【神奈川県】令和8年度/2026年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
神奈川県の2026年3月実施の令和8年度（2026年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去の入試問題を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
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大問1 小問集合
問題文
次の計算をした結果として正しいものを，それぞれあとの1～4の中から 1 つずつ選び，その番号を 答えなさい。
(ア) $-8 – 5$
1：$-13$
2：$-3$
3：$3$
4：$13$
(イ) $-\frac{2}{9} + \frac{3}{4}$
1：$-\frac{35}{36}$
2：$-\frac{19}{36}$
3：$\frac{19}{36}$
4：$\frac{35}{36}$
(ウ) $\frac{3x+y}{4} – \frac{2x-3y}{7}$
1：$\frac{13x – 19y}{28}$
2：$\frac{13x – 5y}{28}$
3：$\frac{13x + 5y}{28}$
4：$\frac{13x + 19y}{28}$
(エ) $27a^2b \times 4b \div 6a$
1：$18ab^2$
2：$36ab^2$
3：$18a^2b^2$
4：$36a^2b^2$
(オ) $(\sqrt{7}-3)^2 + 4(\sqrt{7}-3)$
1：$-3 – 10\sqrt{7}$
2：$4 – 2\sqrt{7}$
3：$14 + 2\sqrt{7}$
4：$15 + 10\sqrt{7}$
解答・解説
（ア）1
$-8 – 5 = \mathbf{-13}$
（イ）3
$-\frac{2}{9} + \frac{3}{4} = -\frac{8}{36} + \frac{27}{36} = \frac{-8 + 27}{36} = \mathbf{\frac{19}{36}}$
（ウ）4
$\begin{aligned} \frac{3x+y}{4} – \frac{2x-3y}{7} &= \frac{7(3x+y) – 4(2x-3y)}{28} \\ &= \frac{(21x + 7y) – (8x – 12y)}{28} \\ &= \frac{21x – 8x + 7y + 12y}{28} \\ &= \mathbf{\frac{13x + 19y}{28}} \end{aligned}$
（エ）1
$27a^2b \times 4b \div 6a = \frac{27a^2b \times 4b}{6a}=18ab^2$
（オ）2
$(16 – 6\sqrt{7}) + (4\sqrt{7} – 12) = (16 – 12) + (-6\sqrt{7} + 4\sqrt{7}) = \mathbf{4 – 2\sqrt{7}}$
大問2 小問集合
問題文
次の問いに対する答えとして正しいものを，それぞれあとの 1 ～ 4 の中から 1 つずつ選び，その番号 を答えなさい。
(ア) 連立方程式 $\begin{cases} 3x+2y=6 \\ \frac{1}{5}x-\frac{1}{4}y=5 \end{cases}$ を解きなさい。
1：$x=4,\ y=-3$
2：$x=5,\ y=-16$
3：$x=6,\ y=-6$
4：$x=10,\ y=-12$
(イ) 2次方程式 $x^2+9x-1=0$ を解きなさい。
1：$x=\frac{-9\pm\sqrt{85}}{2}$
2：$x=\frac{-9\pm\sqrt{77}}{2}$
3：$x=\frac{9\pm\sqrt{77}}{2}$
4：$x=\frac{9\pm\sqrt{85}}{2}$
(ウ) $x$ の値が 2 から 4 まで増加するとき，2 つの関数 $y=ax^2$ と $y=5x+1$ の変化の割合が等しくなるような $a$ の値を求めなさい。
1：$a=\frac{3}{5}$ 2：$a=\frac{5}{6}$
3：$a=\frac{6}{5}$ 4：$a=\frac{5}{3}$
(エ) 自然数 $a,\ b,\ c$ において，$b$ は $a$ を 2 倍した数であり，$c$ は $b$ を 3 倍した数である。$a$ と $b$ と $c$ の和が 252 となるとき，$a$ の値を求めなさい。
1：$a=14$ 2：$a=21$
3：$a=28$ 4：$a=48$
(オ) $\frac{1050}{n}$ が自然数の平方となるような，最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。
1：$n=10$ 2：$n=21$
3：$n=25$ 4：$n=42$
(カ) 右の図において，三角形 $\text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{AC}$ の二等辺三角形であり，2 点 $\text{B, C}$ は直線 $\ell$ 上の点である。
