【京都府】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

京都府の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

今年の京都府の数学の前期試験の難易度は標準です。
大問が6つ構成で、図形問題の比重が大きく難易度も高いです。
小問集合と各大問の最初の問題は簡単なのでここを必ず押さえると得点が稼げます。
また、大問2の確率と、大問6の法則性を問う問題は丁寧に解いていくと答えを出せるので次に点数が取りやすい部分です。 

中期試験の難易度は難です。
考えさせる問題が多く、取っ掛かりを見つけないと完全解答まで難しい問題が出題されます。
ただ、同じく小問集合や各大問の最初の問題は比較的簡単なので押さえていきましょう。
解けなかった問題も出来るまで解く復習用の問題として使えるほど骨のある問題です。

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次の問い（1）～（8）に答えよ。

（1）　(-4)²ー9÷-3を計算せよ。

（2）　6x²y×2y÷9÷8xy²を計算せよ。

（3）　1/√8×4√6ー√27を計算せよ。

（4）　x＝1/5, y＝-3/4のとき、(7xー3y)ー(2x＋5y)の値を求めよ。

（5）　二次方程式(x＋1)²＝72を解け。

（6）　関数y=1/2x²についてxの値が2から6まで増加するときの変化の割合を求めよ。

（1）　【正答　19】

（与式）=16+3=19

（2）　【正答　ｘ/6】

（与式）=12x²y²/(72xy²)=x/6

（3）　【正答　-√3】

（与式）=4√6/2√2-3√3=2√3-3√3=√3

（4）　【正答　7】

(7x-3y)-(2x+5y)=5x-8y

x=1/5, y=-3/4 を代入すると

1+6=7

（5）　【正答　-1±6√2】

与式よりx+1=±√72

∴x=-1±6√2

（6）　【正答　-4】

変化の割合は(yの増加量)/(xの増加量)で定義されるから、求める変化の割合は

(-1/2*6^2+1/2*2^2)/(6-2)=(-18+2)/4=-4

（7）　【正答】

（8）　【正答　5/16】

それぞれの硬貨について表と裏の2通りの出方があるので、4枚同時に投げた時の場合の数は

2x2x2x2=16通り。そのうち、3枚以上表になっているのは、コイン4枚をA,B,C,Dと区別すると、Aだけ裏の時、Bだけ裏の時、Cだけ裏の時、Dだけ裏の時と4枚すべてが表になっているときの5通りなので求める確率は5/16

（1）　【正答　13.7】

8℃以上12℃未満の日は4日

12℃以上16℃未満の日は8日

16℃以上20℃未満の日は3日

それぞれ階級値は10℃,14℃,18℃であるから平均値は

(10x4+14x8+18x3)/15=13.73…

小数第２位を四捨五入して13.7を解答とする。

（2）　【正答　5】

図IIより14℃以上の日は8日あったことがわかる。また、図Iより16℃以上の日は3日あったことがわかる。これらより14℃以上16℃未満の日は5日あったことがわかる。

（1）　【正答　36√3】

正四角錐の底面積は36㎠.高さは3√3より求める体積VはV=36×3√3×1/3=36√3

（2）　【正答　108】

表面積は底面と側面4つの和で求められる。

側面の三角形は底辺6cm, 高さ6cmの三角形である。(図に示されているのは投影図であるから側面は1辺が6cmの正三角形ではないことに注意)

以上より求める表面積SはS=6×6+(6×6/2)×4=108

（1）　【正答　12,8】

点Bのx座標は10であるからy=1/2x+2に代入してB(10, 7) 同様にしてC(10, -5)であるから二点間の距離は12。

点Aは二つの直線の交点であるからy=1/2x+2, y=-x+5の連立方程式を解く。

A(2, 3)であり、x座標の差が距離と等しくなるから求める距離は8。

（2）　【正答　23x/25-23/5】

△ABCの面積Sは、BCの長さを底辺とし、点AとBC間の長さを高さとすれば求められるので、S=12*8/2=48

求める直線が通るBC上の点をEとする。△DCEの面積が24となればよいことからEのy座標を求める。

DはD(5, 0)であるからECの長さは48/5。

Eのy座標は23/5

D(5, 0)とE(10, 23/5)を通る直線が求める直線の式である。

（1）　【正答　120°】

A,B,Cは円周を三等分しているので、360/3=120

（2）　【正答　9√2】

扇形の面積SはS=r*r*π*a/360 (r:半径、a:中心角)であるから

54π=r²*120/360

r²=162π

r=9√2π

（3）　【正答　23√2/2】

錯角より∠DOF=∠AEF

対頂角より∠OFD=∠EFA

よって△ODF∽△EAFである。

また、OA=OE、∠AOE=60°より△AOEは正三角形であるからAE=OB。

△ODFと△EAFの相似比は5:13であるからCFの長さは9√2+9√2*(5/18)=23√2/2

このとき、次の問い（1）～（3）に答えよ。

（1）5番目の図形についてタイルAの枚数を求めよ。

（2）9番目の図形についてタイルBの枚数を求めよ。

（3）タイルAの枚数がタイルBの枚数より1009枚少なくなるのは何番目の図形か求めよ。

（1）　【正答　20】

四角形の各辺に1枚ずつ足されている、と考えられるのでn番目からn+1番目になると4枚足されるので5番目は20枚

（2）　【正答　145】

1番目から1, 5, 13, 25, …と増えておりまたその差は4, 8, 12, …と増えている。

このことよりn番目の図形のタイルBの枚数は2n^2-2n+1で表されるので9番目のタイルは145枚

（3）　【正答　24】

タイルAは4n, タイルBは2n^2-2n+1で表されるのでその差は2n^2-6n+1でこれが1009となる等式を解けば良い。

2n²-6n+1=1009

2n²-6n=1008

n²-3n=504

(n-24)(n+21)=0

n>0よりn=24

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