【北海道】令和5年度/2023年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
北海道の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
問1
（1）～（3）の計算をしなさい。
（1）$9 – (-5)$
（2）$(-3)^2 \div \frac{1}{6}$
（3）$\sqrt{2} \times \sqrt{14}$
問2
下の図のように、円筒の中に1から9までの数字が1つずつ書かれた9本のくじがあります。円筒の中から1本のくじを取り出し、くじに書かれた数が偶数のとき教室政争の担当に、奇数のとき廊下清掃の担当に決まるものとします。
Aさんが9本のくじの中から1本を取り出すとき、Aさんが教室清掃の担当に決まる確率を求めなさい。
問3
下の表は、ある一次関数について、$x$の値と$y$の値の関係を示したものです。表の【 】に当てはまる数を書きなさい。
| $x$ | … | -1 | 0 | … | 3 | … |
| $y$ | … | 6 | 【 】 | … | 2 | … |
問4
下の図のように、底面の半径が6cm、体積が132$\pi \text{ cm}^3$の円錐があります。
この円錐の高さを求めなさい。
問5
$x^2 – 【 】x + 14$ が $(x – a)(x – b)$ の形に因数分解できるとき、$【 】$ に当てはまる自然数を2つ書きなさい。ただし、$a, b$ はいずれも自然数とします。
問6
下の図のように、$\angle ACB=75°、BA=BC$の二等辺三角形ABCがあります。$\triangle ABC$の内部に点Pをとり、$\angle ACB=\angle PCB = 15°$となるようにします。点Pを定規とコンパスを使って作図しなさい。
ただし、点を示す記号Pをかき入れ、作図に用いた線は消さないこと。
解答・解説
問1
（1）14
（2）54
（3）$2\sqrt{7}$
$\sqrt{28}$ を整理した値が答え
問2 $\frac{4}{9}$
1から9までの中に偶数は4つある。つまり9本の中から2、4、6、8を選ぶ確率を求めれば良い。
問3 5
$x=-1, y=6$ と $x=3, y=2$ から2点を通る直線の式を求めると $y=-x+5$ になる。この式の切片の値が空欄に当てはまるため5が正解。
問4 11cm
円錐の体積は（底面積）$\times$（高さ）$\div 3$ で求められる。
問5 9、15
$a \times b$ が14になり、因数分解の式から $a+b$ が正になる組み合わせを考える。
$a=1、b=14$、$a=2、b=7$ が考えられる。それぞれの数値を代入して展開し、式を比較すると空欄に9、15が当てはまる。
問6
$\angle ACB=75^\circ$で、二等辺三角形の性質を用いると$\angle ABC=30^\circ$になる。$\angle ABC=30^\circ$の角の二等分線を引くとその直線上に点Pがあることがわかる。更に線分BCの首位直二等分線を引きそれと角の二等分線の交点が点Pになる。
$\angle ACB=75^\circ$で、二等辺三角形の性質を用いると$\angle ABC=30^\circ$になる。
$\angle ABC=30^\circ$の角の二等分線を引くとその直線上に点Pがあることがわかる。更に線分BCの首位直二等分線を引きそれと角の二等分線の交点が点Pになる。
大問2
問題文
図1のような、小学生で学習したかけ算九九の表があります。優さんは、太線で囲んだ数のように、縦横に隣り合う4つの数について、左上を「$a$」、右上を「$b$」、左下を「$c$」、右下を「$d$」としたとき、4つの数の和$a+b+c+d$がどんな数になるかを考えています。
【例えば】
・左上が「8」、右上が「10」、左下が「12」、右下が「15」のとき、8+10+12+15=45
・左上が「10」、右上が「15」、左下が「12」、右下が「18」のとき、10+15+12+18=55
優さんは、45=5×9、55=5×11となることから、次のように予想しました。
（予想Ⅰ）
縦横に隣り合う4つの数の和は、5の倍数である。
問1
予想Ⅰが正しいとは言えないことを、次のように説明するとき、【 ア 】～【 オ 】に当てはまる数を、それぞれ書きなさい。
（説明）
縦横に隣り合う4つの数が$a$ =【 ア 】、$b$ =【 イ 】、$c$ =【 ウ 】、$d$ =【 エ 】のとき、4つの数の和、$a+b+c+d$ は、【 オ 】となり、5の倍数ではない。したがって、縦横に隣り合う4つの数の和は、5の倍数であるとは限らない。
問2
優さんは、予想Ⅰがいつでも成り立つとは限らないことに気づき、縦横に隣り合う4つの数それぞれの、かけられる数とかける数に注目して、あらためて調べ、予想をノートにまとめました。
（優さんのノート）
（予想Ⅱ）
縦横に隣り合う4つの数の和は、（かけられる数の和）×（かける数の和）である。