$\text{AB}=\text{AC}=5\text{ cm}$，$\text{BC}=6\text{ cm}$ のとき，この二等辺三角形を，直線 $\ell$ を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は $\pi$ とする。
1：$16\pi\text{ cm}^3$ 2：$32\pi\text{ cm}^3$
3：$64\pi\text{ cm}^3$ 4：$96\pi\text{ cm}^3$
解答・解説
（ア）4
② の両辺に分母の最小公倍数である 20 を掛けます。
$20 \times \left(\frac{1}{5}x-\frac{1}{4}y\right) = 20 \times 5$
$4x – 5y = 100 \quad \cdots \text{③}$
① $\times 5$ と ③ $\times 2$ を計算して足し合わせます。
$\begin{aligned} 15x + 10y &= 30 \quad (\text{①} \times 5) \\ +\quad 8x-10y &= 200 \quad (\text{③} \times 2) \\ \hline 23x \phantom{+ 10y} &= 230 \\ x &= \mathbf{10} \end{aligned}$
（イ）1
解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$ より、
$\begin{aligned} x &= \frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} \\ &= \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2} \\ &= \mathbf{\frac{-9 \pm \sqrt{85}}{2}} \end{aligned}$
（ウ）2
一次関数の変化の割合は $x$ の係数（傾き）と等しいため、$5$
$\text{変化の割合} = \frac{y \text{の増加量}}{x \text{の増加量}} = \frac{16a – 4a}{4 – 2} = \frac{12a}{2} = 6a$
2つの変化の割合が等しいので、
$6a = 5 \quad \Rightarrow \quad a = \mathbf{\frac{5}{6}}$
（エ）3
問題文の条件を $a$ を用いて式に表します。
$b$ は $a$ を 2 倍した数 $\rightarrow b = 2a$
$c$ は $b$ を 3 倍した数 $\rightarrow c = 3b = 3(2a) = 6a$
$\begin{aligned} a + b + c &= 252 \\ a + 2a + 6a &= 252 \\ 9a &= 252 \\ a &= \mathbf{28} \end{aligned}$
（オ）4
1050を素因数分解すると、$1050 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7$
ペアになっていない素因数 $2, 3, 7$ を $n$ で割って打ち消せば、残りが $5^2$ となって平方数になります。
$n = 2 \times 3 \times 7 = \mathbf{42}$
（カ）2
二等辺三角形 $\text{ABC}$ を底辺 $\text{BC}$（直線 $\ell$）を軸として 1 回転させると、底面同士が合わさった 2 つの円すいができます。
二等辺三角形 $\text{ABC}$ の頂点 $\text{A}$ から底辺 $\text{BC}$ に垂直な線（高さ）を引きます。
底辺 $\text{BC}$ の中点を $\text{M}$ とすると、$\text{BM} = 3\text{ cm}$。
直角三角形 $\text{ABM}$ において、三平方の定理より、
$\text{AM} = \sqrt{\text{AB}^2 – \text{BM}^2} = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = \mathbf{4\text{ cm}}$
これが回転体（底面となる円）の半径となるので、
$\text{体積} = \frac{1}{3} \times (\pi \times 4^2) \times 3 \times 2 = \frac{1}{3} \times 16\pi \times 6 = \mathbf{16\pi\text{ cm}^3}$
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大問3 中問集合
問題文
次の問いに答えなさい。
(ア) 右の図 1 のように，線分 $\text{AB}$ を直径とする円 $\text{O}$ の周上に，2 点 $\text{A, B}$ とは異なる点 $\text{C}$ を，$\text{AC}>\text{BC}$ となるようにとる。
また，点 $\text{B}$ を含まない 弧$\text{AC}$ 上に点 $\text{D}$ を，$\text{AB}/\!/\text{CD}$ となるようにとり，点 $\text{C}$ を含まない 弧$\text{AB}$ 上に点 $\text{E}$ を，$\text{AC}=\text{CE}$ となるようにとる。
