【奈良県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

奈良県の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

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次の各問い答えよ。

（1）次の①～④の計算せよ。

①　ー2－5

②　ー3²×9

③　8a²b÷(ー2ab)²×6ab

④　(x＋7)(xー4)ー(xー4)²

（2）連立方程式を解け。

{3x+4y=1

{2x-y=-3

（3）2次方程式x²ー3x＋1＝0

（4）√15の小数部分をaとするとき、a²＋6aの値を求めよ。

（8）連続する4つの整数のうち、1つの数を除いた3つの整数の和は2021である。①、②の問いに答えよ。

①　連続する4つの整数のうち、最も小さい数をaとするとき、最も大きい数をaを用いて表せ。

②　除いた数を求めよ。

（1）①　【正答　-7】

両方とも負の数なので絶対値の足し算になる

（1）②　【正答　-81】

-3²×9＝-9×9＝-81

（1）③　【正答　12a】

=(48a³b²)÷4a²b²

（1）④　【正答　11x-44】

=x²＋3xー28ー(x²ー8x＋16)＝11xー44

（2）　【正答　x=-1, y=1】

3x+4y=1

8x-4y=-12

よりx=-1

-3+4y=1となるので

y=1

（3）　【正答　x=(3±√5)/2】

（4）　【正答　6】

3<√15<4よりa=√15-3

a²+6a=a(a+6)=(√15-3)(√15+3)=15-9=6

（5）　【正答　ア、エ】

ア：Aの相対度数・・・5/30 Bの相対度数・・・5/73（相対度数は小数で表すが、比較のためにここでは分数としている）　より正しい

イ：A・・・5人　B・・・5人　より正しくない

ウ：A・・・7.5時間　B・・・7.5時間　より正しくない

エ：Bの7時間未満は37人。37/73より半分を超えるので正しい

（6）　【正答　ウ】

頭の中で展開図を組み立てて実際に長さの比較をするのが適当か。

PA<PB=PC<PD

（7）　【正答】

（8）①　【正答　a+3】

連続する4つの整数とは具体的には1,2,3,4や103,104,105,106とか。

一番小さい数字をaとすれば一番大きい数はa+3であらわされる。

（8）②　【正答　673】

(iv)a+3を除くときを考えると、

(ii)a+1を除くとき

3a=2016

a=672となる。

除いた数はa+1なので673が本問の答え

花子さんと太郎さんは、ある博物館で入館料の割引キャンペーンが行われていることを知り、それぞれ何人かのグループで訪れる計画を立てている。次の【　　】内は、博物館の入館料と、花子さんと太郎さんのそれぞれの計画をまとめたものである。各問いに答えよ。

（1）次の□内は、グループの入館料の合計金額に関する花子さんと太郎さんの会話である。この会話を読んで、①～③の問いに答えよ。

　花子：私のグループの場合、入館料の合計金額は【（あ）】円だね。
　太郎：私のグループの場合、月末割引の日に訪れる予定だから、特別割引の日に訪れるよりも入館料の合計金額は【（い）】円高くなるよ。
　花子：私のグループが月末割引の日に訪れるとしても、入館料の合計金額は、特別割引の日に訪れるより高くなるよ。
　太郎：特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなることはあるのかな。
　花子：大人ｘ人、子どもｙ人のグループで訪れるとして、入館料の合計金額を式に表して考えてみようよ。

①　【（あ）】、【（い）】に当てはまる数を書け。

②　2人は、特別割引について考えている中で、ｘとｙの大小関係により、グループの入館料の合計金額を表す式が異なることに気づいた。ｘ＜ｙであるとき、特別割引の日に訪れる場合のグループの入館料の合計金額をｘ、ｙを用いて表せ。

③　2人は、グループの入館料の合計金額について、次の【　　】内のようにまとめた。【（う）】に当てはまる数を書け。また（X）、（Ｙ）に当てはまる語句の組み合わせを、後のア～エから1つ選び、その記号を書け。

　大人の人数より子どもの人数の方が多い場合、2種類の割引でグループの入館料の合計金額が等しくなるのは、子どもの人数が大人の人数の【（う）】倍のときである。このときより、大人の人数が1人（Ｘ）か、子どもの人数が1人（Ｙ）と、特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなる。

