【大阪府】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

大阪府の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

大阪府の数学問題は、レベル別にＡＢＣの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。

難易度は、Ａが易、Ｂがやや難、Ｃが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。

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【数学A】大問1

問７：資料の度数を求める問題です。

【・答え　ｘ＝８，ｙ＝５】

資料と問題文から方程式を立てて、ｘとｙの値を求めます。

資料からは、度数が20人となっているので、ｘとｙの合計は２０－（２＋４＋１）＝１３より、

ｘ＋ｙ＝１３　①

問題文から「記録が５５回以上の部員の人数が、水泳部員20人の３０％」とあるので、

５５回以上の部員がｙ＋１（人）

20人の３０％は、２０×３０/１００＝６より、

ｙ＋１＝６

→ｙ＝５

これを①に代入すると、

ｘ＋５＝１３

→ｘ＝８

⑻ 　二つの箱 A，B がある。箱 A には自然数の書いてある 5 枚のカード 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 が

入っており，箱 B には奇数の書いてある 3 枚のカード 1 ，3 ，5 が入っている。A，B それぞれ

の箱から同時にカードを 1 枚ずつ取り出すとき，取り出した 2 枚のカードに書いてある数の和が

 4 の倍数である確率はいくらですか。A，B それぞれの箱において，どのカードが取り出されること

も同様に確からしいものとして答えなさい。

問８：ひいた2枚のカードの和が4の倍数になる確率を求める問題です。

【・答え　４/１５】

２枚のカードの和が４の倍数になる組み合わせは、

（A,B）＝（１，３）（３，１）（３，５）（５，３）

４通りである。

一方、全てのカードの組み合わせ方法は、Aが５枚、Bが３枚あるので、

5×３＝１５

の１５通りであるから、その確率は、

４/１５

問９：二次関数について傾きを求める問題です。

【・答え　３/１６】

ｙ＝aｘ²にAの座標（ー４、３）を代入すると、

３＝a×（ー４）²

→３＝１６a

→a＝３/１６

問１０：回転移動させた図形と、元の図形の間の角度を求める問題です。

【・答え　４０度】

三角形DBEは点Bを軸に反時計周りに回転させるので、

∠EBC＝100度である。

また、三角形ABCは正三角形なので、

∠ABC＝６０度である。

以上の事から、∠EBDは

∠EBD＝∠EBCー∠ABC

　　　＝１００－６０＝４０

∠EBD＝４０度

②　円周率をπとして，立体Ｐの体積を求めなさい。

問１１：直方体の展開図について、見取り図・体積を求める問題です。

【・答え　①：エ　②：５４π】

②：辺BCからなる面を底面として計算する。半径は３cmなので、面積は３×３×π＝９πｃｍ²

辺ＡＢを高さとすると、円柱の体積は６×９π＝５４πｃｍ³である。

問1：ｘとｙの関係を表した表の空欄を埋める問題です。

 　次の表は，x と y との関係を示した表の一部である。表中のア，イに当てはまる数をそれぞれ 書きなさい。

【・答え　ア：８５　イ：２１０】

ｘ＝４のときは、3コ分の隙間（３×２５＝７５cm）と最初の間隔（１０cm）があるので、線分APの長さは

７５＋１０＝８５（cm）である。

ｘ＝９のときは、８コ分の隙間（８×２５＝２００cm）と最初の間隔（１０cm）があるので、線分APの長さは

２００＋１０＝２１０（cm）である。

問2：ｙをｘの式で表す問題です。

x を自然数として，y を x の式で表しなさい。

【・答え　２５ｘー１５】

問1より、線分APの長さは本数に応じて増えていく長さと、本数によらず変わらない（最初の間隔）長さの足し合わせであるとわかる。したがって、

（線分APの長さ）＝（花同士の間隔）×（花の本数ー１）＋（最初の間隔）

と表せる。これを文字式に置き換えると

ｙ＝２５（ｘー１）＋１０

→ｙ＝２５ｘ－１５

となる。

問3：ｙ＝５６０となるときのｘの値を求める問題です。

y ＝ 560 となるときの x の値を求めなさい。

【・答え　２３】

問2で求めた式にｙ＝５６０を代入すれば求められる。

ｙ＝２５ｘー１５　→　５６０＝２５ｘー１５

２５ｘ＝５７５

ｘ＝２３

問1：四角形DBCEの内角∠DBCをa°としたときの四角形DBCEの内角∠BCEの大きさをaを使って表す問題です。

四角形 DBCE の内角∠DBC の大きさを a°とするとき，四角形 DBCE の内角∠BCE の大きさを a を用いて表しなさい。

【・答え　（１８０－a）度】

四角形DBCEは平行四辺形なので、

∠DBC＋∠BCE＝１８０°とあらわすことができるので、

∠BCE＝１８０°ー∠DBC　

→　∠BCE＝１８０°ーa°

問３：三角形FCEの面積を求める問題です。

FC ＝ 4 cm であるときの△FCE の面積を求めなさい。途中の式を含めた求め方も書くこと。

【・答え　３０/７】

まず、FDの長さを求める

問２より、△ABC∽△CFDなので、対応する辺の長さは比例している

　AB：BC＝CF：FD　

→７：５＝４：FD　→７FD＝5×４

→FD＝２０/７　①

次に、辺FEの長さを求める

四角形CBDEは平行四辺形なので、BC＝DEと①より、

BC＝DE　→　BC＝DF＋FE　→　５＝２０/７＋FE

→FE＝５－２０/７＝１５/７　②

最後に三角形FCＥの面積を求める

∠ＣＦＥ＝90度、ＦＣ＝４、②から三角形FCＥの面積は

１５/７×４×１/２＝３０/７

【数学B】大問1：小問集合

問９：５枚のカードから２枚引き、出た２枚の数を掛けて２で割ったものが奇数である確率を求める問題です。

　3 から 7 までの自然数が書いてある 5 枚のカード 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 が箱に入っている。