さらに，線分 $\text{AC}$ と線分 $\text{DE}$ との交点を $\text{F}$ とする。
このとき，次の (i), (ii) に答えなさい。
(i) 三角形 $\text{ABC}$ と三角形 $\text{CDF}$ が相似であることを次のように証明した。[ (a) ]，[ (b) ] に最も適するものを，それぞれ選択肢の 1 ～ 4 の中から 1 つずつ選び，その番号を答えなさい。
[証明]
$\triangle\text{ABC}$ と $\triangle\text{CDF}$ において，
まず，$\text{AB}/\!/\text{CD}$ より，平行線の錯角は等しいから，
[ (a) ]
よって，$\angle\text{BAC} = \angle\text{DCF} \quad \cdots\cdots$ ①
次に，$\text{AC} = \text{CE}$ より，$\triangle\text{CAE}$ は二等辺三角形であり，その 2 つの底角は等しいから，
$\angle\text{AEC} = \angle\text{CAE} \quad \cdots\cdots$ ②
また，弧$\text{AC}$ に対する円周角は等しいから，
$\angle\text{AEC} = \angle\text{ABC} \quad \cdots\cdots$ ③
さらに，弧$\text{CE}$ に対する円周角は等しいから，
$\angle\text{CAE} = \angle\text{CDE} \quad \cdots\cdots$ ④
②，③，④より，$\angle\text{ABC} = \angle\text{CDE}$
よって，$\angle\text{ABC} = \angle\text{CDF} \quad \cdots\cdots$ ⑤
①，⑤より，[ (b) ] から，
$\triangle\text{ABC} \sim \triangle\text{CDF}$
(a)の選択肢
1：$\angle\text{ACD} = \angle\text{AED}$
2：$\angle\text{AFD} = \angle\text{CFE}$
3：$\angle\text{BAC} = \angle\text{DCA}$
4：$\angle\text{BAE} = \angle\text{BCE}$
(b)の選択肢
1：1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
2：2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
3：3 組の辺の比がすべて等しい
4：2 組の角がそれぞれ等しい
(ii) 次の [ 枠 ] の中の「あ」「い」「う」「え」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
$\text{AB} = 5\text{ cm}$，$\text{CD} = 3\text{ cm}$ のとき，線分 $\text{DE}$ の長さは $\frac{\text{[あい]}\sqrt{\text{[う]}}}{\text{[え]}}\text{ cm}$ である。
(イ) 次のヒストグラムは，ある中学校の吹奏楽部に所属する生徒 24 人が，ある月に自主練習を行った回数を表したものである。なお，階級はいずれも，2 回以上 4 回未満，4 回以上 6 回未満などのように，階級の幅を 2 回にとって分けている。このヒストグラムと対応し，条件をみたす箱ひげ図として最も適するものを，あとの 1 ～ 6 の中から 1 つ選び，その番号を答えなさい。
(ウ) 次の [ 枠 ] の中の「お」「か」「き」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
右の図 2 において，四角形 $\text{ABCD}$ は 1 辺の長さが $4\text{ cm}$ の正方形である。
また，点 $\text{E}$ は辺 $\text{AD}$ の中点であり，点 $\text{F}$ は辺 $\text{AB}$ 上の点で，$\text{BF}=\text{EF}$ である。
さらに，点 $\text{G}$ は辺 $\text{CD}$ 上の点で，$\text{EF} \perp \text{EG}$ であり，点 $\text{H}$ は辺 $\text{AB}$ 上の点で，$\text{BC}/\!/\text{GH}$ であり，点 $\text{I}$ は線分 $\text{DH}$ と線分 $\text{EG}$ との交点である。
このとき，三角形 $\text{FHI}$ の面積は $\dfrac{\text{[おか]}}{\text{[き]}}\text{ cm}^2$ である。
(エ) 1 周が $18\text{ km}$ であるサイクリングコースがあり，A さんと B さんは，このサイクリングコースを同じ地点から互いに反対方向に向かって同時に出発し，それぞれ 1 周走った。この 2 人はある地点 P ですれ違い，出発してから 1 時間で同時に 1 周を走り終えた。