ア　Ｘ　増える　Ｙ　増える

イ　Ｘ　増える　Ｙ　減る

ウ　Ｘ　減る　Ｙ　増える

エ　Ｘ　減る　Ｙ　減る

（2）特別割引の日に入館する子どもには、スクラッチカードが配られ、記念品として「クリアファイル」か「ポストカード」のいずれかが必ずプレゼントされる。次の【　　】内は、スクラッチカードとその説明である。花子さんのグループの子ども3人のうち、少なくとも1人は「クリアファイル」がプレゼントされる確率を求めよ。

（1）①　【正答　あ:1200 い:200】

あ：大人が二人なので子供二人が無料になる。

500×2+200×1=1200

い：特別割引では500×3+200×2=1900

月末割引では450×3+150×5=2100

差額は200円である

（1）②　【正答　300x+200y】

x<yのとき子供料金はy-x人分であるから

500x+200(y-x)=300x+200y

（1）③　【正答　3、ウ】

特別割引では300x+200y

月末割引では450x+150y

これらが等しくなるので300x+200y=450x+150y

これを解いて3x=y

x:y=1:3のときに等式が成立。すなわち子供の人数が大人の3倍の時。

また、大人が１人増えると、特別割引では大人が＋500円、子供が－200円、トータルで＋300円。

月末割引では＋450円。

すなわち大人の人数が増えるほど特別割引の方が安くなる。

子供が１人増えると、特別割引では＋200円、月末料金では＋150円。

子供の人数が増えるほど、月末料金の方が安くなる。

（2）　【正答　19/27】

少なくとも一人はAを選ぶという事象は全体から三人ともBを選ぶ事象を除けばよいので

1-2/3×2/3×2/3=19/27

（1）①　【正答　イ】

aの値が大きくなるほどグラフの開きは小さくなる

（1）②　【正答　ア】

グラフの開きが小さくなるほどｘ軸方向は短くなるが、ｙ軸方向は長くなる。

傾きが大きくなるほど長くなる。

（2）　【正答　1/2】

x=2で最大値y=2 (2,2)を通る。

y=ax²に代入してa=1/2

（3）①　【正答　y=2x+4】

y=2x²に代入。A（-1,2）→（2,8）

右に３、上に６だから傾きは２。

Ａから右に１、上に２移動して切片は４。

y=2x+4

（3）②　【正答　-2/3】

Ｃはｙ＝４ｘ＋４とｙ＝－２ｘの交点だから、

４ｘ＋４＝－２ｘ

ｘ＝－２/３

（1）　【正答　円周角は等しいので∠ACD=∠EBD

対頂角は等しいので∠ADC=∠EDB

二組の角がそれぞれひとしいので△ACD∽△EBD】

（2）　【正答　90-a】

∠ＣＢＥを∠OＢＥ（=×）と∠OＢC（=●）の二つに分けて考える。

半径よりＯＢ＝ＯＣ、△ＯＢＣは二等辺で∠ＯＣＢ＝●

弧ＡＥに対する円周角より、∠ＡＣＥ＝×

直径に対する円周角より、∠ＡＣＢ＝90°

したがって、∠ＯＣＤ＝90－（●＋×）＝90－ａ°

（3）　【正答　5√3/6】

ＯＢ＝５÷２＝５/２ｃｍ

直角三角形ＯＢＨの辺の比は１：２：√３でＨはＥＢの中点だから、

ＥＢ＝５/２×√３/２×２＝５√３/２ｃｍ

△ＡＣＤ∽△ＥＢＤで、ＡＣ：ＥＢ＝ＡＤ：ＥＤ

＝３：５√３/２＝６：５√３＝１：５√３/６

よって、ＤＥの長さはＡＤの長さの５√３/６倍。

（4）　【正答　42/25】

ＣからＡＢに垂線ＣＨを引くと、△ＣＨＡも３：４：５の直角三角形。

ＣＡ＝⑤とすると、ＡＨ＝③

△ＡＣＤは二等辺三角形で、ＣＨを対称の軸とするとＤＨ＝ＡＨ＝③

ＡＤ＝３×⑥/⑤＝18/５ｃｍ

ＤＢ＝５－18/５＝７/５ｃｍ

ＣＤ：ＡＤ：ＤＢ

＝３：18/５：７/５

＝⑮：⑱：⑦

△ＡＣＤ∽△ＥＢＤより、ＤＥ＝⑱×⑦/⑮＝〇42/５

ＣＤ：ＤＥ＝⑮：〇42/５＝75：42＝25：14

したがって、△ＯＥＢの面積は、６×14/25×１/２＝42/25㎠

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