この箱から 2 枚のカードを同時に取り出し，取り出した 2 枚のカードに書いてある数の積を a とする

とき， a/2 の値が奇数である確率はいくらですか。どのカードが取り出されることも同様に確からしい

ものとして答えなさい

【・答え　３/１０】

取り出し方は

（３，４）、（３，５）、（３，６）、（３，７）、（４，５）、（４，６）、（４，７）、（５，６）、（５，７）、（６，７）の１０通り

この中で積を２で割った時奇数となるのは（３，６）、（５，６）、（６，７）の３通り。

よって、求める確率は３/１０

問１０：図を回転させてできた立体の体積を求める問題です。

【・答え　１９π】

図を三角形にしてから円錐の体積を出し、余分な円錐の体積を引くという方法で求める。

辺BAを点Aの方向に伸ばし、辺CDと交わる点を点Ｅとする。

三角形ＢＣＥからなる円錐の体積を求める。

線分ＤＥ（＝ｘcm）は、三角形ＥＡＤと三角形ＥＢＣが相似であるため、

ＥＤ：ＥＣ＝ＡＤ：ＢＣ

→　ｘ：ｘ＋３＝２：３

→　ｘ×３＝２×（ｘ＋３）

ｘ＝６となる

体積は、

（６＋３）×（３²×π）×１/３＝２７π

ここから、

三角形ＥＡＤからなる円錐の体積を引けばいいので、

２７πー６×（２²×π）×１/３

＝１９π

図Ⅰにおいて，「花の本数」が x のときの「線分 OP の長さ」を y cm とする。

①：ｘとｙの関係を表した表の空欄を埋める問題です。

【・答え　ア：８５　イ：２１０】

ｘ＝４のときは、3コ分の隙間（３×２５＝７５cm）と最初の間隔（１０cm）があるので、線分APの長さは

７５＋１０＝８５（cm）である。

ｘ＝９のときは、８コ分の隙間（８×２５＝２００cm）と最初の間隔（１０cm）があるので、線分APの長さは

２００＋１０＝２１０（cm）である。

②：ｙをｘの式で表す問題です。

【・答え　２５ｘー１５】

問1より、線分APの長さは本数に応じて増えていく長さと、本数によらず変わらない（最初の間隔）長さの足し合わせであるとわかる。したがって、

（線分APの長さ）＝（花同士の間隔）×（花の本数ー１）＋（最初の間隔）　　式１

と表せる。これを文字式に置き換えると

ｙ＝２５（ｘー１）＋１０

→ｙ＝２５ｘ－１５

となる。

③：ｙ＝５６０となるときのｘの値を求める問題です。

【・答え　２３】

問2で求めた式にｙ＝５６０を代入すれば求められる。

ｙ＝２５ｘー１５　→　５６０＝２５ｘー１５

２５ｘ＝５７５

ｘ＝２３

