【香川県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験

香川県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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次の⑴～⑺の問いに答えなさい。

（1）3×(-5)+9　を計算せよ。

（2）5(x-2y)-(4x+y)　を計算せよ。

（3）(6a²-4ab)÷2a　を計算せよ。

（4）(√8+1)(√2-1)　を計算せよ。

（5）3x²-12　を因数分解せよ。

（6）2次方程式 (x-2)²=5　を解け。

（7）次のア～エのうち、nがどのような整数であっても、連続する2つの奇数を表すものはどれか。正しいものを1つ選んで、その記号を書け。

　　ア　n,n+1　　イ　n+1,n+3　　ウ　2n,2n+2　エ　2n+1,2n+3

【解答】

（1）　【正答　-6】 

（2）　【正答　x-11y】

（3）　【正答　3a-2b】

（4）　【正答　3-√2】

（5）　【正答　3(x+2)(x-2)】

（6）　【正答　x=2±√5】

（7）　【正答　エ】

【解説】

（1）　（与式）＝-15+9＝-6

（2）　（与式）＝5ｘ-10ｙ-4ｘ-ｙ＝ｘ-11ｙ

（4）　（与式）＝√16-√8+√2-1＝4-2√2+√2-1＝3-√2

（5）　（与式）＝3（ｘ²-4）＝3（ｘ+4）（ｘ-4）

（6）　ｘ-2＝±√5　ｘ＝2±√5

次の⑴～⑶の問いに答えなさい。

【解答】

（1）　【正答　55度】

（2）　【正答　ア.　イ　　イ.　32√5㎝³】

（3）　【正答　9√3/13㎝²】

【解説】

（1）　

AB＝BDより、∠ADB＝（180°-50°）÷2＝65°

AD//BCより、∠DBC＝∠ADB＝65°

∠BCD＝180°-65°-60°＝55°

（2）イ

EC＝√8²+4²＝√80＝4√5

Aから底面BCDEに垂線AHを下ろすとき、HはECの中点と一致する。

△ACE＝4√5×AH×1/2＝30

AH＝30×2/4√5＝3√5

四角錐の体積は、8×4×3√5×1/3＝32√5（cm³）　

（3）　

AからBCに垂線AHを下ろす。△ABHは30°、60°、90°の直角三角形であるから、

BH＝2、AH＝2√3、HD＝DC＝1、AD＝√（2√3）²+1²＝√13

△BDE∽△ADCを利用する。

△BDE：△ADC＝BD²：AD²＝3²：（√13）²＝9：13

△BDE＝9/13△ADC＝9/13×（1×2√3×1/2）＝9√3/13（㎝²）

次の⑴～⑷の問いに答えなさい。

（1）1から6までのどの目が出ることも、同様に確からしいさいころが1個ある。このさいころを2回投げて、1回目に出た目の数をa、2回目に出た目の数をbとするとき、10a+bの値が8の倍数になる確率を求めよ。

（4）ある店で売られているクッキーの詰め合わせには、箱A、箱B、箱Cの3種類があり、それぞれ決まった枚数のクッキーが入っている。箱Cに入っているクッキーの枚数は、箱Aに入っているクッキーの枚数の2倍で、箱A、箱B、箱Cに入っているクッキーの枚数は27枚である。花子さんが、箱A、箱B、箱Cをそれぞれ8箱、4箱、3箱買ったところ、クッキーの枚数の合計は118枚であった。このとき、箱A、箱Bに入っているクッキーの枚数をそれぞれa枚、b枚として、a,bの値を求めよ。a,bの値を求める過程も、式と計算を含めて書け。

【解答】

（1）　【正答　5/36】

（2）　【正答　イとエ】

（3）　【正答　ア.　-1　　イ.　y=3/4x+9/2】

（4）　【正答　下記参照】

（求める過程）

［例］箱Cに入っているクッキーの枚数＝2a（枚）

a+b+2a=27　3a+b=27…①

8a+4b+3×2a=118　14a+4b=118…②

①、②を連立して解くと、a=5,b=12

（答）aの値5,bの値12

【解説】

（1）　10a+bの値が8の倍数になるのは、16，24，32，56，64の5通り。

（2）　

4月から9月までの6ヶ月間における月ごとの冊数の平均値は、1+6+4+2+8+3/6=4（冊）

4月から10月までの平均値も、1+6+4+2+8+3+4/7=4（冊）となり、変わらない。

4月から9月までの6か月間における月ごとの冊数の中央値は、3+4/2=3.5（冊）

4月から10月までの中央値は4であるから、大きくなる。

（3）ア

1/4×(-1)²-1/4×(-3)²/-1-(-3)=-2/2=-1

次の⑴，⑵の問いに答えなさい。

【ルール】

①　最初に、2以上の自然数を1つ決め、それをnとする。
②　①で決めたnの値に対して、図1のような立方体と正四面体に、次のように・印をつける。
　立方体については、
　　各辺をn等分するすべての点とすべての頂点に・印をつける。 
　正四面体については、
　　各辺をn等分するすべての点とすべての頂点に・印をつける。また、この正四面体の各辺の中点に・印がつけられていない場合には、この正四面体の各辺の中点にも・印をつける。
③　②のようにして、立方体につけた・印の個数をa個、正四面体につけた・印の個数をb個とする。

