【兵庫県】令和5年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

兵庫県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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(1) -3-(-9)を計算しなさい。

(2) 20xy²÷(-4xy)を計算しなさい。

(3) 4√3-√12を計算しなさい。

(4) x²+2x-8を因数分解しなさい。

(5) yはxに反比例し、x=-6のときy=2である。y=3のときのxの値を求めなさい。

(6) 図1のように、底面の半径が3㎝、母線の長さが6㎝の円すいがある。この円すいの側面積は何㎠か、求めなさい。ただし、円周率はπとする。

(7) 図2で、l//mのとき、∠xの大きさは何度か、求めなさい。

(8) 表は、ある農園でとれたイチジク1000個から、無作為に抽出したイチジク50個の糖度を調べ、その結果を度数分布表に表したものである。この結果から、この農園でとれたイチジク1000個のうち、糖度が10度以上14度未満のイチジクは、およそ何個と推定されるか、最も適切なものを、次のア～エから1つ選んで、その符号を書きなさい。

ア およそ150個

イ およそ220個

ウ およそ300個

エ およそ400個

(1) -3-(-9)=-3+9=6

(2) 20xy²÷(-4xy)=-5y

(3) 4√3-√12=4√3-2√3=2√3

(4) x²+2x-8=(x+4)(x-2)

(5) 条件より、 2=a/-6 ∴a=-12

よって、y=-12/x が成り立つ。この式にy=3を代入して、

3=-12/x

3x=-12

x=-4・・・(A)

(6)  6²×π×2×3×π/2×6×π=18π(㎠)・・・(A)

(7)  x=130°-55°=75°・・・(A)

(8) ウ

図1のように、OA=2㎝、AB=4㎝、∠OAB=90°の直角三角形OABがある。2点P、Qは同時にOを出発し、それぞれ次のように移動する。

点P

・辺OA上をOからAまで秒速1㎝の速さで移動する。

・Aに着くと、辺OA上を移動するときとは速さを変えて、辺AB上をAからBまで一定の速さで移動し、Bに着くと停止する。

点Q

・辺OBをOからBまで、線分PQが辺OAと垂直になるように移動し、Bに着くと停止する。

2点P、QがOを出発してからx秒後の△OPQの面積をy㎠とする。ただし、2点P、QがOにあるとき、および2点P、QがBにあるとき、△OPQの面積は0㎠とする。次の問いに答えなさい。

(1) 2点P、QがOを出発してから1秒後の線分PQの長さは何㎝か、求めなさい。

(2) 0≦x≦2のとき、xとyの関係を表したグラフとして最も適切なものを、次のア～エから1つ選んで、その符号を書きなさい。

(3) 2≦x≦10のとき、xとyの関係を表したグラフは図2のようになる。

➀図2の【 i 】にあてはまる数を求めなさい。

②点Pが辺AB上を移動するとき、点Pの速さは秒速何㎝か、求めなさい。

③2点P、QがOを出発してからt秒後の△OPQの面積と、(t+4)秒後の△OPQの面積が等しくなる。このとき、tの値を求めなさい。ただし、0<t<6とする。

(1) PQ=√(OQ²-OP²)=√((√5)²-1²)=√(5-1)=2(㎝)・・・(A)

(2)  1/2×OA×AB=1/2×2×4=4・・・(A)

(3)  4÷8=1/2(㎝/秒)・・・(A)

➀ 1/2×OA×AB=1/2×2×4=4・・・(A)

② 4÷8=1/2(㎝/秒)・・・(A)

③点Pが辺OA上にあるとき(0<t≦2)の、△OPQの面積は

 1/2×OP×PQ=1/2×t×2t=t²・・・➀

点Pが辺AB上にあるとき(2<t<6)の、△OPQの面積は

 1/2×PB×OA=1/2×(AB-PA)×2=4-(1/2×(t+4-2))=4-(1/2t+1)=3-1/2t・・・②

➀と②が等しくなるから、

t²=3-1/2t

2t²=6-t

2t²+t-6=0

(2t-3)(t+2)=0

t=3/2、-2

ここで、0<t<6であるから、t=3/2・・・(A)