図 Ⅰ に お い て，n は 関 数 y ＝－ 27/x （ x ＜ 0 ）の グ ラ フ を 表 す。A は m 上 の 点 で あ り， そ のx 座標は 6 である。B は n 上の点であり，そのx 座標は － 3 である。ℓは，2 点 A，B を通る直線である。C は，ℓと y 軸との交点である。

①：yの変域を求める問題です。

次の文中の ㋐ ， ㋑ に入れるのに

適している数をそれぞれ書きなさい。

　関数 y ＝ 1/8 x²について，

x の 変 域 が －7 ≦ x ≦ 5 の と き のy の変域は ㋐ ≦ y ≦ ㋑である。

【・答え　㋐：０、㋑：４９/８】

㋐　ｘ＝０の時ｙは最小値を取るので、ｙ＝１/８×０²＝０

㋑　ｘ＝ー７の時ｙは最大値を取るので、ｙ＝１/８×(ー７)²＝４９/８

②：Ｂのyの座標を求める問題です。

B の y 座標を求めなさい。

【・答え　９】

ｙ＝ー２７/ｘにｘ＝ー３を代入して、

ｙ＝(ー２７)/(ー３)＝９

③：Ｃのyの座標を求める問題です。

C の y 座標を求めなさい。

【・答え　９】

点Aと点Bの座標から直線lの式を求めてから、点Cの座標を求める。

点Aのy座標はx=6を代入して、ｙ＝１/８×６²＝９/２

点A(６,９/２)、点B(ー３,９)より直線ⅼの傾きは

(９/２ー９)/(６－(ー３))＝ー１/２

より、直線ⅼの式は

点cのy座標をⅽとすると

ｙ＝ー１/２ⅹ＋ⅽ

点Ｂを通るので、点Ｂの座標を代入して、

９＝ー１/２×(ー３)＋ⅽ

→　ⅽ＝１５/２

問１：△ABF≡△CDGであることを証明する問題です。

 △ABF ≡ △CDG であることを証明しなさい。

△ABF、△CDGにおいて、

四角形ABCDが平行四辺形よりAB=CD　 ㋐

∠AFB=∠CGD=90°　㋑

AB//DCより

∠ABF=∠DCE　

△EDCはED=ECの二等辺三角形なので

∠CDG＝∠DCE(=∠ABF)　㋒

㋐、㋑、㋒より

１つの辺とその両端の∠が等しいので

△ABF≡△CDG

問２：△CEGの面積をa,bを使って表す問題です。

　四角形 ABCD の面積を a cm2， 四角形 AFED の面積を b cm2 とするとき，△CEG の面積を a，b

を用いて表しなさい。

【・答え　b-a】

四角形ABCD=a、四角形AFED=b

四角形AFED=四角形AFCD+三角形CDG+三角形CFG

四角形AFCD=四角形AFCD+三角形ABF

問１より△ABF≡△CDGなので、

四角形AFEDー四角形AFCD=三角形CFGとなるので、

b-a

図Ⅱにおいて，A と E とを結ぶ。H は，G を通り辺 FE に平行な直線と辺 DE との交点である。I は，H を通り線分 AE に平行な直線と辺 AD との交点である。

