【奈良県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

奈良県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。
難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。

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大問1

問題文

次の各問い答えよ。
（1）次の①～④の計算せよ。
　①　3－7
　②　4(x＋2)＋2(x－3)
　③　12xy²÷4x²×3xy
　④　(x＋2)(x＋8)ー(x＋4)(xー4)

（2）２次方程式 x²－6x＋2＝0 を解け。

（3）x＝√2＋3 のとき， x²－6x＋9 の値を求めよ。

（4）yはxの2乗に比例し，x＝2のときy＝－8である。yをxの式で表せ。

解答・解説

（1）①　【正答　－4】

（1）②　【正答　6x＋2】
＝4x＋8＋2x－6
＝6x＋2

（1）③　【正答　9xy²】

（1）④　【正答　10x＋32】
＝x²＋10x＋16－x²＋16
＝10x＋32

（2）　【正答　x＝3±√7】
二次方程式の解の公式に代入して、
x＝［－(－6)±√{(－6)²－4×1×2}］/ (2×1)
＝(6±√28) / 2
＝3±√7

（3）　【正答　2】
＝(√2＋3)²－6(√2＋3)＋9
＝2＋6√2＋9ー6√2－18＋9
＝2

（4）　【正答　y＝－2x²】
yはxの2乗に比例するので、求める式の形は y＝ax² ー①となる。
①にx＝2、y＝－8を代入して、
－8＝a×2²
　a＝－2
よって、 y＝－2x²

（5）　【正答　0.15】
全体で40人いるので、中央値は20と21番目の間の数値となる。
中央値は20～25の階級に含まれる。この階級の相対度数は、
6÷40＝0.15

（6）　【正答　2/3　倍】
円柱の底面の半径をaとおく。底面の直径と高さが等しいので、円柱の高さは2a
よって、この円柱の体積は、
a²×π×2a＝2πa³　ー①
また、球の直径は円柱の高さと等しいので、球の半径はaと表せる。
よって、球の体積は、
4/3×π×a³＝4πa³/3　ー②
①、②より、
2πa³÷4πa³/3＝2/3

（7）　【正答　5/18】
頂点Ｄの位置に移動するには、サイコロの目の和が３、７、１１のいずれかになる必要がある。
サイコロの目の出方は、6×6＝36通り
3になる組み合わせは、(1、2)、(2、1) の2通り。
7になる組み合わせは、(1、6)、(2、5)、(3、4) 、(4、3) 、(5、2) 、(6、1) の6通り。
11になる組み合わせは、(5、6)、(6、5) の2通り。
よって、求める確率は、
(2＋6＋2)/36＝10/36＝5/18

（8）　【正答】

大問2

問題文

①　【（あ）】に当てはまる式を書け。

②　【（い）】、【（う）】に当てはまる語句の組み合わせを、次のア～エから1る選び、その記号を書け。
ア　【（い）】水面が1㎝高くなるのにかかる時間　【（う）】給水管Ａの使用時間
イ　【（い）】水面が1㎝高くなるのにかかる時間　【（う）】給水管Ｂの使用時間
ウ　【（い）】1分あたりに高くなる水面の高さ　　【（う）】給水管Ａの使用時間
エ　【（い）】1分あたりに高くなる水面の高さ　　【（う）】給水管Ｂの使用時間

（2）給水管をＡ、Ｂの順、またはＡ、Ｃの順に使って水を入れる。次の▭内は、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝になる場合について、図2をもとに考えた太郎さんと花子さんの会話である。①、②の問いに答えよ。

太郎：容器の底から水面までの高さを50㎝から45㎝に変更して水を入れる場合、グラフを使って考えると、どうすればいいか。
花子：給水管をＡ、Ｂの順に使って水を入れ、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝なることを考えるには、図2に、(え)直線を1本かき加えるといいよ。
太郎：直線1本書き加えることで、視覚的に考えることができるね。次に、給水管をＡ、Ｃの順に使って水を入れた場合、グラフを使って考えると、どうすればいいのかな。
花子：給水管Ａ、Ｂの順に使う場合で考えたときにと同じように、給水管をＡ、Ｃの順に使って水を入れ、水を入れ始めてから6分後に容器の底から水面までの高さが45㎝になることを考えるには、図2に、(お)直線を1本書き加えるといいよ。

① 下線部(え)はどのような直線か。「直線ｍ」の語を用いて簡潔に説明せよ。
② 次のア～エの中に、下線部(お)を適切に表しているグラフが1つある。そのグラフを、ア～エから1つ選び、その記号を書け。
なお、——-線は、図2の直線ｌ、ｍを示している。

解答・解説

（1）①　【正答　12a＋6b】

（1）②　【正答　ウ】
傾きは、(yの増加量)／(xの増加量)で求めることができる。

（2）①　【正答　(例)直線mをy軸の負の方向に5だけ平行移動した直線】

(1)の問題文の▭の花子さんの考えに従って、直線を引く。
容器の高さが、50㎝から5㎝だけ低くなっているので、書き加える直線も5だけ下げる。

（2）②　【正答　エ】
水を入れ始めてから、6分後に45㎝になるように線をかき足す。

（3）　　【正答　4分12秒後】
給水管Ｂを用いて、水を1分間加えると、6㎝ためることができる。
給水管A、Cを用いて、5分間で残り42㎝水をためることを考えればよい。
(1)の問題文の▭の太郎さんの考えを使い求める。
給水管Ａの使用時間をa分、給水管Ｃの使用時間をc分とすると、
　a＋c＝5
　12a＋2c＝42
これを解くと、a＝3.2分＝3分12秒
給水管Ｂを入れ始めから、給水管をＣに変更するまでの時間なので、
1分＋3分12秒＝4分12秒

