2021年度【令和3年度】奈良県公立高校入試(数学)過去問題解説

【奈良県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験:数学の解説

奈良県の2022年3月実施の令和4年度(2022年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。

難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

 

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大問1

問題文

次の各問い答えよ。

(1)次の①~④の計算せよ。

 ① 3-7

 ② 4(x+2)+2(x-3)

 ③ 12xy²÷4x²×3xy

 ④ (x+2)(x+8)ー(x+4)(xー4)

 

(2)2次方程式 x²-6x+2=0  を解け。

 

(3)x=√2+3 のとき, x²-6x+9  の値を求めよ。

 

(4)yはxの2乗に比例し,x=2のときy=-8である。yをxの式で表せ。

 

(5)右の表は、ある学級の生徒40人の通学時間を度数分布表に整理したものである。

中央値(メジアン)が含まれる階級の相対度数を求めよ。

 

 

(6)図1のように、底面の直径と高さが等しい円柱の中に、直径が円柱の高さと等しい球が入っている。このとき、球の体積は円柱の体積がの何倍か。

 

(7)図2のようにな正方形ABCDがあり、点Pが頂点Aの位置にある。

2つのさいころを同時に1回投げて、出た目の数の和を同じ数だけ、点Pは頂点B、C、D、A、B、…の順に各頂点を反対時計回りに1つずつ移動する。例えば、2つのさいころの出た目の数の和が5のとき、点Pは頂点Bの位置に移動する。

2つのさいころを同時に1回投げたとき、点Pが頂点Dの位置に移動する確率を求めよ。

 

(8)図3のように線分ABと点Cがある。線分AB上にあり、∠APC=45°となる点Pを、定規をコンパスをつって解答欄の枠内に作図せよ。なお、作図に使った線は消さずに残しておくこと。

解答・解説

(1)① 【正答 -4】

 

(1)② 【正答 6x+2】

=4x+8+2x-6

=6x+2

 

(1)③ 【正答 9xy²】

 

(1)④ 【正答 10x+32】

=x²+10x+16-x²+16

=10x+32

 

(2) 【正答 x=3±√7】

 

二次方程式の解の公式に代入して、

 x=[-(-6)±√{(-6)²-4×1×2}]/ (2×1)

   =(6±√28) / 2

   =3±√7

 

(3) 【正答 2】

 =(√2+3)²-6(√2+3)+9

=2+6√2+9ー6√2-18+9

=2

 

(4) 【正答 y=-2x²】

 

yはxの2乗に比例するので、求める式の形は y=ax² ー①となる。

①にx=2、y=-8を代入して、

-8=a×2² 

 a=-2

よって、 y=-2x²

 

(5) 【正答 0.15】

 

全体で40人いるので、中央値は20と21番目の間の数値となる。

中央値は20~25の階級に含まれる。この階級の相対度数は、

6÷40=0.15

 

(6) 【正答 2/3 倍】

円柱の底面の半径をaとおく。底面の直径と高さが等しいので、円柱の高さは2a

よって、この円柱の体積は、

a²×π×2a=2πa³ ー①

また、球の直径は円柱の高さと等しいので、球の半径はaと表せる。

よって、球の体積は、

4/3×π×a³=4πa³/3 ー②

①、②より、

2πa³÷4πa³/3=2/3

 

(7) 【正答 5/18】

頂点Dの位置に移動するには、サイコロの目の和が3、7、11のいずれかになる必要がある。

サイコロの目の出方は、6×6=36通り

3になる組み合わせは、(1、2)、(2、1) の2通り。

7になる組み合わせは、(1、6)、(2、5)、(3、4) 、(4、3) 、(5、2) 、(6、1) の6通り。

11になる組み合わせは、(5、6)、(6、5) の2通り。

よって、求める確率は、

(2+6+2)/36=10/36=5/18

 

(8) 【正答】

 

大問2

問題文

図1のように、深さ50㎝の直応対の容器と給水管A、B、Cがある。この容器が空の状態から、給水管を使って6分間水を入れる。

この容器では、給水管A、B、Cを使うと、それぞれ毎分12㎝、毎分6㎝、毎分2㎝の割合で水面が高くなる。ただし、給水管は同時に複数使わないものとする。各問いに答えよ。

 

(1)給水管をA、Bの順位使って水を入れる。次の▭内は、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが50㎝になる場合の給水管A、Bの使用時間の求め方について、太郎さんと花子さんがそれぞれ考えたものである。①、②の問いに答えよ。

 

① 【(あ)】に当てはまる式を書け。

 