①：ねじれの位置にある辺を選択肢の中から選ぶ問題です。

次のア～オのうち，辺 AB とねじれの位置にある辺はどれですか。すべて選び，記号を○で囲みなさい。

　　　ア　辺 AD　　　イ　辺 CF　　　ウ　辺 DE

　　　エ　辺 DF　　 オ　辺 FE

【・答え　イ、エ、オ】

辺ABと交わらない、平行ではない辺を選ぶ。

②：線分DIの長さを求める問題です。

　②　線分 DI の長さを求めなさい。

【・答え　２４/７】

IH//AE、HG//EFより、

DI：IA=DH：HE=DG：GF=４：３

点Iは線分DIを４:３に分けているので、

DI=DA×４/(４＋３)＝６×４/７＝２４/７

問４：立体AGCJの体積を求める問題です。

【・答え　４０/３】

△AJCを底面として、体積を求める。

△ABC、△JBAにおいて

∠ABC=∠JBA(=90°)、∠CAB=∠AJBより、

２つの角が等しいので、△ABC∽△JBA

JBをxとおく

AB：JB＝CB：AB

→４：x＝６：４

→x＝８/3

よって、CJ＝６－８/3＝１０/3

△AJC＝１０/3×４×１/２＝２０/3

底面が△AJCの時、高さはAD=6となるので

２０/3×６×１/3＝４０/3

【数学C】大問1：小問集合

問８：Bさんの回数を周りとの差から求める問題です。

【・答え　48】

Bさんをx回とおいて、平均値を表すと

{(x+5)+x+(x-3)+(x-6)+(x+2)｝/5

=(5x-2)/5

これが47.6回になるので、

(5x-2)/5＝47.6

5x＝47.6×5＋2

x=48

問9：６枚のカードから２枚のカードを引き、条件にあう確率を求める問題です。

　表が白色で裏が黒色の円盤が 6 枚ある。それらが図のように，左 端 か ら 4 枚 目 の 円 盤 は 黒 色 の 面 が 上 を 向 き， 他 の 5 枚 の

円盤は白色の面が上を向いた状態で横一列に並んでいる。

 1 から 6 までの自然数が書いてある 6 枚のカード 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 が入った箱から2 枚のカードを同時に取り出し，その 2 枚のカードに書いてある数のうち小さい方の数を a，大きい方の数を b とする。 図の状態で並んだ 6 枚の円盤について， 左端から a 枚目の円盤と左端から b 枚目の円盤の表裏をそれぞれひっくり返すとき，上を向いている面の色が同じである円盤が 3 枚以上連続して並ぶ確率はいくらですか。どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。

【・答え　８/１５】

取り出した２枚カードの組み合わせは

(a,b)=(１，２)、(１，３)、(１，４)、(１，５)、(１，６)、(２，３)、(２，４)、(２，５)、(２，６)、(３，４)、(３，５)、(３，６)、(４，５)、(４，６)、(５，６)の１５通り。

この中で同じ色の円盤が三枚以上連続して並んでいる組み合わせは、

(１，４)、(２，３)、(２，４)、(３，４)、(３，５)、(４，５)、(４，６)、(５，６)の８通り

確率は８/１５

問9：√３００ー３nの値が偶数となる値を全て求める問題です。

　n を 2 けたの自然数とするとき， √300 － 3n の値が偶数となる n の値をすべて求めなさい。

【・答え　n＝５２、８８】

√３００ー３n＝√３(１００-n)　　nは二けたの自然数

100-nが３×a²(aは正の偶数)であれば、√３００ー３nの値が偶数となるので、

a=２のとき　

100-n＝３×２²＝１２　→　n＝８８

a=４のとき

100-n＝３×４²＝４８　→　n＝５２

a=６のとき　

100-n＝３×６²＝１０８　→　n＝ー８　となるので不適

n＝５２、８８

①：yの変域を求める問題です。

図Ⅰにおいて， A は m 上の点であり， その x 座標は－2 である。B は，A を通り x 軸に平行な直線とm との交点のうち A と異なる点である。C は，B を通り y 軸に平行な直線とℓとの交点である。

