【新潟県】令和5年度/2023年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
新潟県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1 小問集合
問題文
次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1）$7-(-3)-3$を計算しなさい。
（2）$2(3a-2b)-4(2a-3b)$を計算しなさい。
（3）$(-6ab)^2 \div 4ab^2$を計算しなさい。
（4）連立方程式$\begin{cases}x+3y=21\\2x-y=7\end{cases}$を解きなさい。
（5）$\sqrt{45}-\sqrt{5}+\frac{10}{\sqrt{5}}$を計算しなさい。
（6）130人の生徒が1人$a$円ずつ出して、1つ$b$円の花束を5つと、1本150円のボールペンを5本買って代金を払うと、お釣りがあった。このとき、数量の関係を不等式で表しなさい。
（7）次の図のように、円$O$の醜状に演習を9等分する9つの点A、B、C、D、E、F、G、H、Iがある。
線分ADと線分BFの交点をJとするとき、$\angle x$の大きさを求めなさい。
（8）次の図は、ある家庭で購入した卵40個の重さを1個ずつはかり、ヒストグラムに表したものである。このヒストグラムに対応する箱ひげ図として正しいものを、次のア～エから1つ選び、その符号を書きなさい。
ただし、階級は52g以上54g未満のように、2gごとの区間に区切っている。
解答・解説
（1）７
（2）$-2a+8b$
（3）$9a$
（4）$x=6$ $y=5$
（5）$4\sqrt{5}$
（6）$130a>5b+750$
（7）$120°$
$\angle ACB×2=∠AOB$ であることを利用
（8）ア
大問2 作図と確率
問題文
次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1）1から6までの目のついた1つのさいころを2回投げるとき、1回目に出る目の数をa, 2回目に出る目の数をbとする。このとき、$\frac{24}{a+b}$が整数になる確率を求めなさい。
（2）次の図のように、$AD \ // \ BC$の台形ABCDがあり、$\angle BCD = \angle BDC$である。
$\angle DBA = \angle BCE$となる点Eをとるとき、$AB=EC$であることを証明しなさい。
（3）下の図のように, 平行な2直線$l$、$m$と点Aがある。点Aを通り, 2直線$l$、$m$の両方に接する円の中心を、定規とコンパスを用いて、作図によってすべて求め、それらの点に$\bullet$をつけなさい。
ただし、作図は解答用紙に行い、作図に使った線は消さないで残しておくこと。
解答・解説
（1）$\frac{17}{36}$
次の表のように、さいころを2回投げたときの目の出方は全部で36通りある。
$\frac{24}{a+b}$が整数になる数、すなわち$24÷(a+b)$で割り切れる約数を見つければよい。
さいころの目の合計は$2 \le a + b \le 12$ であり、このうち、$a + b$ が24の約数となるのは、17通りある。
よって、$\frac{17}{36}$
| a\b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
（2）解答例
$\triangle ABD$ と $\triangle ECB$ において、仮定より、 $\angle DBA = \angle BCE$ ･･･①
$\triangle BCD$ は $\angle BCD = \angle BDC$ の二等辺三角形であるから、$BD = CB$ ･･･②
$AD // BC$ より、$\angle ADB = \angle EBC$ ･･･③
①、②、③より、1辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、$\triangle ABD \equiv \triangle ECB$
よって、$AB = EC$
等しい角を探し、二等辺三角形、錯覚の性質を用いることで三角形の合同条件を示そう。
（3）図を参照
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大問3 資料の活用
問題文
下の図1のように、$OA=12 \text{cm}$、$OC=6 \text{cm}$の長方形OABCがあり、2つの頂点O、Aは直線$l$上にある。点Pは、頂点Oを出発し、毎秒$2 \text{cm}$の速さで、図2、3のように直線$l$上を頂点Aまで移動する。また、線分OPの延長上に、OP=PQとなる点Qをとり、直線lについて長方形OABCと同じ側に、正方形PQRSをつくる。
