【数学】反比例の関係

前回は比例のグラフの書き方について学んでいきました。

今回は反比例の関係について詳しく解説していきたいと思います。
反比例の鍵はxとyの積が○○です!では見ていきましょう。

目次

1.反比例

早速ですが、縦の長さがxcm、横の長さがycm、面積が24cm²の長方形を考えていきましょう。

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2412864.84

このようにxが2倍、3倍となると、yが1/2倍、1/3倍となる関係を反比例の関係にあると言います。

2.反比例の式

比例の式はy=axで表すことが出来ました。
反比例も同じ様に表すこと出来て、「y=a/x」の形で表すことができます。aを比例定数と呼びます。
前章で触れた内容はy=24/xと表すことができます。

例題

次の関係をyをxの式で表す問題です。
①50kmの道を時速xkmの車で移動するとy時間かかる。
②100cmのテープをx等分すると、1本の長さはycmになる。
③面積が12cm²の三角形の底辺をxcm、高さをycmとする。
④20人の子供にx本ずつ鉛筆を配るときに必要な鉛筆の本数はy本になる。

解説

①時間を求めるときは「距離÷速さ」で求めることができます。
よって、y=50÷x=50/xが答えとなります。

②具体的な数を代入して考えていきましょう。
x=1の時、y=100cm
x=2の時、y=50cm
x=4の時、y=25cm
となります。
よって答えはy=100/xとなります。

③三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で求めることができます。
よって、x×y÷2=12となるので、
y=24/xとなります。

④こちらも具体的な数を代入して考えていきましょう。
x=1の時、y=20
x=2の時、y=40
x=3の時、y=60
となります。
よって答えはy=20xとなります。最後の問題は引っかけで比例の式となります。

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3.反比例の式を求める

この章ではxとyの値が分かったときに式を求める簡単な方法を紹介したいと思います。
冒頭でも触れましたが、反比例の式はxとyの積が必ず「一定」になります。
前章の例題の②の式で見てみると、
x=1の時、y=100なのでx×y=100
x=2の時、y=50なのでx×y=100
x=4の時、y=25なのでx×y=100
すなわち、xとyを掛けたときの値が比例定数となることが最大のポイントです!

例題

yがxに反比例し、x、yの値が次の値になるときにyをxの式で表す問題です。
①x=3,y=-2
②x=2,y=4
③x=-4,y=-1/2

解説

反比例の式はxとyの積が必ず比例定数となります。
①a=3×(-2)=-6
よって、y=-6/xが答えとなります。
②a=2×4=8
よって、y=8/xが答えとなります。
③a=-4×(-1/2)=2
よって、y=2/xが答えとなります。

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4.反比例のグラフ

反比例のグラフは上図のように原点を中心とした対称な2つの曲線になります。
このような曲線のことを双曲線と呼びます。

グラフからの式の読み取り方も、xとyの積が必ず比例定数となることに注目すれば簡単です。実際に問題を解いてみましょう。

例題

下図の①~④のグラフを表す式を書く問題です。

解説

①このグラフは点(3,2)を通るのでa=3×2=6
よって、y=6/xが答えです。
②このグラフは点(2,1)を通るのでa=2×1=2
よって、y=2/xが答えです。
③このグラフは点(-4,2)を通るのでa=-4×2=-8
よって、y=-8/xが答えです。
④このグラフは点(-2,2)を通るのでa=-2×2=-4
よって、y=-4/xが答えです。

趣味:お城巡り

学習アドバイザー 広田

関西大学大学院を卒業後、小6・中3・高3の受験生を主に指導をしてきました。学生の悩み相談を受けているうちに勉強に悩む子を救ってあげたいという気持ちが強まり学習アドバイザーとなりました。勉強に悩む保護者さまやお子さんにお役に立てる記事を配信していければと思います。
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