大問3

問題文

（1）点Ｃのx座標が１であるとき、点Ｃのｙ座標を求めよ。

（2）2点Ｃ、Ｄが、ＯＣ＝ＣＤを保ちながら動くとき、点Ｃのｘ座標が大きくなるにつれて、△ＯＣＤの面積の値はどのようになるか。次のア～オのうち、正しいものを1つ選び、その記号を書け。
ア　大きくなる。　　イ　大きくなってから小さくなる。
ウ　小さくなる。　　エ　小さくなってから大きくなる。
オ　一定である。

（3）△ＯＡＢの面積を△ＯＢＤの面積が等しくなるように点Ｄをとるとき、点Ｄのｘ座標を求めよ。

（4）四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になるように2点Ｃ、Ｄをとるとき、2点Ｂ、Ｄを通る直線の式を求めよ。

解答・解説

（1）　【正答　6】
y＝6/xにx＝1を代入すればいいので、
y＝6

（2）　【正答　オ】
点Cの座標は、(x，6/x)
ＯＣ＝ＣＤより、△ＯＣＤは常に二等辺三角形になるので、
点Ｄの座標は、(2x，0)
よって、△ＯＣＤの面積は、
2x×6/x×1/2＝6
面積の値は常に一定になる。

（3）①【正答　27/5】
まず、△ＯＡＢの面積を求める。
y軸と平行で点Aに接するような線lをひく。
x軸と平行で点Bに接するような線mをひく。
直線lとx軸が交わる点をE、直線lと直線mが交わる点をF、直線mとy軸が交わる点をGとする。
それぞれの座標は、
E(－6，0)、F(－6，－5)、G(0，－5)
となる。
△ＯＡＢ＝四角形OEFG－△OEA－△ABF－△OBG
　　　　＝{｜−6｜×｜−5｜}－{｜−6｜×｜−1｜×1/2}－{｜(−5－(−1))｜×｜(−6－(−3))｜×1/2}－{｜−3｜×｜−5｜×1/2}
　　　　＝30－3－6－15/2
　　　　＝27/2
点Dの座標を(a,0)とおく。
△ＯＢＤの面積をaを使って表すと、
a×｜−6｜×1/2
これが、27/2と等しいので、
27/2＝a×｜−5｜×1/2
　  a＝27/5

（3）②　【正答　y＝2x/3－3】
 線分ＡＢの傾きは、
(－6、－1)、(－3、－5)
x軸方向の増加量は｜(−6)－(−3)｜＝3　ー①
y軸方向の増加量は｜(−1)－(−5)｜＝4　ー②
四角形ABCDは平行四辺形なので、
線分CDも同じような増加量になる。
C、Dの座標をそれぞれ
C(t，6/t)、D(s，0)とおくと、①、②より
（ただし、t＞0、s＞0、t＞s）
｜t－s｜＝3
｜6/t－0｜＝4
⇔t＝3/2
　s＝9/2
よって、ＢＤをとおる直線の式は
直線の式に、B(－3、－5)、D(9/2、0)を代入して
－5＝－3a＋b
　0＝9/2a＋b
この2つの連立方程式を解いて、
a＝2/3
b＝－3
求める直線は
y＝2x/3－3

大問4

問題文

（1）∠ＡＢＤ＝a°とするとき、∠ＢＣＤの大きさをａを用いて表せ。

（2）△ＡＥＦ∽△ＣＥＢを証明せよ。

（3）ＡＢ＝６㎝、ＢＣ＝４㎝、ＡＣ＝８㎝のとき、①、②の問いに答えよ。
①△ＡＢＥの面積は△ＢＣＥの面積は何倍か。
②線分ＡＧの長さを求めよ。

解答・解説

（1）　　【正答　2a°】
△ＡＢＤはＡＢ＝ＡＤの二等辺三角形なので、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ＝a
また、同じ弧に対する円周角は等しいので、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ（＝a）　ー①
∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ（＝a）　ー②
①、②より、
∠ＢＣＤ＝∠ＡＣＤ＋∠ＡＣＢ
　　　　＝2a

（2）　【正答　(例)
△AEFと△CEBにおいて
平行線の錯角は等しいから、ＡＧ//ＢＣより
　∠ＥＡＦ＝∠ＥＣＢ　　ー①
対頂角は等しいから
　∠ＡＥＦ＝∠ＣＥＢ　　－②
①、②より
２組の角がそれぞれ等しいから
　△ＡＥＦ∽△ＣＥＢ　　】

（3）①　【正答　9/7】
△ABCと△AEBにおいて、
（1）より、
∠ABD＝∠ACB
∠BAC＝∠EAB
なので、 △ABC∽△AEB
AC：AB＝4：3より、
△ABC：△AEB＝4：3
面積比は相似比の2乗なので、
△ABC：△AEB＝16：9
△BCE＝△ABC－△AEB＝7
よって△BCE、△AEBの面積比は
△BCE：△AEB＝7：9
よって、9/7倍

（3）②　【正答　64/11】
全ての角が等しいので、
△BCE∽△ADE
BC：AD＝4：6より、
△BCE、△ADEの面積比は
△BCE：△ADE＝4：9
より、△ADE＝7×9/4＝63/4
また、
AE：EC＝9：7
より、
△ABE：△BCE＝AE：EC＝△ADE：△CDE＝9：7
△CDE＝63/4×9/7＝49/4
△BCD：△ADC＝7＋49/4：63/4＋49/4
　　　　　　　＝112/4：77/4
　　　　　　　＝16：11
よって、
AGの長さは
4×16/11＝64/11

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