② 【(い)】、【(う)】に当てはまる語句の組み合わせを、次のア~エから1る選び、その記号を書け。

 

 【(い)】水面が1㎝高くなるのにかかる時間 【(う)】給水管Aの使用時間

 【(い)】水面が1㎝高くなるのにかかる時間 【(う)】給水管Bの使用時間

 【(い)】1分あたりに高くなる水面の高さ  【(う)】給水管Aの使用時間

 【(い)】1分あたりに高くなる水面の高さ  【(う)】給水管Bの使用時間

 

(2)給水管をA、Bの順、またはA、Cの順に使って水を入れる。次の▭内は、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝になる場合について、図2をもとに考えた太郎さんと花子さんの会話である。①、②の問いに答えよ。

 

 太郎:容器の底から水面までの高さを50㎝から45㎝に変更して水を入れる場合、グラフを使って考えると、どうすればいいか。

 花子:給水管をA、Bの順に使って水を入れ、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝なることを考えるには、図2に、(え)直線を1本かき加えるといいよ。

 太郎:直線1本書き加えることで、視覚的に考えることができるね。次に、給水管をA、Cの順に使って水を入れた場合、グラフを使って考えると、どうすればいいのかな。

 花子:給水管A、Bの順に使う場合で考えたときにと同じように、給水管をA、Cの順に使って水を入れ、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝になることを考えるには、図2に、(お)直線を1本書き加えるといいよ。

 

① 下線部(え)はどのような直線か。「直線m」の語を用いて簡潔に説明せよ。

② 次のア~エの中に、下線部(お)を適切に表しているグラフが1つある。そのグラフを、ア~エから1つ選び、その記号を書け。

なお、-------線は、図2の直線l、mを示している。

 

図1のように、深さ50㎝の直応対の容器と給水管A、B、Cがある。この容器が空の状態から、給水管を使って6分間水を入れる。

この容器では、給水管A、B、Cを使うと、それぞれ毎分12㎝、毎分6㎝、毎分2㎝の割合で水面が高くなる。ただし、給水管は同時に複数使わないものとする。各問いに答えよ。

 

(1)給水管をA、Bの順位使って水を入れる。次の▭内は、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが50㎝になる場合の給水管A、Bの使用時間の求め方について、太郎さんと花子さんがそれぞれ考えたものである。①、②の問いに答えよ。


解答・解説

(1)① 【正答 12a+6b】

 

(1)② 【正答 ウ】

傾きは、(yの増加量)/(xの増加量)で求めることができる。

 

 

(2)① 【正答 (例)直線mをy軸の負の方向に5だけ平行移動した直線】

(1)の問題文の▭の花子さんの考えに従って、直線を引く。

容器の高さが、50㎝から5㎝だけ低くなっているので、書き加える直線も5だけ下げる。

 

(2)② 【正答 エ】

水を入れ始めてから、6分後に45㎝になるように線をかき足す。

 

(3)  【正答 4分12秒後】

給水管Bを用いて、水を1分間加えると、6㎝ためることができる。

給水管A、Cを用いて、5分間で残り42㎝水をためることを考えればよい。

(1)の問題文の▭の太郎さんの考えを使い求める。

給水管Aの使用時間をa分、給水管Cの使用時間をc分とすると、

 a+c=5

 12a+2c=42

これを解くと、a=3.2分=3分12秒

給水管Bを入れ始めから、給水管をCに変更するまでの時間なので、

1分+3分12秒=4分12秒

 

 

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大問3

問題文

右の図で、曲線は関数 y=6/x のグラフである。2点A、Bの座標はそれぞれ(-6、-1)、(-3、-5)である。点Cは、曲線上を動く点であり、点Dはx軸上を動く点である。2点C、Dのx座標はどちらも正の数である。原点をOとして、各問いに答えよ。

 

(1)点Cのx座標が1であるとき、点Cのy座標を求めよ。

 

 

(2)2点C、Dが、OC=CDを保ちながら動くとき、点Cのx座標が大きくなるにつれて、△OCDの面積の値はどのようになるか。次のア~オのうち、正しいものを1つ選び、その記号を書け。

 

ア 大きくなる。  イ 大きくなってから小さくなる。

ウ 小さくなる。  エ 小さくなってから大きくなる。

オ 一定である。

 

(3)△OABの面積を△OBDの面積が等しくなるように点Dをとるとき、点Dのx座標を求めよ。

 

(4)四角形ABCDが平行四辺形になるように2点C、Dをとるとき、2点B、Dを通る直線の式を求めよ。

 

