【京都府】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

京都府の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

今年の京都府の数学の前期試験の難易度は標準です。
大問が6つ構成で、図形問題の比重が大きく難易度も高いです。
小問集合と各大問の最初の問題は簡単なのでここを必ず押さえると得点が稼げます。
また、大問2の確率と、大問6の法則性を問う問題は丁寧に解いていくと答えを出せるので次に点数が取りやすい部分です。 

中期試験の難易度は難です。
考えさせる問題が多く、取っ掛かりを見つけないと完全解答まで難しい問題が出題されます。
ただ、同じく小問集合や各大問の最初の問題は比較的簡単なので押さえていきましょう。
解けなかった問題も出来るまで解く復習用の問題として使えるほど骨のある問題です。

 【京都府】令和3年度一般入学者選抜の過去問はこちらから

数学(中期)の過去問題はこちら＞＞

 京都府の2022年度(令和4年度入学者）の公立高校入試情報はこちら

次の問い（1）～（9）に答えよ。

（1）　(-5)²ー2³÷4　を計算せよ。

（2）　3ab/2÷ab²/6×(-a²b)　を計算せよ。

（3）　√6×√18－9/√27　を計算せよ。

（4） 次の連立方程式を解け。

　　　3x－(y+8)＝12

　　　x－2y＝0

（5)    1次関数 y=-7x/3+5 について、xの増加量が6のときのyの増加量を求めよ。

（6） (x-y)²-49 を因数分解せよ。

（7）  2次方程式 4x²-4x-1=0 を解け。

（1）　【正答　23】

 加減乗除は乗除から計算する
【与式】＝25ー8÷4＝25ー2＝23

（2）　【正答　-9a²】

（3）　【正答　5√3】

【与式】＝√6×√18－9/√27＝6√3－√3

                  ＝5√3

（4）　【正答　(x＝)8、(y＝)4 】

3x－(y+8)＝12 ー①

x－2y＝0　　   ー②

②を変形して

x＝2y　これを①に代入する

3×(2y)－(y+8)＝12

⇔y＝4

　x＝8

（5）　【正答　-14】

 (傾き)＝(yの増加量)/(xの増加量)なので

⇔-7/3＝(yの増加量)/6

⇔(yの増加量)＝-14

（6）　【正答　(x-y+7)(x-y-7)】

【与式】＝(x-y)²-7²＝{(x-y)+7}{(x-y)-7}

                  ＝(x-y+7)(x-y-7)

（7）　【正答　(1±√2)/2】

2次方程式の解の公式を使う

x＝（2±√4−4×(-1)）/4

  ＝(1±√2)/2

（8）　【正答　30π ㎠】

円錐の側面の表面積は

(母線)×(母線)×(半径)/(母線)×π

＝(母線)×(半径)×π

＝5×3×π

これが2つあるので

15π×2＝30π

（9）　【正答　ウ→イ→ア】

(ア)　得点の平均値は　(0×14+1×13+2×12+3×2+4×1)/42=1.11…

(イ)　得点の中央値は１　

(ウ)　得点の最頻値は０

（1）　【正答　9/25】

1回目に1を取り出す確率は2/5

2回目に続けて1を取り出す確率は2/5

より、1を連続で引く確率は

2/5×2/5=4/25

3を連続で取り出す確率も同様に考えて、4/25

5を連続で取り出す確率は

1/5×1/5=1/25

よって

4/25+4/25+1/5=9/25

（2）　【正答　3/10】

5個の玉から2個を引くので、組み合わせ方は全部で₅Ｃ₂=10通りとなる

a=1のときb=4の場合、

取り出し方は、①と❸、❶と③の2通り

a=2のときb=8の場合、

取り出し方は、➄と③の1通り

よって求める確率は、3/10

（1）　【正答　(a=) 2/9 】

 y=ax² に(-3，2)を代入すると

2=a(-3)²

⇔a= 2/9 

（2）　【正答　(y=) 2x/3+4】

Bの座標は y=2x²/9 にx=6を代入

 y=2×6²/9=8

A(-3，2)、B(6，8)ー①より

傾きは(2-8)/(-3-6)=2/3

y=2x/3+b に(-3，2)を代入

2=2×(-3)/3+b

⇔b=4

よって　y=2x/3+4

（3）　【正答　16】

点Cをx軸について線対象に移動させた点をC'とする

線分BC'とx軸が交わる点にDがあるとき、線分BDと線分CDの長さの和が最も小さくなる

このとき、BD+CD=BD+C'D　となる

点Cは、y=2x/3+4とy軸の交点なので

x=0、y=0+4=4

C(0，4)　ー②

②より点C'(0，-4) ー③

①と③より

直線BC'の傾きは(-4-8)/(0-6)=2　

y=2x+b に(0，-4)を代入

-4=0+b

⇔b=-4

よって　y=2x-4  　ー④

点Dの座標は④から　D(2，0)