予想Ⅱがいつでも成り立つあことを、次のように説明するとき、【 ア 】～【 キ 】に当てはまる式を、それぞれ書きなさい。
（説明）
$a$を、かけられる数$m$、かける数$n$の積として$a=mn$とすると、$b$、$c$、$d$は、それぞれ$m$、$n$を使って、$b$ =【 ア 】、$c$ =【 イ 】、$d$ =【 ウ 】と表すことができる。
このとき、4つの数の和 $a+b+c+d$ は、
$a+b+c+d=mn+【 ア 】+【 イ 】+【 ウ 】$
=$4mn+2m+2n+1$
=$(2m+1)(2n+1)$
={【 エ 】+（【 オ 】）}{【 カ 】+（【 キ 】）} となる。
したがって、縦横に隣り合う4つの数の和は、（かけられる数の和）×（かける数の和）である。
問3
優さんは、図2の太線で囲んだ数のように、縦横に隣り合う6つの数の和について調べてみたところ、縦横に隣り合う6つの数の和も、（かけられる数の和）×（かける数の和）となることが分かりました。図2において、$p+q+r+s+t+u=162$ となるとき、$p$のかけられる数$x$、かける数$y$の値を、それぞれ求めなさい。
問3
優さんは、図2の太線で囲んだ数のように、縦横に隣り合う6つの数の和について調べてみたところ、縦横に隣り合う6つの数の和も、（かけられる数の和）×（かける数の和）となることが分かりました。
図2において、$p+q+r+s+t+u=162$ となるとき、$p$のかけられる数$x$、かける数$y$の値を、それぞれ求めなさい。
解答・解説
問1 ア：[例] 1 イ：[例] 2 ウ：[例] 2 エ：[例] 4 オ：[例] 9
図1より縦横に隣り合う数を書けば良い
問2 ア：[例] $m(n+1)$ イ：[例] $(m+1)n$ ウ：[例] $(m+1) (n+1)$ エ：$m$ オ：$m+1$ カ：$n$ キ：$n+1$
優さんのノートを参考に、かけられる数$m$、かける数$n$をそれぞれ◯と□に当てはめて考えると、ア、イ、ウが求まる。
求めた値から4つの数の和を$m$、$n$を使って表すと因数分解ができ、予想Ⅱの(かけられる数の和)×(かける数の和)が成り立つように式を変形するとエ、オ、カ、キが求まる。
問3 $x=4$、$y=5$
(かけられる数の和)×(かける数の和)が成り立つとき、${x+(x+1)+ (x+2)}×{y+(y+1)+ (y+2)}=162$が成り立つ。この方程式を解けば良い。
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大問3
問題文
下の図のように、2つの関数 $y=ax^2$ ($a$ は正の定数)……①、$y=-3x^2$ ……② のグラフがあります。①のグラフ上に点Aがあり、点Aの $x$ 座標を正の数とします。点Aを通り、$x$ 軸に平行な直線と①のグラフとの交点をBとします。点Oは原点とします。
次の問いに答えなさい。
問1
$a=2$ とします。点Aの $y$ 座標が $8$ のとき、点Aと点Bとの距離を求めなさい。
問2
①について $x$ の値が $1$ から $3$ まで増加するときの変化の割合が、一次関数 $y=x+2$ について $x$ の値が $-1$ から $2$ まで増加するときの変化の割合に等しいとき、$a$ の値を求めなさい。
問3
$a = \frac{1}{3}$ とします。点Aの $x$ 座標を $3$ とします。②のグラフ上に点Cを、$x$ 座標が $-1$ になるようにとります。点Cを通り、$x$ 軸に平行な直線と②のグラフとの交点をDとします。線分AB, CD上にそれぞれ点P, Qをとり、点Pの $x$ 座標を $t$ とします。ただし $0 < t \le 1$ とします。
陸さんは、コンピュータを使って直線PQを動かしたところ、直線PQが原点Oを通るとき、台形ABDCの面積を2等分することに気づきました。直線PQが原点Oを通るとき、次の（1）、（2）に答えなさい。
（1）点Qの座標を、$t$ を使って表しなさい。
（2）直線PQが台形ABDCの面積を2等分することを説明しなさい。
解答・解説
問1 4
①の式に $a=2, y=8$ を代入すると $x=\pm 2$ となる。これがそれぞれ点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標である。つまり2点間の距離は4。
問2 $a=\frac{1}{4}$
関数 $y=ax^2$ の変化の割合は $\frac{9a-a}{3-1} = 4a$
1次関数 $y=x+2$ の変化の割合は $1$
$4a=1$ より $a=\frac{1}{4}$
問3
（1）$Q(-t, -3)$
直線 $PQ$ は原点を通り点 $P$, 点 $Q$ は原点に対して対称である。点 $P(t, 3)$ から点 $Q$ の座標が求められる。
（2）[解答例]
(台形 $PQCA$ の面積) = ${(3-t)+(t+1)} \times 6 \times \frac{1}{2} = 12$ となる。 ……①
