【数学】三角形の合同と証明をていねいに解説!

こちらのページでは合同と証明について解説しています!
三角形の合同条件や証明のやり方などを、例題とともに解説しています。授業の予習復習や定期テスト対策にご活用ください!!

目次

1.合同

合同とは

形も大きさも同じであることを合同といいます。AとBが合同であることを数学的に表現すると、AB となります。
今回はこの合同を数学的に扱っていきます。さっそく例題で雰囲気をつかみましょう!

<例題> かっこの中にあてはまる語をうめましょう。

合同な三角形:△ABC≡△(          )
対応する角や辺
辺AC:辺(        )、∠ACB:∠(        )

<解答>
△JKL、辺JL、∠LJK

三角形の合同条件

今回は三角形の合同にフォーカスをあてて学んでいきます。まずは、三角形が合同であることを示す条件を3つご紹介します。

例題を解いて、この3つの条件をどのように使うのかを理解しましょう!

<例題1>
以下の三角形と合同な三角形、正しい合同条件を選びましょう。
△ABC ≡ (     )  
合同条件:(    )
△DEF ≡ (     )  
合同条件: (     )
△GHI ≡ (     )  
合同条件: (     )

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<解答>
△ABC ≡ △OMN 
合同条件:3辺がそれぞれ等しい
△DEF ≡ △QRP 
合同条件:2辺とその間の角がそれぞれ等しい
△GHI ≡ △JKL 
合同条件:1辺とその両端の角がそれぞれ等しい

<例題2>
次の図形から合同な三角形を見つけ、その合同条件と共に答えましょう。
(1) △ABO ≡ (     )
合同条件: (     )
(2) △ABD ≡ (     )
合同条件: (   )
(3) △ABD ≡ (     )
合同条件: ( )

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<解答>
(1) △ABO ≡  △DCO 
合同条件:1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
(2) △ABD ≡  △ACD 
合同条件:2辺がそれぞれ等しい
(3) △ABD ≡  △BDC  
合同条件:2辺とその間の角がそれぞれ等しい

2.証明

証明のやり方

仮定から、(定理を用いて)結論を出すことを証明といいます。どういうことか、ひとつひとつくだいて見ていきましょう。

まず仮定とは、あることを導き出すために、前提として分かっている事がらのことです。例えば【xが3の倍数、yが2の倍数であるとき、xyは6の倍数になる。】とあるとき、「xが3の倍数、yが2の倍数である」が仮定にあたる部分になります。続いて結論は、仮定から新しく導き出されたものを指します。先ほどの例でいう「xyは6の倍数になる」が結論にあたります。
そして、証明をするためには定理が必要になる場合があります。定理とは、前半で紹介した三角形の合同条件にあたるものです。

例題でさらに理解を深めましょう!
<例題>

右の図で、AC=BD、AD=BCのとき、AC // BCになる。このことについて、次の問いに答えましょう。

➀仮定と結論を言いましょう。

②仮定から結論を言うには、どの三角形とどの三角形の合同を言えばよいですか。

③仮定から結論が言えることを証明しましょう。

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<解答・解説>
➀ 仮定:AC=BD、AD=BC 結論:AD // BC   仮定は前半結論は後半であることが多いです。

② △ABCと△BAD

平行の特徴は、(同位角や)錯角が等しいということです。つまり、△ABCと△BADが合同であることを証明出来れば、∠CAB=∠DBAが言えて、錯角が等しいことが言えます。三角形の合同を証明することで、平行であることに持っていきます。

③ △ABCと△BADにおいて、AC=BD…➀ BC=AD…②共通する辺なので、AB=BA…③。➀②③より、3辺がそれぞれ等しいので、△ABC≡△BAD  対応する角は等しいので、∠CAB=∠DBA

証明の手順としては、まず初めに合同をいいたい三角形をあげる。次に合同条件を3つあげる。最後に合同条件をあげて、合同をいう。という3つで行います。

以上を踏まえて、練習問題を解いてみましょう!
<練習問題>
下図において、BC=DEであることを証明しましょう。

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<解答>
△AEDと△ACBにおいて、
AE = AC …①
AD = AB …②
2つの三角形に共通する角なので、∠EAD = ∠CAB…③
①②③より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AED ≡ △ACB
よって、対応する辺は等しいので、BC = DE となる。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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趣味:カメラ

学習アドバイザー 早川

これまで学習アドバイザーとして沢山のお子さんのお悩みを解決してきました。そのノウハウや勉強のコツなどをこの記事を通して発信していきます。
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