A さんは，途中で速さを変えることなく走った。B さんは，時速 $12\text{ km}$ で出発し，地点 P で速さを変えて走った。A さんが走った速さ，B さんが出発してから地点 P まで走った速さ，B さんが地点 P から走り終えるまで走った速さは，それぞれ一定である。
このとき，B さんは，地点 P から走り終えるまでの間，時速何 $\text{km}$ で走ったか。最も適するものを次の 1 ～ 8 の中から 1 つ選び，その番号を答えなさい。
1：時速 $21\text{ km}$ 2：時速 $22\text{ km}$
3：時速 $23\text{ km}$ 4：時速 $24\text{ km}$
5：時速 $25\text{ km}$ 6：時速 $26\text{ km}$
7：時速 $27\text{ km}$ 8：時速 $28\text{ km}$
解答・解説
（ア）（ⅰ）（a）3（b）4
（ア）（ⅱ）【あ】1【い】1【う】5【え】5
（ⅰ）の $\Delta\text{ABC} \sim \Delta\text{CDF}$ より、対応する辺の比は $\text{AB} : \text{CD} = 5 : 3$ です。したがって $\text{AC} : \text{CF} = 5 : 3$ となり、$\text{AF} = 5 – 3 = 2$ と置けます。
また、直径 $\text{AB}$ に対する円周角より $\angle\text{ACB} = \angle\text{CFD} = 90^\circ$ です。
二等辺三角形 $\text{CAE}$ より $\text{CE} = \text{AC} = 5$ となるため、直角三角形 $\text{CEF}$ は辺の比が $3 : 4 : 5$（$\text{CF} = 3, \text{FE} = 4, \text{CE} = 5$）となります。
等しい円周角から $\Delta\text{AEF} \sim \Delta\text{DCF}$ が成り立ち、対応する辺の比より $\text{AF} : \text{FE} = \text{DF} : \text{FC} = 2 : 4 = 1 : 2$ です。これにより $\text{DF} = 3 \div 2 = 1.5$ と求まり、$\text{DE} = \text{DF} + \text{FE} = 1.5 + 4 = 5.5$ なので、$\text{DE}$ の長さは $\text{DF}$ の $\frac{5.5}{1.5} = \frac{11}{3}$ 倍になります。
直角三角形 $\text{DCF}$ において三平方の定理より $\text{DC} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ （比の値）となるため、実際の長さ $\text{CD} = 3\text{ cm}$ から比の 1 分の長さは $\frac{3}{\sqrt{5}}$ です。
$\text{DE} = \text{DF} \times \frac{11}{3} = \left(1.5 \times \frac{3}{\sqrt{5}}\right) \times \frac{11}{3} = \frac{11\sqrt{5}}{5}\text{ cm}$
（イ）3
階級の幅が 2 回のため、各階級に含まれる回数は 2 種類（例：$4$ 回以上 $6$ 回未満なら 4 回と 5 回）のみです。
・条件より最小値は 2 回、最大値は 18 回です。
よって、箱の右側のひげ（最大値）が 19 を指している 【2】 を除外します。
・全 24 人の第 1 四分位数（$Q_1$）は、下位 12 人の中央値（下から 6 番目と 7 番目の平均）です。
ヒストグラムと条件「5 回の生徒が 2 人」より、6 番目・7 番目の生徒はともに 5 回となるため、$Q_1 = 5$ です。箱の左端（$Q_1$）が 5 になっていない 【1】【6】 を除外します。
・上位 12 人の中央値（上から 6 番目と 7 番目の平均）である第 3 四分位数（$Q_3$）を確認します。
ヒストグラムと条件「13 回の生徒が 2 人」より、上から 6 番目・7 番目の生徒（18 番目・19 番目）はともに 13 回となるため、$Q_3 = 13$ です。
箱の右端（$Q_3$）が 12 になっている 【5】 を除外します。
残った 【3】 と 【4】 のうち、中央値（$Q_2$）が整数となる条件を満たすのは 3 となります。
（ウ）【お】1【か】4【き】9
難問です。
$\text{AF} = x$ とおくと、$\text{BF} = \text{EF} = 4-x$ と表せます。 直角三角形 $\Delta \text{AEF}$ において三平方の定理より、
$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
$x^2 + 4 = 16-8x + x^2 \quad \Rightarrow \quad x = \mathbf{\frac{3}{2}\text{ cm}}$
$\angle \text{A} = \angle \text{D} = 90^\circ$、$\angle \text{AEF} + \angle \text{DEG} = 90^\circ$ より、2角相等で $\Delta \text{AEF} \sim \Delta \text{DEG}$ なので、
