もう一人60点を超えている人がいるかは分からない。
エ：各箱の右の線は第3四分位数を表している。第3四分位数はデータを小さい順番に並べたときの、全体の3/4番目のデータである。つまり、第3四分位数を超えている人は全体の1/4の６人である。英語を見ると、第３四分位数が80点であるため、80点を超えている人が6人いるということになる。

（2）７
252を素因数分解すると、$2^2×3^2×7$となる。つまり、252を7で割ると$2^2×3^2$となり、これは$6^2$となる。

（3） \[\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\]
\(a=-1\)と言われているので、式に\(a=-1\)を代入する。
\(x^{2}-3x-6=0\)
因数分解ができないので、解の公式に当てはめると、
\[\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+24}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}\]

(4) 5個
2つの状況が示されているので、2つの式を作るとよい。
箱の数を\(x\)、チョコレートの数を\(y\)とおく。
問題文から式を作ると、
y = 30x+22 ・・・①
y = 35(x-1)+31 ②
=35x-3・・・②
ｘを求めたいので、yを消去すると、 30x+22=35x−3 −5x=−25 x=5 つまり、箱は5個。

大問3　確率

問題文

下の図1のように1⃣から7⃣までの番号の書かれた階段がある。地面の位置に太郎さん、7⃣の段の位置に花子さんがいる。太郎さん、花子さんがそれぞれさいころを1回ずつ振り、自分が出した目の数だけ、太郎さんは1⃣、2⃣、3⃣、…と階段を上り、花子さんは6⃣、5⃣、4⃣、…と階段を下りる。例えば、太郎さんが2の目を出し、花子さんが1の目を出したときは、下の図2のようになる。また、2段離れているとは、例えば、図3のような状態のこととする。

このとき、次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
ただし、さいころは各面に1から6までの目が1つずつかかれており、どの目が出ることも同様に確からしいとする。

（1）太郎さんと花子さんが同じ段にいる確率を求めなさい。

（2）太郎さんと花子さんが2段離れている確率を求めなさい。

（3）太郎さんと花子さんが3段以上離れている確率を求めなさい。

解答・解説

(1) \(\frac{1}{6}\)
二人が同じ段にいるパターンは (太郎の目, 花子の目) = (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の6つ。
全体のパターン、つまり二人のサイコロの目の組み合わせは\(6 \times 6=36\)。
つまり求める確率は、\(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)

(2) \(\frac{2}{9}\)
2人が2段離れているパターンは、(太郎の目,花子の目) = (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(3,6)(4,5)(5,4)(6,3) の8パターン。
全体のパターンは(1)と同じなので、求める確率は \(\frac{8}{36}=\frac{2}{9}\)。

(3) \(\frac{1}{3}\)
3段以上離れているということは、全体から同じ段でいるパターン、1段離れているパターン、2段離れているパターンを引いた場合ということ。
このうち、1段離れているパターンだけ求めていないのでそれを求める。
2人が1段離れているパターンは、(太郎の目,花子の目) = (1,5)(2,4)(3,3)(4,2)(5,1)(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2) の10パターン。
つまり、\(36-6-8-10=12\)
求める確率は \(\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\)。

大問4　平面図形

問題文

（1）太郎さんは線分OPと線分BCが平行になるように点Pを動かした。
①線分ACと線分OPの交点をDとし、BC＝10ｃｍとするとき、線分ODの長さを求めなさい。
②太郎さんは、△ABC∽△POAであることに気づき、次のように証明した。【ア】～【オ】をうめて、証明を完成させなさい。
<証明>
△ABCと△POAにおいて
【ア】だから、【イ】＝90°…①
直線lは点Aにおける円Oの接線だから
∠PAO＝90°…②
①、②より、【イ】＝∠PAO…③
平行線の同位角は等しいから、【ウ】＝【エ】…④
③、④より、【オ】がそれぞれ等しいので、△ABC∽△POA