△BCD=△BCC'-CC'D=8×6×1/2－8×2×1/2

                                         =16

（1）　【正答　(例) 】

△ABDと△ACEで

△ABCは正三角形だから、　AB=AC ー①

△ADEは正三角形だから、　AD=AE ー②

∠BAC=60°だから　　　　∠BAD=60°－∠CAD

∠DAE=60°だから　　　　∠CAE=60°－∠CAD

よって、　　　∠BAD=∠CAE             ー③

①、②、③から、2組の辺とその間の角が、それぞれ等しいので

　△ABD≡△ACE

（2）　【正答　EC：CF＝49：18】

△ABD、△FCDにおいて　

対頂角は等しいので　∠ADB=∠FDC    　　  ー①

△ABD≡△ACEから　∠ABD=∠ACE=60°　  ー②

△ABCは正三角形だから、　∠ACB=60°        ー③

②、③より　∠DCF=180°－∠ACE－∠ACB=60°　ー④

④より　　　∠DBA=∠DCF=60°　　　  　　ー➄

①、➄より2つの角が等しいので

△ABD∽△FCD　　ー⑥

BD：CD=7：2

⑥より

AB：FC=7⃣：2⃣

また、△ABCは正三角形なので

AB=BC=7⃣=9　　ー⑦

(1)からAD=CE=7　　ー⑧

よって、⑦、⑧より

EC：CF＝7：2⃣=7：2⃣×9/7⃣=7：18/7

               ＝49：18

（1）　【正答　2√2 】

 △IEJに注目すると、1：1：√2の三角形になっているので、IJ＝2√2ｃｍ

（2）　【正答　6√7 】

IJと同様にして、DB,DJ,BIを求めると、それぞれ4√2ｃｍ、4ｃｍ、4ｃｍとなる。ここで四角形ＢＤＪＩを書いてみると台形の形になることが分かる。この台形を3分割して面積を求めればよい。

√2×√14÷2×2+2√2×√14＝6√7ｃｍ²

（3）　【正答　32√3/5】

点Ｋは四角形ＢＤＪＩの真ん中になるので、ＢＤの中点をＭ、ＩＪの中点をＮとすると、ＡＭ－Ｋ－ＧＮで砂時計の形が作れることが分かる。

四角錐ＫＥＦＧＨの体積は1/3×底面積（四角形ＥＦＧＨ）×高さ（ＫＧ）で求めることができる。

底面積は4×4＝16ｃｍ²

ＫＧを求めるためにはＡＭ－Ｋ－ＧＮの砂時計の形に注目する。

ＡＭ＝2√2、ＮＧ＝3√2となるので、△ＡＭＫと△ＧＮＫは2：3の相似である。よって、ＫＧ＝3/5×ＡＧ＝3/5×2√3

答えは、32√3/5ｃｍ³となる。

このとき、次の問い（1）～（3）に答えよ。ただし、nは2以上の自然数とする。

（1）n＝20のとき、長いすA、Bの脚数の組み合わせの総数は何通りあるか求めよ。

（2）n＝127のとき、長いすA、Bの脚数の組み合わせの総数は何通りあるか求めよ。

（3）aを2以上の自然数とする。長いすA、Bの脚数の組み合わせの総数がa通りあるときのnの値として考えられるもののうち、最小の値と最大の値を、それぞれaを用いて表せ。ただし、答えは、かっこがあればかっこをはずし、同類項があれば同類項をまとめて簡単にすること。