$\text{FA} : \text{AE} = \text{ED} : \text{DG} = \frac{3}{2} : 2 = 3 : 4$より、$\text{DG} = 2 \times \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\text{ cm}$
よって、$\text{AH} = \text{DG} = \frac{8}{3}\text{ cm}$より、 $\text{FH} = \frac{8}{3}-\frac{3}{2} = \frac{7}{6}\text{ cm}$
以上より、面積は、$\frac{7}{6}\times\frac{8}{3}\div2 = \mathbf{\frac{14}{9}\text{ cm}^2}$
（エ）7
1 周 $18\text{ km}$ のコースを 1 時間で 1 周したことから、A さんの速さは時速 $18\text{ km}$
すれ違うまでの A さんと B さんの速さの比は $18 : 12 = 3 : 2$ となるため、A さんと B さんの走った距離の比も $ 3 : 2$
Aさんは残りの距離を時速18kmで走り、Bさんは残りの距離をAさんと同じ時間で走り切る。
時間が共通であるとき、距離の比＝速さの比となるので、求めるＢさんの速さは$18\times\frac{3}{2}=時速27\text{ km}$
大問4 関数とグラフ
問題文
右の図において，直線①は関数 $y=-x$ のグラフであり，曲線②は関数 $y=ax^2$ のグラフである。
点 A は直線①と曲線②との交点で，その $x$ 座標は $-3$ である。点 B は曲線②上の点で，線分 AB は $x$ 軸に平行である。点 C は $x$ 軸上の点で，線分 BC は $y$ 軸に平行である。
また，点 D は線分 AC と $y$ 軸との交点である。点 E は線分 BC 上の点で，$\text{BE}:\text{EC}=1:2$ である。
さらに，原点を O とするとき，点 F は $x$ 軸上の点で，$\text{CO}:\text{OF}=5:3$ であり，その $x$ 座標は負である。
このとき，次の問いに答えなさい。
(ア) 曲線②の式 $y=ax^2$ の $a$ の値として正しいものを次の 1 ～ 6 の中から 1 つ選び，その番号を答えなさい。
1：$a=\frac{1}{4}$ 2：$a=\frac{1}{3}$ 3：$a=\frac{1}{2}$
4：$a=\frac{2}{3}$ 5：$a=\frac{3}{4}$ 6：$a=\frac{3}{2}$
(イ) 直線 $\text{EF}$ の式を $y=mx+n$ とするときの (i) $m$ の値と，(ii) $n$ の値として正しいものを，それぞれ次の 1 ～ 6 の中から 1 つずつ選び，その番号を答えなさい。
(i) $m$ の値
1：$m=\frac{3}{10}$ 2：$m=\frac{5}{14}$ 3：$m=\frac{5}{12}$
4：$m=\frac{7}{10}$ 5：$m=\frac{11}{14}$ 6：$m=\frac{11}{12}$
(ii) $n$ の値
1：$n=\frac{3}{4}$ 2：$n=\frac{4}{5}$ 3：$n=\frac{5}{6}$
4：$n=\frac{6}{5}$ 5：$n=\frac{5}{4}$ 6：$n=\frac{4}{3}$
(ウ) 次の [ 枠 ] の中の「く」「け」「こ」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
線分 $\text{CD}$ 上に点 $\text{G}$ を，三角形 $\text{AFD}$ と三角形 $\text{BDG}$ の面積が等しくなるようにとる。このときの，点 $\text{G}$ の $x$ 座標は $\dfrac{\text{[くけ]}}{\text{[こ]}}$ である。
解答・解説
（ア）2
まず点 A の座標を求めます。
点 A は直線 ①$y = -x$ 上の点であり、$x$ 座標は $-3$ です。
$y$ 座標は $y = -(-3) = 3$ となります。したがって、点 A の座標は $(-3, 3)$ です。
曲線 ② の式 $y = ax^2$ の $a$ の値を求めます。
次に、点 A は曲線 ②（$y = ax^2$）上の点でもあります。点 A の座標 $(-3, 3)$ を $y = ax^2$ に代入します。
$3 = a \times (-3)^2$
$3 = 9a$
$a = \frac{3}{9} = \mathbf{\frac{1}{3}}$
したがって、正解は 2 です。
（イ）(ⅰ)3 (ⅱ)1
まず、各点の座標を求めます。
点 $\text{B}$： 点 $\text{A}(-3, 3)$ と $y$ 軸に関して対称なので $\text{B}(3, 3)$
点 $\text{C}$： 線分 $\text{BC}$ は $y$ 軸に平行なので $\text{C}(3, 0)$（$\text{CO} = 3$）
点 $\text{E}$： $\text{BC} = 3$ かつ $\text{BE} : \text{EC} = 1 : 2$ より、$\text{EC} = 2$ となり $\text{E}(3, 2)$