解答・解説

(1) 【正答 6】

y=6/xにx=1を代入すればいいので、

y=6

 

(2) 【正答 オ】

点Cの座標は、(x,6/x)

OC=CDより、△OCDは常に二等辺三角形になるので、

点Dの座標は、(2x,0)

よって、△OCDの面積は、

2x×6/x×1/2=6

面積の値は常に一定になる。

 

(3)①【正答 27/5】

まず、△OABの面積を求める。

y軸と平行で点Aに接するような線lをひく。

x軸と平行で点Bに接するような線mをひく。

直線lとx軸が交わる点をE、直線lと直線mが交わる点をF、直線mとy軸が交わる点をGとする。

 

それぞれの座標は、

E(-6,0)、F(-6,-5)、G(0,-5)

となる。

△OAB=四角形OEFG-△OEA-△ABF-△OBG

    ={|−6|×|−5|}-{|−6|×|−1|×1/2}-{|(−5-(−1))|×|(−6-(−3))|×1/2}-{|−3|×|−5|×1/2}

    =30-3-6-15/2

    =27/2

 

点Dの座標を(a,0)とおく。

△OBDの面積をaを使って表すと、

a×|−6|×1/2

これが、27/2と等しいので、

27/2=a×|−5|×1/2

   a=27/5

 

(3)② 【正答 y=2x/3-3】

 線分ABの傾きは、

(-6、-1)、(-3、-5)

x軸方向の増加量は|(−6)-(−3)|=3 ー①

y軸方向の増加量は|(−1)-(−5)|=4 ー②

 

四角形ABCDは平行四辺形なので、

線分CDも同じような増加量になる。

C、Dの座標をそれぞれ

C(t,6/t)、D(s,0)とおくと、①、②より

(ただし、t>0、s>0、t>s)

|t-s|=3

|6/t-0|=4

⇔t=3/2

 s=9/2

 

よって、BDをとおる直線の式は

直線の式に、B(-3、-5)、D(9/2、0)を代入して

-5=-3a+b

 0=9/2a+b

この2つの連立方程式を解いて、

a=2/3

b=-3

求める直線は

y=2x/3-3

 

 

大問4

問題文

右の図のように、円周上に4点A、B、C、Dがあり、AB=ADである。

線分ACと線分BDとの交点をEとする。また、点Aを通り線分BCと平行な直線と、線分BD、線分CDとの交点をそれぞれF、Gとする。各問いに答えよ。

 

(1)∠ABD=a°とするとき、∠BCDの大きさをaを用いて表せ。

 

(2)△AEF∽△CEBを証明せよ。

 

(3)AB=6㎝、BC=4㎝、AC=8㎝のとき、①、②の問いに答えよ。

①△ABEの面積は△BCEの面積は何倍か。

②線分AGの長さを求めよ。

解答・解説

(1)  【正答 2a°】

△ABDはAB=ADの二等辺三角形なので、

∠ABD=∠ADB=a

また、同じ弧に対する円周角は等しいので、

∠ABD=∠ACD(=a) ー①

∠ADB=∠ACB(=a) ー②

①、②より、

∠BCD=∠ACD+∠ACB

    =2a

 

(2) 【正答 (例)

△AEFと△CEBにおいて

平行線の錯角は等しいから、AG//BCより

 ∠EAF=∠ECB  ー①

対頂角は等しいから

 ∠AEF=∠CEB  -②

①、②より

2組の角がそれぞれ等しいから

 △AEF∽△CEB  】

 

(3)① 【正答 9/7】

△ABCと△AEBにおいて、

(1)より、

∠ABD=∠ACB

∠BAC=∠EAB

なので、 △ABC∽△AEB

AC:AB=4:3より、

△ABC:△AEB=4:3

面積比は相似比の2乗なので、

△ABC:△AEB=16:9

△BCE=△ABC-△AEB=7

よって△BCE、△AEBの面積比は

△BCE:△AEB=7:9

よって、9/7倍

 

(3)② 【正答 64/11】

全ての角が等しいので、

△BCE∽△ADE

BC:AD=4:6より、

△BCE、△ADEの面積比は

 

△BCE:△ADE=4:9

より、△ADE=7×9/4=63/4

 

また、

AE:EC=9:7

より、

△ABE:△BCE=AE:EC=△ADE:△CDE=9:7

△CDE=63/4×9/7=49/4

 

△BCD:△ADC=7+49/4:63/4+49/4

       =112/4:77/4

       =16:11

よって、

AGの長さは

4×16/11=64/11

 

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