【島根県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学
島根県の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
問1 4ー12÷2を計算しなさい。
問2 方程式x²＋8x+12 = 0 を解きなさい。
問3 連立方程式
を解きなさい。
問4 100gあたりa円の牛肉を300gと，100gあたりb円の豚肉を 500g買ったときの代金の合計が 1685 円 だった。この数量の関係を等式で表しなさい。ただし，すべての金額は消費税を含んでいるものとする。
問5 √8ー2/√2を計算しなさい。
問6 次のア～工の数の中で絶対値が最も大きいものを1つ選び，記号で答えなさい。
ア 2 イ √3 ウ -7/3 エ 0
問 7 y は x に反比例し，x=-4のとき y=2 である。xとyの関係を式に表しなさい。
問8 図1のような平行四辺形ABCDにおいて，辺BC上に 点E,辺AD上に点 Fを，AE=EF，∠AEF= 30°となるようにとる。∠xの大きさを求めなさい。
問9 次のア～ウの四角形 ABCD のうち， 4 点 A,B,C,Dが1つの円周上にあるものを1つ選び，記号で答えなさい。
問10 図2のように100点，50点，0点と書いてある3個の玉が入った袋がある。袋の中から1個の玉を取り出して点数を調べて袋の中に戻し，もう一度1個の玉を取り出して点数を調べる。取り出した玉に書いてある点数の合計が50点以下になる確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
解答
問1 【正答 -2】
問2 【正答 x=-6,-2】
問3 【正答 x= 2, y= 3】
問4 【正答 3a+5b=1685】
問5 【正答 √2】
問6 【正答 ウ】
問7 【正答 y =-8/x】
問8 【正答 55度】
問9 【正答 イ】
問10 【正答 1/3】
大問2
問題文
次の問1，問2に答えなさい。
問1 1班と2班のそれぞれ10人に対してテストを実施したところ，点数が表のようになった。ただし点数は条件1を満たす。あとの1～3に答えなさい。
条件1
・点数は0点以上，10点以下の整数である。
・表中のaは同じ点数である。
・2班10人の点数の平均値は5.0点である。
1 1班10人の点数について，次の(1),(2)に答えなさい。
（1）中央値を求めなさい。
（2）平均値を求めなさい。
2 表中の点数aの値を求めなさい。
3 次の条件2を満たすように，1班のx点の生徒1人と2班のy点の生徒1人を入れかえた。このとき，x, yの値を求めなさい。
条件2
・1班10人の点数の平均値と2班10人の点数の平均値を等しくする。
・1班10人の点数の中央値を生徒を入れかえる前より大きくする。
問2 1,4,7,10,13,16,…のように1か ら3ずつ増える整数を図のように並べていく。下の1,2に答えなさい。
1 太郎さんは，図の2行目の5つの数の和を計算し，16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 110 = 5 × 22 となった結果から，次のことが成り立つと予想した。
予想「各行の5つの数の和は，その行の3列目の数の5倍である。」
このことを，花子さんが，次のように説明した。 【ア】，【イ】に適する式を甚きなさい。また，【ウ】にその説明の続きを書き，説明を完成させなさい。
説明
ある行の1列目の整数をnとすると，5つの数は小さい順に
n，【ア】，n+6，n+9，【イ】
と表せるわね。だから，
【ウ】
したがって，
「各行の5つの数の和は，その行の3列目の数の5倍である。」
という予想は正しそうね。
2 20行目の5つの数の和を求めなさい。
解答
問1 1（1） 【正答 3.5点】
問1 1（2） 【正答 4.0点】
問1 2 【正答 a= 9】
問1 3 【正答 x＝1，y＝6】
問2 1 【正答 ア.n+3 イ.n+12 ウ．（例）この5つの数の和は，n + (n + 3) + (n + 6) + (n + 9) + (n + 12)= 5n + 30 = 5 (n + 6)より，3列目の数n+6の5倍である。】
問2 2 【正答 1460】
大問3
問題文
A中学校とB中学校には吹奏楽部があり，それぞれの中学校では毎月，活動費を支給する。ただし，中学校によって活動費の決め方は異なり，その決め方をまとめたものが，次の表である。
活動費は， 基本支給額と部員数によって決まる支給額の合計であり，基本支給額は，部員数が0人であっても必ず 支給される。
例えば，B中学校については，ある月の部員数が100人 のとき 基本支給額が1,000円であり， 部員数によって決まる支給額は20人までは1人あたり200円で，残りの80 人は1人あたり50円である。したがって， その月の活動費を求める式は，