点Pが頂点Oを出発してから、$x$秒後の長方形OABCと正方形PQRSの重なっている部分の面積を$y\text{cm}^2$とするとき、次の（1）～（4）の問いに答えなさい。ただし、点Pが頂点O、Aにあるときは、$y=0$とする。
（1）$x=2$のとき、$y$の値を答えなさい。
（2）次の①、②について、$x$を$y$の式で表しなさい。
$0 \leqq x \leqq 3$のとき
$3 \leqq x \leqq 6$のとき
（3）$0 \leqq x \leqq 6$のとき、$x$と$y$の関係を表すグラフを書きなさい。
（④）$y=20$となる$x$の値を全て求めなさい。
解答・解説
（1）$y=16$
図を描いて計算すること。
（2）① $-y=4x^2$ ② $-y=-12x+72$
$x=3$ までは正方形 $PQRS$ は長方形 $OABC$ から出ることはない。しかし $x>3$ では正方形 $PQRS$ に長方形 $OABC$ と重ならない部分があることに注意。
（3）図を参照
（2）で求めた式のグラフを描く。
（4）$x = \sqrt{5}, \frac{13}{3}$
0 \le x \le 3$ のとき、$4x^2 = 20$ を解いて、$x = \pm \sqrt{5}$
$0 \le x \le 3$ から $x = \sqrt{5}$
$3 \le x \le 6$ のとき、$-12x + 72 = 20$ を解いて、$x = \frac{13}{3}$ これは、$3 \le x \le 6$ を満たす。
よって、$x = \sqrt{5}, \frac{13}{3}$
$y=20$を代入し、$x$を求める。なお、（3）で書いたグラフより、xが2つ存在することが分かる。
大問4 連立方程式
問題文
箱の中に、数字を書いた10枚のカード［1］［2］［3］［4］［5］［6］［7］［8］［9］が入っている。これらのカードを使い、次の手順Ⅰ～Ⅲに従って、記録用紙に数を記入していく。このとき、あとの（1）、（2）の問いに答えなさい。
手順
Ⅰ 箱の中から1枚のカードを取り出して、そのカードに書かれている数字を、記録用紙の1番目の欄に記入し。カードを箱の中に戻す。
Ⅱ 箱の中からもう一度1枚のカードを取り出して、そのカードに書かれている数字を、記録用紙の2番目の欄に記入し、カードを箱の中に戻す。
Ⅲ 次に、記録用紙の（$n-2$）番目の欄の数と（$n-1$）番目の欄の数の和を求め、その一の位の数を$n$番目の欄に記入する。ただし、$n$は3以上18以下の自然数とする。
記録用紙
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | 4番目 | 5番目 | 6番目 | … | 16番目 | 17番目 | 18番目 |
（1）次の文は、手順Ⅰ～Ⅲに従って、記録用紙に数を記入するときの例について述べたものである。このとき、文中の【ア】～【ウ】に当てはまる数を、それぞれ答えなさい。
例えば、手順Ⅰで［2］のカード、手順Ⅱで［3］のカードを取り出したときには、下のように、記録用紙の1番目の欄には2、2番目の欄には3を記入する。このとき、16番目の欄に記入する数は【ア】、17番目の欄に記入する数は【イ】、18番目の欄に記入する数は【ウ】となる。
| 1番目 | 2番目 | 3番目 | 4番目 | 5番目 | 6番目 | … | 16番目 | 17番目 | 18番目 |
| 2 | 3 | 5 | 8 | 3 | 1 | … | 【ア】 | 【イ】 | 【ウ】 |
（2）手順Ⅰ、Ⅱで取り出したカードに書かれている数字と、手順Ⅲで記録用紙に記入する数に、どのような関係があるかを調べるために、次の表1、2を作った。
表1は、手順Ⅰで［0］〜［9］のいずれか1枚のカードを取り出し、手順Ⅱで［5］のカードを取り出したときのそれぞれの場合について、1番目の欄の数を小さい順に並べ替えてまとめたものである。また、表2は、手順Ⅰで［0］〜［9］のいずれか1枚のカードを取り出し、手順Ⅱで［6］のカードを取り出したときのそれぞれの場合について、1番目の欄の数を小さい順に並べ替えてまとめたものである。このとき、下の①、②の問いに答えなさい。
表1
| 1番目 | 2番目 | … | 16番目 | 17番目 | 18番目 |
| 0 | 5 | … | 0 | 5 | 5 |
| 1 | 5 | … | 7 | 5 | 2 |
| 2 | 5 | … | 4 | 5 | 9 |
| 3 | 5 | … | 1 | 5 | 6 |
| 4 | 5 | … | 8 | 5 | 3 |
| 5 | 5 | … | 5 | 5 | 0 |
| 6 | 5 | … | 2 | 5 | 7 |
| 7 | 5 | … | 9 | 5 | 4 |
| 8 | 5 | … | 6 | 5 | 1 |
| 9 | 5 | … | 3 | 5 | 8 |
表2
| 1番目 | 2番目 | … | 16番目 | 17番目 | 18番目 |