（1）　【正答　4 通り 】

（A,B）＝（10，0）（7，2）（4，4）（1，6）の4通りになります。

（2）　【正答　21通り】

ｎが奇数なので、これを起点に考えると、Ｂは1から41の奇数の21通りとなる。

（3）　【正答　(最小の値) 6a-6   (最大の値) 6a+1】

最小：2×3×（a-1）＝6a-6

最大：2×（3×（a-1）+2）+3＝6a+1

次の問い（1）～（8）に答えよ。

（1）　(-3)²ー6×5を計算せよ。

（2）　(8a+9)/4ー(6a+4)/3を計算せよ。

（3）　(√2+√5)²を計算せよ。

（4）　方程式 0.16xー0.08＝0.4　を解け。

（5）　次の連立方程式を解け。

　　　7x－3y＝11

　　　3x－2y＝-1

（6）　関数y=x²/4についてxの変域がa≦x≦3のときのyの変域がb≦y≦9である。このとき、a、bの値をそれぞれ求めよ。

（7）　次の図で、4点A、B、C、Dは円Oの周上にある。このとき、∠xの大きさを求めよ。

（8）　箱の中に同じ大きさの白玉がたくさん入っている。この箱の中に、同じ大きさの黒玉を50個いれてよくかき混ぜた後、この箱の中から40個の玉を無作為に抽出すると、その中に黒玉が3個含まれていた。この結果から、始めたにこの箱の中に入っていた白玉の個数はおよそ何個と考えられるか。一の位を四捨五入して答えよ。

（1）　【正答　-39】

 加減乗除は乗除から計算する
【与式】＝-9-30＝-39

（2）　【正答　11/12】

分母をそろえて計算する

【与式】＝(24a+27)/12－(24a+16)/12＝11/12

（3）　【正答　7+2√10】

展開して計算すればよい

【与式】＝2+2×√10+5＝7+2√10

（4）　【正答　(x＝)3】

0.16xー0.08＝0.4

⇔0.16x＝0.4+0.08＝0.48

⇔x＝3

（5）　【正答　(x＝)5、(y＝)8】

7x－3y＝11　ー①

3x－2y＝-1　 ー②

①×2－②×3より

5x＝25⇔　x＝5

これを①の式に代入して、

7×5－3y＝11⇔y＝8

（6）　【正答　(a＝)-6、(b＝)0】

y=x²/4にx＝3を代入して、y＝9/4

y=x²/4にy＝9を代入して、x＝36

x＝36になるxは-6、6

a≦x≦3より、x＝-6（⇔a＝-6）

-6≦x≦3のとき、y=x²/4の最小値は0となるので、

b＝0

（7）　【正答　127°】

直線ADと直線BCの交点を点Eとおく

円周角は等しいので、

∠ADB＝∠ACB＝92°

また

∠ACE＝180°－∠ACB＝180°－92°＝88°

△ACEにおいて

∠EAC＝180°－∠ACE－∠CEA

　　　＝180°－88°－57°＝35°

よって、

∠x＝∠EAC+∠ADB＝35°+92°＝127°

（8）　【正答　およそ620個】

黒玉が40個中3個の割合で含まれているので、

黒玉と白玉がの比は、箱の中の白玉がx個あったとすると

3：40-3＝40：x　⇔ x＝37×50/3＝616.…

1の位を四捨五入するので、x＝620 

1から6までの目があるさいころを2回投げ、1回目に出た目の数をa、2回目に出た目の数をbとする。

このとき、次の問い(1)・(2)に答えよ。ただし、さいころの1から6までの目の出方は、同様に確からしいものとする。

（1） a/b＝2となる確率を求めよ。

（2） a/bの値が循環小数になる確率を求めよ。

（1）　【正答　1/12】

  a/b＝2となるa、bの組み合わせは

(a,b)＝(2,1)、(4,2)、(6,3)

の3通り。すべての組み合わせ方は、6×6＝36通りあるので、

3/36＝1/12

（2）　【正答　2/9】

  a/bが循環小数となるa、bの組み合わせは

(a,b)＝(1,3)、(1,6)、(2,3)、(2,6)、(4,3)、(4,6)、(5,3)、(5,6)

の8通り。

8/36＝2/9

（ア）辺ACの中点

（イ）辺CFの中点

（ウ）線分AFと線分CDとの交点

（エ）∠CBEの二等辺分線と辺CFとの交点

（オ）点Bから辺ACにひいた垂線と辺ACとの交点

（2）2点H、Iをそれぞれ辺AC、DF上にCH＝DI＝9/2㎝となるようにとるとき、四角錘BCHDIの体積を求めよ。

（1）　【正答　(オ)】

 点Bと辺ACの距離、点Bと平面ADFCの距離は等しい

（2）　【正答　48】

△ABCについて、三平方の定理より、

AC＝√{(AB²)∔(BC)²}＝∠√(8²∔4²)＝4√5

点Ｂと平面CDHIの距離は、線分BGの長さと等しくなる

△ABCにおいて、線分BCを底辺として面積を求めると

4×8×1/2＝16ー①

また、線分ACを底辺として面積を求めると

4√5×BG×1/2

①より、

BG＝8√5/5　ー②

四角形CDIHはCD＝IH、CD//IHの平行四辺形なので

底面CDIHの体積は

ID×AD＝9/2×4√5＝18√5　ー③

②、③より求める体積は

8√5/5×18√5×1/3＝48

（1）午前9時から午前9時36分における、大輝さんが午前9時に地点Aを出発してからの時間と、大輝さんが午前9時に地点Aを出発してから進んだ道のりとの関係を表すグラフを答案用紙にの図にかけ。