（2）次の図1のように、BC＝6cm、CD＝8cmの長方形ABCDと、FG=6cm、GH=4cmの長方形EFGHがある。点Aと点Eは重なっており、点Fは辺ABをAの方に延長した直線状にある。

図1の状態から、長方形ABCDを固定して、点Eが対角線AC上にあるようにして、矢印の向きに長方形EFGHを平行移動させる。次の図2は、移動の途中の状態を示したものである。

点Eが、点Aを出発して、毎秒1cmの速さで、対角線AC上を点Cに重なるまでに動くとき、点Eが点Aを出発してからx秒後に、長方形ABCDと長方形EFGHが重なってできる図形をSとして、あとのア～ウの問いに答えよ。

ア　点Fが辺DA上にあるとき、図形Sの面積は何cm²か。

イ　0≦x≦5、5≦x≦10のそれぞれの場合について、図形Sの面積は何cm²か。xを使った式で表せ。

ウ　点Eが点Aを出発してからt秒後にできる図形Sの面積に比べて、その6秒後にできる図形Sの面積が5倍になるのは、tの値がいくらのときか。tの値を求める過程も、式と計算を含めて書け。

【解答】

（1）　【正答　ア.　a=56　　イ.　12,13】

（2）　【正答　ア.　12cm²　　イ.　[0≦x≦5]12/25x²cm²　[5≦x≦10]12/5xcm²　　ウ.　下記参照】

　ウ（求める過程）

　[例]t≧0およびt+6≦10より、0≦t≦4

前問イの結果より、t秒後、(t+6)秒後の図形Sの面積はそれぞれ12/25t²、12/5(t+6)と表せる。

5×12/25t²=12/5(t+6)

整理すると、t²-t-6=0　(t+2)(t-3)=0　t=-2,3

0≦t≦4より、t=3

（答）tの値　3

【解説】

（1）ア

立方体につけた・印の個数は、nが1増えるごとに、立方体の辺の本数12ずつ増える。

n=3のとき、a=32であるから、n=5のとき、a=32+12×2=56

（1）イ

アを踏まえて、aの値はnの一次式で表せる。

(n,a)=(2,20),(3,32)を用いると、a=12n-4

正四面体につけた・印の個数は、各辺につける・印が1個増えるごとに、正四面体の辺の本数6ずつ増える。

nが奇数のときには、各辺の中点にも・印をつけるので、表にして整理すつと下表のようになる。 

a-b=70となるのは、n=12,13のときである。

方程式を用いて解く場合、bをnで表す際にnが奇数のときと偶数のときを考える必要がある。

[ｎが偶数の時]

b=10+6(n-2)=6n-2

a-b=12n-4-(6n-2)=6n-2

6n-2=70を解くと、n=12
[ｎが奇数の時]

b=10+6(n-2)+6=6n+4

a-b=12n-4-(6n+4)=6n-8

6n-8=70を解くと、n=13

（2）ア

S＝3×4＝12（cm²）

（2）イ

[0≦x≦5]

S＝3/5x×4/5x=12/25x²

[5≦x≦10]

S=3/5x×4＝12/5ｘ

【解答】

（1）証明

[例] △ACDと△AEBにおいて、

仮定より、∠CAD＝∠EAB…①

弧ACに対する円周角は等しいので、∠ADC＝∠ABC
∠ABC＝∠ABEであるから、∠ADC＝∠ABE…②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので、

△ACD∽△AEB

（2）証明

[例]半径が等しいので、OA＝OD＝OB…①
①より、△OADは二等辺三角形であるから、

∠OAD＝∠ODA、∠CAD＝∠OAD[仮定]より、∠CAD＝∠ODA

錯覚が等しいので、AC//OD…②

△ODFと△OBHにおいて
∠DOF＝∠BOH[共通]…③

半円の弧に対する円周角より、∠ACB＝90°

②より同位角が等しいので、∠OHB＝∠ACB＝90°

∠OFD＝90°[仮定]より、∠OFD＝∠OHB＝90°…④
①、③、④より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、△ODF≡△OBH

対応する辺の長さは等しいので、OF＝OH…⑤

△OFGと△OHGにおいて、

OGは共通…⑥

④より、∠OFG＝∠OHG＝90°…⑦

⑤、⑥、⑦より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、△OFG≡△OHG

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