解答・解説

（1）
① 中天連結定理の逆（三角形の底辺を除く一辺の中点から、底辺の平行線を引くと、残りの辺の中点を通る）を用いる。ODはABの中点Oを通り、ACに向かって引かれた底辺CBの平行線であるので、DはACの中点。中天連結定理より、ODはBCの半分の長さなのでOD＝5㎝。

②
ア、イ：△ABCと△POAのうち、∠PAO＝90°であると書かれているため、∠PAOに対応する△ABCにおける角は、∠ACB。つまりイは∠ACB。∠ACB＝90°である理由は、円周角の定理により、半円の弧に対する円周角だからだ。
ウ、エ：二つの三角形のうち、同位角の関係にあるのは∠AOPと∠CBA。
オ：2組の角が等しければ相似である。

(2) $\frac{49\sqrt{3}}{4}\text{cm}^2$
$\triangle\text{APO}$ の面積をまず求める。
$\text{AO}=7\,\text{cm}$であり、$\angle\text{PAO}=90^\circ$、$\angle\text{AOP}=60^\circ$ なので、$\text{AO}:\text{AP}=1:\sqrt{3}$。
つまり、$\text{AP}=7\sqrt{3}$となり、$\triangle\text{APO}=7\times7\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=\frac{49\sqrt{3}}{2}\text{cm}^2$。
次に、$\text{OA}=\text{OE}$ なので、$\triangle\text{OAE}$ は二等辺三角形。
つまり、$\angle\text{AEO}=\angle\text{EAO}=60^\circ$ $\angle\text{PAE}=90^\circ – 60^\circ = 30^\circ$、$\angle\text{PEA}=180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$。
よって、$\angle\text{APE}=180^\circ – 120^\circ – 30^\circ = 30^\circ$ なので、$\triangle\text{AEP}$ は $\text{EA}=\text{EP}$ の二等辺三角形。
つまり、$\text{EP}=\text{OE}$ なので、$\triangle\text{APE}$ は $\triangle\text{APO}$ の高さはそのままで底辺を半分にしたもののなので、面積も半分の $\frac{49\sqrt{3}}{4}\text{cm}^2$。
なお、$\triangle\text{AEO}$ の面積を求めてから、$\triangle\text{APO}$ の面積からそれを引くことによって求めてもよい。

大問5　一次関数

問題文

O（0，0）A（6，0）B（6，6）とするとき、次の（1）（2）の問いに答えなさい。

②次の文章の【Ⅰ】～【Ⅲ】に当てはまる語句の組み合わせを、下のア～カの中から1つ選んで、その記号を書きなさい。
mと線分OBとの交点のうち、点Oと異なる点をPとする。はじめ、点Pは点Dの位置にある。
ここで、aの値を大きくしていくと、点Pは【Ⅰ】の方に動き、小さくしていくと、点Pは【Ⅱ】の方に動く。
また、aの値を$\frac{1}{3}$とすると、点Pは【Ⅲ】上にある。

ア　Ⅰ：点B　Ⅱ：点C　Ⅲ：線分OC
イ　Ⅰ：点B　Ⅱ：点C　Ⅲ：線分CD
ウ　Ⅰ：点B　Ⅱ：点C　Ⅲ：線分DB
エ　Ⅰ：点C　Ⅱ：点B　Ⅲ：線分OC
オ　Ⅰ：点C　Ⅱ：点B　Ⅲ：線分CD
カ　Ⅰ：点C　Ⅱ：点B　Ⅲ：線分DB

解答・解説

(1)
① $\frac{1}{6}$
$y=ax^2$ が B(6,6)を通るので、これを代入すると、
$6 = 36a$
$a = \frac{1}{6}$

② オ
Ⅰ $a$ を2パターンくらい適当に決めて代入してみると良い。$a$ が大きくなると$P$が左(つまり点$C$の方向)に行くことが分かる。
Ⅱ 当然小さくしていくと反対側つまり点$B$の方に動く
Ⅲ $a=\frac{1}{3}$を代入すると、$y=\frac{1}{3}x^2$。あとは交点を求めればよいので、連立方程式を解く。
直線OBの式は$y=x$なので、代入法を用いて、
$\frac{1}{3}x^2 = x$
$\frac{1}{3}x^2 – x = 0$
$x(\frac{1}{3}x – 1) = 0$
つまり、$x=0$のときと、$\frac{1}{3}x-1=0$のときに交わる。$x=0$は原点で交わっていることが分かっているので、求めたいのは$\frac{1}{3}x-1=0$のとき、このときの$x$は$3$。
よって、(3,3)で交わるので点$P$は線分CD上にある。