図のように、AB=12㎝、BC=18㎝の△ABCがある。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとすると、BD=8㎝となる。次の問いに答えなさい。

(1) ∠ACD=∠CADであることを次のように証明した。【 i 】【 ii 】にあてはまるものを、あとのア～カからそれぞれ1つ選んでその符号を書き、この証明を完成させなさい。

<証明>

まず、△ABC∽△DBAであることを証明する。

△ABCと△DBAにおいて、

仮定から、

AB：DB＝3：2・・・①

【 i 】=3：2・・・②

①、②より、

AB：DB=【 i 】・・・③

共通な角だから、

∠ABC=∠DBA・・・④

③、④より、

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、

△ABC∽△DBA

したがって、∠ACB=∠【 ii 】・・・⑤

仮定から、∠【 ii 】=∠DAC・・・⑥

⑤、⑥より、∠ACD=∠CAD

ア BC：BA

イ BA：BC

ウ BC：DB

エ ABD

オ DAB

カ ADB

(2) 線分ADの長さは何㎝か、求めなさい。

(3) 線分ACの長さは何㎝か、求めなさい。

(4) 辺AB上に、DE=8㎝となるように、点Bと異なる点Eをとる。また、辺AC上に点Fをとり、AE、AFをとなり合う辺とするひし形をつくる。このひし形の面積は、△ABCの面積の何倍か、求めなさい。

(1) 【 i 】ア、【 ii 】オ

(2)  (1)より∠ACD=∠CADなので△DCAは二等辺三角形であるから、

AD=CD=10(㎝)・・・(A)

(3)ADが∠BACの二等分線であるから、

BD：DC=AB：AC

となる。よって、

8：18-8=12：AC

8：10=12：AC

8AC=120

AC=15(㎝)・・・(A)

(4)△AEDと△AFDについて、

AE=AF

AD共通

∠EAD=∠FAD

そのため、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AED≡△AFD

よって、△ABDと△CFDについて、

AD=CD・・・①

BD=ED=FD・・・②

また、∠BAD=∠DAC=∠FCD・・・③

△BDEは二等辺三角形であるから、∠ABD=∠BED・・・④

△AED≡△AFDより、∠AED=∠AFD・・・⑤

∠BED=180°-∠AED・・・⑥

∠CFD=180°-∠AFD・・・⑦

④⑤⑥⑦より、∠ABD=∠CFD・・・⑧

③⑧より、∠ADB=∠CDF・・・⑨

①②⑨より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△CFD

よって、CF=AB=12

そのため、AE=AF=15-12=3(㎝)

これにより、△AEF：△ABC=(3×3)：(12×15)=1：20

ひし形AEGF=2×△AEFだから、1/20×2=1/10(倍)・・・(A)

図のように、関数y=x²のグラフ上に異なる2点A、Bがあり、関数y=ax²のグラフ上に点Cがある。点Cの座標は(2,-1)であり、点Aと点Bのy座標は等しく、点Bと点Cのx座標は等しい。

次の問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さは1㎝とする。

(1) 点Aのx座標を求めなさい。

(2) aの値を求めなさい。

(3) 直線ACの式を求めなさい。

(4) 3点A、B、Cを通る円を円O'とする。

①円O’の直径の長さは何㎝か、求めなさい。

②円O'とx軸の交点のうち、x座標が正の数である点をDとする。点Dのx座標を求めなさい。

(1) 点Bと点Cのx座標は等しいから、x=2をy=x²に代入して、y=4

よって、点Bの座標は(2,4)

点Aはy軸に関して点Bと対称であるから、点Aのx座標は-2・・・(A)

(2) y=ax²に点C(2,-1)を代入して、-1=4a ∴a=-1/4・・・(A)

(3) 求める直線ACの式をy=bx+cとおく。

A(-2,4)とC(2,-1)をそれぞれ代入して、

4=-2b+c

-1=2b+c

この連立方程式を解くと、b=-5/4、c=3/2

よって、直線ACの式は y=-5/4x+3/2・・・(A)