(台形 $ABDC$ の面積) = $(6+2) \times 6 \times \frac{1}{2} = 24$ となる。 ……②
①、②より、
(台形 $PQCA$ の面積) = (台形 $ABDC$ の面積) $\times \frac{1}{2}$ である。
したがって, 直線 $PQ$ は台形 $ABDC$ の面積を2等分する。
(台形の面積) = (上底+下底) $\times$ 高さ $\div 2$ で求められる。
$t$ の関数で示した点 $P$, 点 $Q$ の座標を用いて (台形 $PQCA$ の面積) と (台形 $ABDC$ の面積) をそれぞれ求める。
そこから (台形 $PQCA$ の面積) が (台形 $ABDC$ の面積) の半分であることを確かめる。直線 $PQ$ は台形 $ABDC$ の面積を2等分することが示せた。
大問4
問題文
次の図のように、円Oの円周上に3点A, B, Cをとります。$\angle BAC$ の二等分線と線分BCとの交点をDとします。
次の問いに答えなさい。
問1 $AD=CD$, $\angle BAD=35^{\circ}$ のとき、$\angle ADC$ の大きさを求めなさい。
次の図のように、円Oの円周上に3点A, B, Cをとります。$\angle BAC$ の二等分線と線分BCとの交点をDとします。
次の問いに答えなさい。
問1
$AD=CD$, $\angle BAD=35^{\circ}$ のとき、$\angle ADC$ の大きさを求めなさい。
問2 悠斗さんと由美さんは、コンピュータを使って、画面のように、線分ADを延長した直線と円Oとの交点をEとしました。次に、点A, B, Cを円周上で動かし、悠斗さんは「$\triangle ABD$ と $\triangle CED$ が相似である」、由美さんは「$\triangle ABD$ と $\triangle AEC$ が相似である」と予想し、それぞれ予想が成り立つことを証明しました。
問2
悠斗さんと由美さんは、コンピュータを使って、画面のように、線分ADを延長した直線と円Oとの交点をEとしました。
次に、点A, B, Cを円周上で動かし、悠斗さんは「$\triangle ABD$ と $\triangle CED$ が相似である」、由美さんは「$\triangle ABD$ と $\triangle AEC$ が相似である」と予想し、それぞれ予想が成り立つことを証明しました。
【悠斗さんの証明】
$\triangle ABD$ と $\triangle CED$ において、
【 ア 】に対する【 イ 】は等しいから、
$\angle ABD = \angle CED$ ･･･①
また、対頂角は等しいから、
$\angle ADB = \angle CDE$ ･･･②
①、②から、
【 ウ 】ので、
$\triangle ABD \sim \triangle CED$
【由美さんの証明】
$\triangle ABD$ と $\triangle AEC$ において、
【 ア 】に対する【 イ 】は等しいから、
$\angle ABD = \angle AEC$ ･･･①
また、仮定から、
$\angle BAD = \angle EAC$ ･･･②
①、②から、
【 ウ 】ので、
$\triangle ABD \sim \triangle AEC$
次の（1）、（2）に答えなさい。
（1）【 ア 】～【 ウ 】には、それぞれ共通する言葉が入ります。【 ア 】～【 ウ 】に当てはまる言葉をそれぞれ書き入れ、照明を完成させなさい。
（2）$AB=AD$ のとき、$\triangle ABE \equiv \triangle ADC$ を証明しなさい。なお、悠斗さんや由美さんが証明したことを用いてもよいものとします。
解答・解説
問1 $110^{\circ}$
角の二等分線の性質から $\angle CAD=15^{\circ}$ になる。$\triangle ADC$ は二等辺三角形なので $\angle ADC=110^{\circ}$。
問2
（1）ア：[例] 弧 $AC$ イ：円周角 ウ：[例] 2組の角がそれぞれ等しい
ア、イは円周角の定理についてである。また、仮定から導ける三角形の相似条件をウに書けば良い。
（2）[解答例①]
$\triangle ABE$ と $\triangle ADC$ において、
仮定より、$AB=AD$ ……①
また、仮定より、$\angle BAE=\angle DAC$ ……②
弧 $AB$ に対する円周角は等しいので、
$\angle BEA=\angle DCA$ ……ア
$\angle ABE=180^{\circ}-(\angle BEA+\angle BAE)$ ……イ
$\angle ADC=180^{\circ}-(\angle DCA+\angle DAC)$ ……ウ
②、ア、イ、ウより、$\angle ABE=\angle ADC$ ……③
①、②、③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle ADC$