(2) $\frac{3}{5} < b \le \frac{2}{3}$ 数学において実験してみることは重要である。いろいろな$b$の値をいれてみて$\triangle\text{OEB}$の内部にいくつの点があるかを調べる。そうすると、$b=\frac{2}{3}$のときに、はじめて$\triangle\text{OEB}$の内部にぴったり 12 個の点が入ることが分かる。
同様に、$b$を小さくしていくと、$b=\frac{3}{5}$のときに$\triangle\text{OEB}$の内部の点は 13 個になる。
つまり答えは、$\frac{3}{5} < b \le \frac{2}{3}$。

また、$\triangle\text{OBA}$の中にある点の個数は 28 個なので、$\triangle\text{OEA}$の中にある点の数が 16 個となる$b$の範囲を求めるというやりかたで求めることも可能である。

大問6　空間図形

問題文

解答・解説

(1) ウ
$\text{PC}=2\,\text{cm}$、$\text{CQ}=4\,\text{cm}$、$\angle\text{PCQ}=60^\circ$であるので、辺の長さが$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形であることが分かる。

(2)
①
$A$から $\text{CD}$ に垂線を引いて、$\text{CD}$ と交わった点を $E$ とする。
そうすると、$E$ は $\text{CD}$ の中点になる。$\text{AQ}$ の長さは、$\triangle\text{ACQ}$ において三平方の定理を用いる。
$\text{CE}^2 + \text{AE}^2 = \text{AC}^2$ なので、$\text{AE}^2 = 6^2 – 3^2$。よって$\text{AE}^2 = 27$。
次に、$\triangle\text{AEQ}$ で三平方の定理を用いる。$\text{AE}^2 + \text{EQ}^2 = \text{AQ}^2$ なので、$\text{AQ}^2 = 27 + 1$。
よって$\text{AQ} = 2\sqrt{7}$

②
どこを底面とするかが重要である。$\text{AP}$ を軸に$\triangle\text{APQ}$ を回転させてできる立体は、ただの円錐ではなくて、底面を共有するが高さが異なる二つの円錐をくっつけたような形になる。
ここで、$H$ は $Q$ から $\text{AP}$ におろした垂線と $\text{AP}$ の交点で、回転してできた立体の底面に当たる円の中心である。
まずは円の半径 $\text{QH}$ を求める。$\text{QH}^2 = \text{AQ}^2 – \text{AH}^2$、$\text{QH}^2 = \text{QP}^2 – \text{HP}^2$という2つの式が立てられる。ここで、$\text{AP} = \text{AQ} = 2\sqrt{7}$なので、$\text{HP}^2 = (2\sqrt{7} – \text{AH})^2$と表せる。

立てた二つの式を代入法で解くと、
$(2\sqrt{7})^2 – \text{AH}^2 = (2\sqrt{3})^2 – (2\sqrt{7} – \text{AH})^2$
$28 – \text{AH}^2 = 12 – 28 + 4\sqrt{7}\text{AH} – \text{AH}^2$
$4\sqrt{7}\text{AH} = 44$
$\text{AH} = \frac{11}{\sqrt{7}}$
これを $\text{QH}^2 = \text{AQ}^2 – \text{AH}^2$ に代入すると、 $\text{QH}^2 = 28 – \frac{121}{7}$ $\text{QH}^2 = \frac{75}{7}$
よって、$\frac{75}{7} \times \pi \times 2\sqrt{7} \times \frac{1}{3} = \frac{50\sqrt{7}}{7}$

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