(4)

①円周角と直径の関係より∠ABC=90°であるから、ACが直径となる。

よって、 AC=√(AB²+BC²)=√(16+25)=√41(㎝)・・・(A)

②D(t,0)とおく（t>0）。

ACの中点をEとすると、

E(-2+2/2,4+(-1)/2)=(0,3/2)

これが円O’の中心となる。ED=√41/2なので、三平方の定理より、

OD²+OE²=ED²

t²+(3/2)²=(√41/2)²

4t²+3²=(√41)²

4t²=32

t²=8

t>0より、t=2√2

しがって点Ｄのx座標は2√2・・・(A)

さいころ1つと大きな箱が1つある。また、1，2，3，4，5，6の数がそれぞれ1つずつ書かれた玉がたくさんある。箱の中が空の状態から、次の[操作]を何回か続けて行う。そのあいだ、箱の中から玉は取り出さない。

あとの問いに答えなさい。ただし、玉は[操作]を続けて行うことができるだけの個数があるものとする。また、さいころの1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。

[操作]

(i) さいころを1回投げ、出た目を確認する。

(ii) 出た目の約数が書かれた玉を、それぞれ1個ずつ箱の中に入れる。

例：(i)で4の目が出た場合は、(ii)で1、2、4が書かれた玉をそれぞれ1個ずつ箱の中に入れる。

(1) (i)で6の目が出た場合は、(ii)で箱の中に入れる玉は何個か、求めなさい。

(2) [操作]を2回続けて行ったとき、箱の中に4個の玉がある確率を求めなさい。

(3) [操作]をn回続けて行ったとき、次のようになった。

・n回のうち、1の目が2回、2の目が5回出た。3の目が出た回数と5の目が出た回数は等しかった。

・箱の中には、全部で52個の玉があり、そのうち1が書かれた玉は21個であった。4が書かれた玉の個数と6が書かれた玉の個数は等しかった。

➀nの値を求めなさい。

②5の目が何回出たか、求めなさい。

③52個の玉のうち、5が書かれた玉を箱の中から全て取り出す。その後、箱の中に残った玉をよくかき混ぜてから、玉を1個だけ取り出すとき、その取り出した玉に書かれた数が6の約数である確率を求めなさい。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。

(1) 6の約数は1，2，3，6であるから、箱の中に入れる玉は4個。・・・(A)

(2) 箱の中に4個の玉があるのは、1個+3個、3個+1個、2個+2個となるときである。

1個となるのは1、3個となるのは4、2個となるのは2，3，5の目が出たときである。

よって、求める確率は

1/6×1/6+1/6×1/6+3/6×3/6=11/36・・・(A)

(3)

➀操作を1回行うごとに必ず1が書かれた玉を1つ箱に入れるので、n=21・・・(A)

②3の目と5の目が出た回数をx回とおく。

また、4が書かれた玉と6が書かれた玉の個数が等しいことから、4と6の目が出た回数も等しくなる。これをy回とおく。

1の目が2回、2の目が5回出たときに入れる玉の個数は

1×2+2×5=12(個)

となる。残り40個の玉は3～6の目が出て入れたことになる。これより、

2x+3y+2x+4y=4x+7y=40・・・➀

また、3～6の目は21-7=14(回)出ているので、2(x+y)=14 ∴x+y=7・・・②

➀②の連立方程式を解くと、 x=3、y=4

よって、5の目が出た回数は3回・・・(A)

③5の玉は3個入っているので、これを取り出すと残りは49個である。6の約数でない数は4で、これは4個入っている。

よって、求める確率は 49-4/49=45/49・・・(A)