点 $\text{F}$： $\text{CO} : \text{OF} = 5 : 3$ より、$\text{OF} = 3 \times \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$。$x$ 座標は負なので $\text{F}\left(-\frac{9}{5}, 0\right)$
以上より、直線 $\text{EF}$（$y = mx + n$）の連立方程式を解きます。
$\text{E}(3, 2)$ と $\text{F}\left(-\frac{9}{5}, 0\right)$ の座標を代入します。
$\begin{cases} 2 = 3m + n \quad \cdots \text{①} \\ 0 = -\frac{9}{5}m + n \quad \cdots \text{②} \end{cases}$
① $-$ ② より：$2 = \frac{24}{5}m \quad \Rightarrow \quad m = 2 \times \frac{5}{24} = \mathbf{\frac{5}{12}}$
$m = \frac{5}{12}$ を ② に代入して：$0 = -\frac{9}{5} \times \frac{5}{12} + n$$0 = -\frac{3}{4} + n \quad \Rightarrow \quad n = \mathbf{\frac{3}{4}}$
（ウ）【く】1【け】2【こ】5
点 $\text{A}$ の真下の $x$ 軸上の点を $\text{C}'(-3, 0)$ とおきます。$\text{AD} = \text{BD}$ であり、$\Delta \text{AFD}$ と $\Delta \text{BDG}$ を $y$ 軸に関して左右対称にするアプローチで考えます。
長方形 $\text{AC}’\text{CB}$ の対角線 $\text{AC}$ 上に点 $\text{G}$ があるため、もう 1 つの対角線 $\text{BC}’$ 上に点を取れば $y$ 軸に関して点 $\text{G}$ と対称な点が得られます。対角線 $\text{BC}’$ は 2 点 $\text{C}'(-3, 0)$, $\text{B}(3, 3)$ を通るので、傾きは $\frac{1}{2}$ であり、切片は $\text{BC}’$ の中点 $\text{D}\left(0, \frac{3}{2}\right)$ となるため、直線 $\text{BC}’$ の式は $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$ です。
次に、点 $\text{F}\left(-\frac{9}{5}, 0\right)$ を通り対角線 $\text{AC}$ に平行な直線を引き、$\text{BC}’$ との交点を $\text{G}’$ とします。この直線の傾きは $\text{AC}$ と同じ $-\frac{1}{2}$ であり、点 $\text{F}$ を通ることから直線式は $y = -\frac{1}{2}x-\frac{9}{10}$ と求まります。
点 $\text{G}’$ は直線 $\text{BC}’$ との交点なので、2 つの式を連立します。
$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x-\frac{9}{10}$
$x = -\frac{12}{5}$
点 $\text{G}’$ の $x$ 座標が $-\frac{12}{5}$ と求まるので、$y$ 軸に関して対称移動した点 $\text{G}$ の $x$ 座標は $\frac{12}{5}$ となります。
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大問5 確率
問題文
右の図 1 のように，3 つの箱 P，Q，R があり，箱 P には同じ大きさの玉が 12 個入っている。
大，小 2 つのさいころを同時に 1 回投げ，大きいさいころの出た目の数を $a$，小さいさいころの出た目の数を $b$ とする。出た目の数によって，次の【操作 1】，【操作 2】を順に行い，それぞれの箱に入っている玉の個数について考える。
【操作 1】 箱 P から，玉を $a$ 個箱 Q に，玉を $b$ 個箱 R にそれぞれ移す。
【操作 2】 3 つの箱のうち，入っている玉の個数が一番少ない箱に，他の 2 つの箱から玉を 1 個ずつ移す。ただし，入っている玉の個数が同じ箱がある場合は，玉を移さない。なお，玉が 1 個も入っていない箱がある場合は，その箱を一番少ない箱とする。
＜例＞
大きいさいころの出た目の数が 4，小さいさいころの出た目の数が 5 のとき，$a=4,\ b=5$ だから，
【操作 1】 箱 P から，玉を 4 個箱 Q に，玉を 5 個箱 R にそれぞれ移す。
【操作 2】 3 つの箱のうち，入っている玉の個数が一番少ない箱 P に，箱 Q と箱 R から玉を 1 個ずつ移す。
この結果，図 2 のように，箱 P に入っている玉の個数は 5 個，箱 Q に入っている玉の個数は 3 個，箱 R に入っている玉の個数は 4 個となる。