| 0 | 6 | … | 0 | 2 | 2 |
| 1 | 6 | … | 7 | 2 | 9 |
| 2 | 6 | … | 4 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | … | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 6 | … | 8 | 2 | 0 |
| 5 | 6 | … | 5 | 2 | 7 |
| 6 | 6 | … | 2 | 2 | 4 |
| 7 | 6 | … | 9 | 2 | 1 |
| 8 | 6 | … | 6 | 2 | 8 |
| 9 | 6 | … | 3 | 2 | 5 |
① 手順Ⅱで［5］、［6］以外のカードを取り出しても、17番目の欄の数は、1番目の欄の数に関係なく、2番目の欄の数によって決まる。このことを証明しなさい。
② 手順Ⅰで［$x$］のカード、手順Ⅱで［4］のカードを取り出したとき、18番目の欄の数が1になった。このとき。$x$の値を求めなさい。
解答・解説
（1）【ア】4 【イ】1 【ウ】5
16、17、18番目は手動で求める。式で求めるか、手計算で求めるかはnにより判断する。
（2）
①1番目の棚の数をa、2番目の棚の数をbとし、10の倍数を取り除きながら 17 番目まで順に書き出すと、a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 3b, 3a + b, a + 4b, 4a + 5b, 5a + 9b, 9a + 4b, 4a + 3b, 3a + 7b, 7a, 7b (17番目)
したがって、17 番目の棚の数は、1番目の棚の数に関係なく、2 番目の棚の数によって決まる。
1番目の数をa、2番目の数をbと置いて、10の倍数になったときに取り除く。この工程を経てn=17まで計算すれば、n=17のとき7bとなることが判明する。この数はaによらないことがわかる。
②1番目の数をa、2番目の数をbと置いて、10の倍数になったときに取り除く。この工程を経てn=17まで計算すれば、n=17のとき7bとなることが判明する。この数はaによらないことがわかる。 ①の際にn=16で7aとなることが判明している。7bは今回8であるため、n=18で7a+8となる。これが1となるためには、7a+8の下二桁が1であればよい。これを満たすaは、9のみである。
①の際にn=16で7aとなることが判明している。7bは今回8であるため、n=18で7a+8となる。これが1となるためには、7a+8の下二桁が1であればよい。これを満たすaは、9のみである。
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大問5 空間図形
問題文
〔5〕下の図のような立体 $ABC – DEF$ があり、四角形 $ABED$ は、$BA = 5 \text{ cm}$、$BE = 10 \text{ cm}$ の長方形であり、$\triangle ABC$ と $\triangle DEF$ は正三角形である。
また、辺 $BE$ と辺 $CF$ は平行であり、$CF = 5 \text{ cm}$ である。
点 $C$ から辺 $BE$ に引いた垂線と辺 $BE$ との交点を $P$ とするとき、次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
(1) 線分 $CP$ の長さを答えなさい。
(2) 5点 $C, A, B, E, D$ を結んでできる四角すいの体積を求めなさい。
(3) 4点 $A, B, C, F$ を結んでできる三角すいの体積を求めなさい。
解答・解説
（1）$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
$BC=EF$ であるため、$BP=(10-5)/2=\frac{5}{2}$ とわかる。ピタゴラスの定理より $CP$ が計算できる。
（2）$\frac{125\sqrt{2}}{3}$
$C$ から長方形 $ABED$ へ垂線を落とす。その交点を $M$ とすれば、$PM=AB/2=\frac{5}{2}$ とわかる。これにピタゴラスの定理を用いれば $CM$ が導出できる長方形 $ABED$ の面積 $=50$ より、四角錐の体積が計算できる。
（3）$\frac{125\sqrt{2}}{12}$
辺 $AB$ の中点を $N$ とすると、求める三角錐の体積は、
$\frac{1}{3} \times (\triangle CFN \text{の面積}) \times AB = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times CF \times CM \times 5$
となる。
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