数学の授業中に先生が手品を行い、ゆうりさんたち生徒は手品の仕掛けについて考察した。あとの問いに答えなさい。

先生：ここに3つの空の箱、箱A、箱B、箱Cと、たくさんのコインがあります。ゆうりさん、先生に見えないように、黒板に示している作業1～4を順に行ってください。

作業1：箱A、箱B、箱Cに同じ枚数ずつコインを入れる。ただし、各箱に入れるコインの枚数は20以上とする。

作業2：箱B、箱Cから8枚ずつコインを取り出し、箱Aに入れる。

作業3：箱Cの中にあるコインの枚数を数え、それと同じ枚数のコインを箱Aから取り出し、箱Bに入れる。

作業4：箱Bから1枚コインを取り出し、箱Aに入れる。

ゆうり：はい。できました。

先生：では、箱Aの中にコインが何枚あるか当ててみましょう。【 a 】枚ですね。どうですか。

ゆうり：数えてみます。1.2.3.・・・、すごい！確かにコインは【 a 】枚あります。

(1) 作業1で、箱A、箱B、箱Cに20枚ずつコインを入れた場合、【 a 】にあてはまる数を求めなさい。

(2) 授業後、ゆうりさんは「授業後振り返りシート」を作成した。【 i 】にあてはまる数、【 ii 】、【 iii 】にあてはまる式をそれぞれ求めなさい。

授業振り返りシート

授業日：３月１０日（金）

Ⅰ 授業で行ったこと

 先生が手品をしてくれました。その手品の仕掛けを数学的に証明するために、グループで話し合いました。

Ⅱ わかったこと

 作業1で箱A、箱B、箱Cに20枚ずつコインを入れても、21枚ずつコインを入れても、作業4の後に箱Aの中にあるコインは【 a 】枚となります。

 なぜそのようになるかは、次のように説明できます。

・作業4の後に箱Aの中にコインが【 a 】枚あるということは、作業3の後に箱Aの中にコインが【 i 】枚あるということです。

・作業1で箱A、箱B、箱Cにx枚ずつコインを入れた場合、作業2の後に箱Aの中にあるコインはxを用いて【 ii 】枚、箱Cの中にあるコインはxを用いて【 iii 】枚と表すことができます。つまり、作業3では【 iii 】枚のコインを箱Aから取り出すので、【 ii 】から【 iii 】をひくと、xの値に関係なく【 i 】になります。

 これらのことから、作業1で各箱に入れるコインの枚数に関係なく、先生は【 a 】枚と言えばよかったということです。

(3) ゆうりさんは、作業2で箱B、箱Cから取り出すコインの枚数を変えて何回かこの手品を行い、作業3の後に箱Aの中にあるコインの枚数は必ずnの倍数となることに気がついた。ただし、作業2では箱B、箱Cから同じ枚数のコインを取り出し、箱Aに入れることとし、作業2以外は変更しない。また、各作業中、いずれの箱の中にあるコインの枚数も0になることはないものとする。

➀ nの値を求めなさい。ただし、nは1以外の自然数とする。

② 次のア〜ウのうち、作業4の後に箱Aの中にあるコインの枚数として適切なものを、ゆうりさんの気づきをもとに1つ選んで、その符号を書きなさい。また、その枚数にするためには、作業2で箱B、箱Cから何枚ずつコインを取り出せばよいか、求めなさい。

(1) 

作業1終了後→箱A20枚、箱B20枚、箱C20枚

作業2終了後→箱A36枚、箱B12枚、箱C12枚

作業3終了後→箱A24枚、箱B24枚、箱C12枚

作業4終了後→箱A25枚、箱B23枚、箱C12枚

となる。よって、25枚・・・(A)

(2) 

【 i 】→24

【 ii 】→x+16

【 iii 】→x-8

(3) 

➀作業1で箱A、箱B、箱C1にx枚ずつコインを入れて、作業2でy枚ずつ取り出すとすると、作業3終了時に箱Aに入っているコインは、

x+2y-(x-y)=3y(枚)

よって、3の倍数になる。したがって、n=3・・・(A)

②作業4終了時に箱Aの中にあるコインの枚数は(3の倍数)+1枚になっているので、3×18+1である、ウが適切。・・・(A)

また、3y+1=55より、y=18 よって、18枚・・・(A)

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