いま，図 1 の状態で，大，小 2 つのさいころを同時に 1 回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小 2 つのさいころはともに，1 から 6 までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
(ア) 次の [ 枠 ] の中の「さ」「し」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
箱 P に入っている玉の個数が 8 個以上となる確率は $\dfrac{\text{さ}}{\text{し}}$ である。
(イ) 次の [ 枠 ] の中の「す」「せ」「そ」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
箱 Q に入っている玉の個数が，箱 R に入っている玉の個数より多くなる確率は $\dfrac{\text{す}}{\text{せそ}}$ である。
解答・解説
（ア） 【さ】1【し】9
箱 P が「玉を 2 個もらう（一番少ない箱になる）」場合、操作 1 の段階で箱 P の玉は 3 個以下でなければならず、2 個もらっても最大で 5 個にしかならないため、8 個以上になることはありません。したがって、箱 P の玉が 8 個以上になるのは箱 P が玉をもらわない場合のみとなります。
留意点として、最小の箱が複数（同数）ある場合は玉の移動を行いません。
- $(a, b) = (1, 1)$ のとき
・【操作 1】 $\text{P} = 10$ 個、$\text{Q} = 1$ 個、$\text{R} = 1$ 個
・最小は Q と R（ともに 1 個）で同数のため【操作 2】による玉の移動はなし。
・結果： $\text{P} = 10$ 個 （$\ge 8$） $\rightarrow$ 1 通り - $(a, b) = (1, 2), (2, 1)$ のとき
・【操作 1】 $\text{P} = 9$ 個、最小は Q または R（1 個）
・【操作 2】 最小の箱が $+2$、他の箱（P を含む）は $-1$ されるため、$\text{P} = 9-1 = \mathbf{8\text{個}}$ （$\ge 8$）。
・結果： $\text{P} = 8$ 個 $\rightarrow$ 2 通り - $(a, b) = (2, 2)$ のとき
・【操作 1】 $\text{P} = 8$ 個、$\text{Q} = 2$ 個、$\text{R} = 2$ 個
・最小は Q と R（ともに 2 個）で同数のため【操作 2】による玉の移動はなし。
・結果： $\text{P} = 8$ 個 （$\ge 8$） $\rightarrow$ 1 通り - $(a, b) = (2, 3), (3, 2)$ のとき
・【操作 1】 $\text{P} = 7$ 個、最小は Q または R（2 個）
・【操作 2】 P は $-1$ されて $\text{P} = 7-1 = \mathbf{6\text{個}}$ （$< 8$ となり不適）。
これ以降、出目が大きくなると操作 1 の時点で P の玉がさらに減るため、条件（P $\ge 8$ 個）を満たすことはありません。
条件を満たす出目の組み合わせは、合計で $1 + 2 + 1 = \mathbf{4\text{通り}}$ なので、$\text{確率} = \frac{4}{36} = \mathbf{\frac{1}{9}}$
（イ） 【す】7【せ】1【そ】8
「Q ＝ R（同数）」となる場合の数を考えます。
① さいころの目がゾロ目の場合
・(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) の 6 通り。
・出目が同じとき【操作 1】の時点で Q=R（同数）となります。
・最小の箱が複数（同数）存在することになり【操作 2】による玉の移動は起きないため、最終的にもQ=R のまま維持されます。
② 【操作 2】の移動によって Q ＝ R になる場合
【操作 2】では、一番少ない箱が +2 個、他の箱が −1 個されるため、あげる側ともらう側の差は 3 個縮まります。
したがって、【操作 1】の段階で Q と R の差が 3 個あり、かつその少ない方の箱が単独で最小になっていれば、移動後に Q=R となります。
- $(a, b) = (1, 4), (4, 1)$ のとき
・【操作 1】 $\text{Q} = 1$ 個、$\text{R} = 4$ 個、$\text{P} = 12-(1+4) = 7$ 個最小は Q（1 個）で単独最小。
・【操作 2】 Q に $+2$ 個、P と R から $-1$ 個ずつ移す $\rightarrow$ $\text{Q} = 3$ 個、$\text{R} = 3$ 個（$\text{P} = 6$ 個）
・結果： $\text{Q} = \text{R}$ となる $\rightarrow$ 2 通り - $(a, b) = (2, 5), (5, 2)$ のとき
・【操作 1】 $\text{Q} = 2$ 個、$\text{R} = 5$ 個、$\text{P} = 12-(2+5) = 5$ 個$\text{P} = \text{R} = 5$ 個となり、一番少ない箱は Q（2 個）ですが、他方の P と R が同数です。