（2）大輝さんが、休憩後、ひなたさんに追いついたのは午前9時何分何秒か求めよ。ただし、分、秒いずれも0以上59以下の整数で答えること。

（3）京平さんは、午前9時29分ちょうどに地点Aを出発し、このジョギングコースを、一定の速さでひなたさんと反対向きに1周走って、午前9時41分ちょうどに地点Aに着いた。このとき、京平さんが、大輝さんとすれ違ってから、ひなたさんとすれ違うまでに進んだ道のりを求めよ。

（1）　【正答　】

大輝さんが走った時間は

36分－18分＝18分

1周にかかる時間は、18分÷2＝9分

（2）　【正答　午前9時28分48秒】

Ⅱ図と(1)のグラフを照らし合わせる。

(1)のグラフのｘの変域が27≦ｘ≦36のときに、大輝さんとひなたさんがすれ違う。

(1)のグラフで27≦ｘ≦36のときのグラフの傾きは

(3600-1800)/(36-27)=200

y=200x+bに(27,1800)を代入し

y=200x-3600　ー①

また、Ⅱ図のグラフの傾きは

(3600-0)/(48-0)=75

原点を通るので

y=75x　ー②

大輝さんとひなたさんがすれ違う時間は①、②より

200x-3600=75x

⇔x=28.8分=28分48秒

（3）　【正答　350ｍ】

 京平さんの地点Aを出発してから進んだ道のりとの関係をⅡ図のようにグラフで表すと、

ひなたさんと反対向きに進んでいるので(41,1800)、(29,3600)のように座標をとることができる。

グラフの傾きは

(3600-1800)/(29-41)=-150

y=-150x+bに(41,1800)を代入し

y=-150x+7950　ー③

大輝さんと京平さんがすれ違う時間は①、③より

200x-3600=-150x+7950

⇔x=33分

このときの京平さんのy座標は

y=-150×33+7950=3000ⅿ　－④

ひなたさんと京平さんがすれ違う時間は①、③より

75x=-150x+7950

⇔x=106/3

このときの京平さんのy座標は

y=-150×106/3+7950=2650ⅿ　ー➄

④、➄より

3000ⅿ-2650ⅿ=350ｍ

（1）　【正答　14/3】

 EF//BCより

EF：BC＝AE：AB＝9-3：9＝2：3　より

EF：7＝2：3

⇔EF＝14/3

（2）　【正答　10/3】

 問題文と EF//BCから錯角は等しいので

∠EBD＝∠DBC＝∠EDB

∠DCF＝∠DCB＝∠FDC

より△BDE、△CDFＨはそれぞれEB＝ED、FC＝FDの二等辺三角形。

ED＝3㎝となるので、

DF＝EF-ED＝14/3-3＝5/3＝CF

(1)から

AF：FC＝2：1

AF：5/3＝2：1

⇔AF＝10/3

（3）　【正答　△CFD：△ABC＝5：63】

 △ABCの面積を１とする

高さが同じ場合、底面の比と面積の比が等しくなるので、

△ACE＝△ABC×AE/AB＝1×6/9＝2/3

△CEF＝△ACE×FC/AC＝2/3×(5/3)/(15/3)＝2/3×1/3＝2/9

△CFD＝△CEF×DF/EF＝2/9×(5/3)/(14/3)＝2/9×5/14＝10/126＝5/63

よって、

△CFD：△ABC＝5/63：1＝5：63

（1）7段目の左端の正三角形の板に書かれている数を7段目の右端の正三角形の板に書かれている数をそれぞれ求めよ。

（2）n段目の左端の三角形の板に書かれている数とn段目の右端の正三角形の板に書かれている数の和が1986であった。このとき、nの値を求めよ。

（1）　【正答　(7段目の左端の正三角形の板に書かれている数)　37

　　　　　　　（7段目の右端の正三角形の板に書かれている数）49　】

右端の正三角形の板に書かれている数は、(段の数)²となっている。

7段目の右端は、7²=49

7段目の左端の正三角形の板に書いてある数は、6段目の右端に1を足した数なので、

6²+1＝37

（2）　【正答　32】

 n段目の左端の正三角形の板に書かれている数は(n-1)²+1

 n段目の右端の正三角形の板に書かれている数はn²

(n-1)²+n²=1986

n≧0なので

n=32

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