【数学】図を見て理解!平行線と角

こちらのページでは平行線と角について解説しています!

内角の和、外角、錯角、同位角、対抗角について簡単で分かりやすい図やイラストを交えて解説しています。授業の予習復習や定期テスト対策にご活用ください!!

目次

1.多角形の内角

三角形の内角を全て足すと180°になります。
四角形の内角を全て足すと360°になります。

このように、角を増やすと増える内角の和を表にすると次のようになります。

例えば、三角形が四角形になると内角の和は180°が2倍の360°になり、三角形が六角形になると内角の和は180°の4倍の720°になります。
ここから以下の法則が見つかります。

 表から、角の数から2を引いた値がその図形の内角の和が180°から何倍なのかを表していることが分かります。例えば、4 角形の内角の和は180°の (42→)2 倍の360°、 角形の内角の和は180°の (62→)4 倍の720°になる、といった感じです。

 つまり、角形の内角の和は180°の(2) 倍の 180×(n-2)°になります。

これは公式として覚えておきましょう。
ちなみに、角の数が+1されると内角の和が倍になる理由は次の図で理解することできます。

では、ここまで学んだことを活かして例題を解いてみましょう!

1)八角形の内角の和を求めましょう。
2)正九角形の1つの内角の大きさをもとめましょう。
3)内角の和が1620°である多角形は何角形でしょうか。

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<解答>
1)n角形の内角の和は180×(n-2)° の法則を使いましょう。 8角形の内角の和は180×(8-2)°=1080° よって答えは1080°です。
2)ポイントは九角形である、ということです。正多角形の特徴は、全ての辺と角が等しいということです。

例えば正三角形は全て60°で出来ていますよね。三角形の内角の和は180°なので180÷3でひとつの角の値を求めることもできます。このことを踏まえて問題を解いていきましょう。

9角形の内角の和は180×(9-2)°=1260°  正九角形は全ての角が等しいので、1260°を9で割れば、1つの角の値を求めることができます。 よって1260÷9=140 となり、答えは140°です。

3)いままでは「n角形の内角の和は180×(n-2)° 」のnの値が分かっていて、内角の和を求める問題でしたが、今度は内角の和が分かっていて、nの値を求める問題です。 →180×(n-2)=1620 となり、nの値を求める方程式を解きます。 n=11となり答えは11角形です。

2.多角形の外角

外角は、180°内角で求めることができますね。では、これを応用して…

三角形の外角の和は、(180°×3)←(内角+外角の和) - 180° ←(三角形の内角の和)= 360° になります。

同様に四角形の外角の和は、(180°×4)←(内角+外角の和)  360° ←(四角形の内角の和)= 360° 

5角形の外角の和は、(180°×5)←(内角+外角の和) - 540° ←(五角形の内角の和)= 360° …

三角形も、四角形も、五角形も、外角の和は360°になりました。つまり、角の数に関わらず、多角形の外角の和は360°であることが分かります。

では、ここまで学んだことを活かして例題を解いてみましょう!

1)八角形の外角の和を求めましょう。
2)正九角形の1つの外角の大きさをもとめましょう。
3)1つの外角が45°である正多角形は何角形でしょうか。

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<解答>
1)角の数に関わらず、多角形の外角の和は360°です。よって答えは360°になります。

2)ポイントは九角形である、ということです。正多角形の特徴は、全ての辺と角が等しいということです。正九角形の1つの外角をx°とすると、360°=x°×9 という式をつくることが出来ます。

よってx=40° となり、答えは40°になります。

3)正多角形の角の数をnと仮定します。多角形の外角の和は360°なので 360°=45°×nという式がつくれます。n=8となり、答えは正八角形になります。

3.対項角

図のように、2つの直線が交わっています。この時、それぞれの向かい合った角を対項角といい、対項角の角度は等しいです。

なぜ角度が等しくなるのかは、下の図で理解することができます。

(問)a の角度を求めましょう。

4.同位角と錯角

赤色で示した角を同位角、青色で示した角を錯角と言います。横の直線が平行であるとき、同位角と錯角の角度はそれぞれ等しくなります。

4つの角にそれぞれa,b,c,d,と名前をつけると、aとcが同位角、bとdが錯角になります。よって a=c, b=d となります。また、aとb、cとdはそれぞれ対項角であるので、a=b,c=d となり、a,b,c,d,の角度はすべて等しくなります。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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趣味:カメラ

学習アドバイザー 早川

これまで学習アドバイザーとして沢山のお子さんのお悩みを解決してきました。そのノウハウや勉強のコツなどをこの記事を通して発信していきます。
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