[解答例②]
(①までは解答例①と同様とする。)
また、仮定より、$\angle BAE=\angle DAC$ ……②
$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ から、対応する辺の比は等しいので、$AB:AD=AE:AC=1:1$
よって、$AE=AC$ ……③
①、②、③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle ADC$
[解答例③]
(①までは解答例①と同様とする。)
$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ から、対応する辺の比は等しいので、$AB:AD=AE:AC=1:1$
よって、$AE=AC$ ……②
$\triangle ABD \sim \triangle CED$ から、対応する辺の比は等しいので、$AB:AD=CE:CD=1:1$
よって…$CD=CE$ ……ア
仮定より、$\angle BAE=\angle EAC$ であるから、弧 $BE$ と 弧 $CE$ の長さが等しいので、$\angle BCE=\angle EBC$
底角が等しいので、$\triangle BEC$ は、$BE=CE$ の二等辺三角形である。 ……イ
ア、イより、$BE=DC$ ……③
①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいので、$\triangle ABE \equiv \triangle ADC$
正答例は多数存在するが、合同を示す三角形 $\triangle ABE \equiv \triangle ADC$、円周角の定理や相似の図形の性質を用いて仮定を書き、それに対応する三角形の合同条件などを書く必要がある。
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大問5
問題文
A氏に住む中学生の翼さんは、ニュースで聞いたことをもとに、先生と話し合っています。
翼さん：「昨日、ニュースで『今年の夏は暑くなりそうだ』と言っていましたよ。」
先生 ：「先生が子どもだった50年くらい前は、もっと涼しかったんですけどね。」
翼さん：「どのくらい涼しかったんですか？」
先生 ：「最高気温が25℃以上の『夏日』は、最近よりずっと少なかったはずです。」
翼さん：「そうなんですか。家に帰ったら調べてみますね。」
次の問いに答えなさい。
問1
翼さんは、今から50年前と2021年の夏日の日数を比べてみることにしました。翼さんは、A市の1972年と2021年における、7月と8月の日ごとの最高気温を調べ、その結果をノートにまとめました。次の【 ア 】～【 ウ 】に当てはまる数を、それぞれ書きなさい。
問2
翼さんは、ノートを見せながら、先生と話し合っています。
翼さん：「A市の夏日の日数は、50年前とほとんど変わりませんでした。」
先生 ：「本当ですか。ん？7月と8月以外の月でも真夏になることがありますよ。それに、調べた1972年と2021年の夏日の日数が、たまたま多かった、あるいは、たまたま少なかったという可能性もありますよね。」
翼さん：「確かにそうですね。もう少し調べてみます！」
翼さんは、A市の夏日の年間日数について、1962年から1981年までの20年間（以下、「X期間」とします。）と、2012年から2021年までの10年間（以下、「Y期間」とします。）をそれぞれ調べ、その結果をノートにまとめることにしました。
次の(1)～(3)に答えなさい。
（1）ノート2の度数分布表をもとに、Y期間の相対度数の度数折れ線（度数分布多角形）を、解答用紙にかき入れなさい。
（2）ノート2において、翼さんが「度数」ではなく「相対度数」をもとに比較している理由を説明しなさい。
（3）に当てはまる言葉として最も適当なものを, 次のア～ウから選びなさい。 また、選んだ理由を、X期間とY期間の2つの相対度数の度数折れ線（度数分布多角形）の特徴と、その特徴から読み取れる傾向をもとに説明しなさい。
ア 暑かった
イ 変わらなかった
ウ 涼しかった
解答・解説
問1 ア：39 イ：43 ウ：4
日毎の最高気温の度数分布からア、イの数値を読み取り、その差がウになる。
問2
（1）図を参照
$Y$期間の表を見ながらグラフをプロットする。
（2）[解答例] $X$ 期間と $Y$ 期間では、度数の合計が異なるから。
（3）記号：ウ
説明：[解答例] つの度数折れ線が同じ様な形をしていて, $X$ 期間の方が $Y$ 期間よりも左側にあり(①)、$X$ 期間は、$Y$ 期間より夏日の年間日数が少ない傾向にあると言えるから(②)
①は $X$ 期間の方が $Y$ 期間よりも左側にあることが書かれていれば良い。②は $X$ 期間が、$Y$ 期間より夏日の年間日数が少ないことが書かれていれば良い。
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