1000 + 200 × 20 + 50 × 80
であり，これを計算すると，活動費は9000円になる。活動費と部員数の関係を一次関数を用いて考える。
図1は，A中学校の吹奏楽部の部員数をx人，活動費をy円としたときのxとy の関係をグラフで表したものである。下の問1～問4に答えなさい。
問1 図1のグラフを利用して，表中の【ア】，【イ】にあてはまる値を求めなさい。
問2 A中学校の吹奏楽部の部員数が50人であったとき，その月の活動費を求めなさい。
問3 図2は，B中学校の吹奏楽部の部員数をx人，活動費をy円 としたとき，0≦x≦20のときの Xとyの関係をグラフで表したものである
次の1,2に答えなさい。
1 x≧20のときのxとyの関係を表す式を求めなさい。
2 x≧20のときのxとyの関係を表すグラフを図 2にかき加えなさい 。
問4 A中学校とB中学校の吹奏楽部について，次の1，2に答えなさい。
1 活動費が等しく，部員数も等しくなる場合が2通りある。 その2通りの部員数を求めなさい。
2 活動費が等しく，部員数の差が20人となるときの活動費を求めなさい。
解答
問1 【正答 ア.2000 イ.100】
問2 【正答 7000円】
問3 1 【正答 y = 50x+ 4000】
問3 2 【正答 】
問4 1 【正答 10人と40人】
問4 2 【正答 8000円】
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大問4
問題文
関数y=1/2x²…①のグラフ上に2点A, Bがあり，そのx座標はそれぞれー2，4 である。次の問1，問 2 に 答えなさい。
問1 図1 のように，2点A，Bを通る直線をlとし，lとy軸との交点をCとする。下の1～3に答えなさい。
1 関数①について，xの変数が-2≦x≦4のとき，yの変域を求めなさい。
2 点Cのy座標を求めなさい。
3 △OABの面積 を求めなさい。
問2 図2のように，点A を通りx軸に平行な直線をmとする。下の1,2に答えなさい。
1 m上に△OABの面積と△OAPの面積が等しくなるような点Pをとるとき，点Pの座標を求めなさい。ただし，点Pのx座標は正であるとする。
2 問2 の1の点P に対して，四角形OABPを考える。辺BP上に点Q をとり，△ABQ の面積が四角形OABP の面積 の1/2となるように したい。点Qの座標を求めなさい。
解答
問1 1 【正答 0 ≦y≦8】
問1 2 【正答 4】
問1 3 【正答 12】
問2 1 【正答 P (10, 2)】
問2 2 【正答 Q (8, 4) 】
大問5
問題文
図1のように，∠C＝90°の直角三角形ABCがあり，BC＝a，CA＝b，AB＝cとするとき，次の関係が成り立つ。
a²＋b²＝c²…[1]（三平方の定理）
下の問1～問4に答えなさい。
問1 a=3，b=1のとき[1]が成り立つような正の数Cの値を求めなさい。
問2 次の長さを3辺とする三角形のうち，直角三角形はどれか。ア～ウから1つ選び，記号で答えなさい。
ア 2㎝，3㎝，4㎝
イ 3㎝，4㎝，5㎝
ウ 4㎝，5㎝，6㎝
問3 図2の∠F = 90°の直角三角形 DEFにおいて，辺DE上に∠DGF = 90° となる点Gをとるとき，点Gの位置を 定規とコンパスを用いた作図で求め， 文字Gを書きなさい。ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
問4 図3のように， 図1の直角三角形 ABC の辺 AB 上に∠ARC= 90° となる点 Hをとる。 次の1, 2に答えなさい。
1 △ACH∽△CBHであることを証明しなさい。
2 ヒカルさんは，△ABC,△ACH,△CBHがすべて相似であることに気がつき，3つの三角形の面積の関係を用いて，[1]（三平方の定理）が成り立つことを次のように説明した。
【ア】～【カ】にあてはまる文字や式を入れて，説明を完成させなさい。
説明
△ABC, △ACH, △CBH の面積をそれぞれP, Q, Rとすると，
Q+R=P… ①
が成り立ちます。
ここで，△ABCと△ACHの相似比は，c:bであるから，△ABC と△ACH の面積の比は，
P:Q＝【ア】:【イ】
この比例式を変形して，Qについて解くと，
Q=【ウ】×P…②
また，△ABC と△CBH の相似比は，
【エ】:【オ】であるから， 同様に考えると，
R=【カ】×P…③
そして，②，③を①に代入してできた式を変形すると，[1]が成り立ちます。
解答
問1 【正答 c＝√10】
問2 【正答 イ】
問3 【正答 】
問4 【正答 （例）
△ACHと△CBHにおいて，
∠AHC＝∠CHB=90°…①
∠ACH＋∠BCH= 90°より，
∠ACH=90°-∠BCH
∠CBH＋∠BCH= 90°より，
∠CBH= 90°-∠BCH】
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