・【操作 2】 Q（2 個）が $+2$、P と R が $-1$ されると $\rightarrow$ $\text{Q} = 4$ 個、$\text{R} = 4$ 個（$\text{P} = 4$ 個）となり、全員同数になります。
※ただし、移動前の条件として P と R が 5 個で同数でも、最小は Q(2個) 単独なので移動が起きて $\text{Q} = \text{R} = 4$ 個になります。 - $(a, b) = (3, 6), (6, 3)$ のとき
・【操作 1】 $\text{Q} = 3$ 個、$\text{R} = 6$ 個、$\text{P} = 12-(3+6) = 3$ 個$\text{P} = \text{Q} = 3$ 個となり、最小の箱（3 個）が P と Q の 2 つあって同数となります。
・【操作 2】 同数のため玉の移動は起きません。
・結果： $\text{Q} = 3 \neq \text{R} = 6$（同数にならない）
以上より、最終的に $\text{Q} = \text{R}$ となるのは、ゾロ目 6 通り ＋ 移動後同数 2 通り ＝ 計 8 通り です。
Q $\neq$ R となるのは $36-8 = 28$ 通りです。 対称性より、Q $>$ R となるのはその半数の 14 通り となります。
$\text{確率} = \frac{14}{36} = \mathbf{\frac{7}{18}}$
大問6 空間図形
問題文
右の図は，$\text{AB}=8\text{ cm}$ を直径とする円 O を底面とし，$\text{AC}=8\text{ cm}$ を高さとする円柱である。
また，点 D は円 O の周上の点である。
$\text{AD}=4\text{ cm}$ のとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は $\pi$ とする。
(ア) この円柱の表面積として正しいものを次の 1 ～ 6 の中から 1 つ選び，その番号を答えなさい。
1：$16\pi\text{ cm}^2$ 2：$32\pi\text{ cm}^2$
3：$48\pi\text{ cm}^2$ 4：$64\pi\text{ cm}^2$
5：$80\pi\text{ cm}^2$ 6：$96\pi\text{ cm}^2$
(イ) 次の [ 枠 ] の中の「た」「ち」「つ」にあてはまる数字をそれぞれ 0 ～ 9 の中から 1 つずつ選び，その数字を答えなさい。
この円柱において，3 点 B，C，D を結んでできる三角形の面積は $\text{た}\sqrt{\text{ちつ}}\text{ cm}^2$ である。
解答・解説
（ア）6
表面積は「底面積 $\times 2$ ＋ 側面積」で求めます。
底面積は、
半径 $4\text{ cm}$ の円の面積 $= \pi \times 4^2 = 16\pi\text{ cm}^2$
上下の 2 つ分 $= 16\pi \times 2 = \mathbf{32\pi\text{ cm}^2}$
側面積は、
展開図の横の長さ（底面の円周の長さ） $= 2\times \pi \times 4 = 8\pi\text{ cm}
展開図の縦の長さ（高さ） $= 8\text{ cm}$
側面積 $= 8\pi \times 8 = \mathbf{64\pi\text{ cm}^2}$
よって、$\text{表面積} = 32\pi + 64\pi = \mathbf{96\pi\text{ cm}^2}$
（イ）【ち】8【つ】1【て】5
三平方の定理で各辺の長さを求めます。
辺 $\text{BD}$（$\Delta \text{ABD}$ は $\angle \text{ADB} = 90^\circ$）
$\text{BD} = \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{48} = \mathbf{4\sqrt{3}\text{ cm}}$
辺 $\text{CD}$（$\Delta \text{CAD}$ は $\angle \text{CAD} = 90^\circ$）
$\text{CD} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = \mathbf{4\sqrt{5}\text{ cm}}$
$\Delta \text{BCD}$ の面積を求めます。
母線 $\text{AC} \perp \text{底面}$ かつ $\text{BD} \perp \text{AD}$ より、$\text{BD} \perp \text{CD}$（$\angle \text{CDB} = 90^\circ$ の直角三角形）となります。
$\text{面積} = \frac{1}{2} \times \text{底辺}(\text{BD}) \times \text{高さ}(\text{CD})$
$\text{面積} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} = \mathbf{8\sqrt{15}\text{ cm}^2}$
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