n は，2 点 A，C を通る直線である。

次の文中の ㋐ ， ㋑ に入れるのに適している数をそれぞれ書きなさい。

関数 y ＝ 3/8 ×x² について，

x の 変 域 が －3 ≦ x ≦ 1 の と き の

y の変域は ㋐ ≦ y ≦ ㋑

である。

【・答え　㋐：０、㋑：２７/８】

㋐　ｘ＝０の時ｙは最小値を取るので、ｙ＝３/８×０²＝０

㋑　ｘ＝ー３の時ｙは最大値を取るので、ｙ＝３/８×(ー３)²＝２７/８

②：直線nの式を求める問題です。

n の式を求めなさい。

【・答え　ｙ＝７/８x＋１３/４】

点Aと点Cをの座標を求め、直線nの式を求める。

ｙ＝３/８×x²にx＝ー２を代入し、ｙ＝３/８×（ー２）²＝３/２

点A（ー２、３/２）

点Bは点Aとｙ軸に対して線対称なので、点B（２、３/２）

点Bと点Cがx座標が同じなので、ｙ＝２x＋１にｘ＝２を代入して

ｙ＝２×２＋１＝５

点C（２、５）

点Aと点Cより直線nの傾きは

(５－３/２)/(２-(-２))＝７/８

点Cを通るので、切片をcと置くと、

５＝７/８×２＋ｃ

ｃ＝１３/４

ｙ＝７/８x＋１３/４

問２：関数Ｐの傾きａを求める問題です。

【・答え　ー５/１６】

点D,E,G,Fの座標を求め、線分EF,GFを比較して求める

 ｙ＝３/８×x²にy＝６を代入し、６＝３/８×x² →x＝４

点A（４，６）

より、点E（４，０）

点Fは点Eとx座標が同じであり、曲線p上にあるので

点E（４、１６a）

点Gは点Fとy座標が同じであり、曲線l上にあるので

１６a＝２×x＋１　→　x＝(１６aー１)/２

点G（(１６aー１)/２、１６a）

線分EFは０－１６a

線分GFは４－(１６aー１)/２　よって、

－１６a＋２＝４－(１６aー１)/２

→　a＝ー５/１６

△AEG ∽ △FCG であることを証明しなさい。

【・答え　】

△AEG , △FCGにおいて、

対頂角なので、∠AGE=∠FGC　①

△ACE=△BADより、∠CAE=∠ABD　②

AB=ACより、∠ACB=∠ABD　③

②、③から ∠CAE=∠ACBとなり、錯角が等しくなるので

AE//BFとなる。

平行線の錯角は等しいので、∠AEG＝∠FCG　④

①と④から２組の角が等しいので、△AEG ∽ △FCG

FA ＝ FB であり，BD ＝ 5 cm であるときの線分 GF の長さを求めなさい。

【・答え　９６/３５】

FA=FBより、△ABFは二等辺三角形となるので

∠BAF＝∠ABF　①

△ABCはAB=ACの二等辺三角形なので、

∠ABC（＝∠ABF）=∠ACB　②

①、②より△ABCと△FABは底角が等しいので

△ABC∽△FABとなる

FA=FB=ｘとすると

AB：BC＝FA：AB

→８：７=ｘ：８

→ｘ=６４/７

問１から△AEG ∽ △FCGなので

FG = yとおく

AE：AG＝FC：FG

→５：６４/７- y = ６４/７-７：y

→５y = (６４/７- y)(６４/７-７)

→(５＋１５/７)y = ６４/７×１５/７

→y = ９６/３５

 　△AFE の面積を S cm2 とするとき，四角形 GDBE の面積を S を用いて表しなさい。

【・答え　９S/4 】

△AEFと△AEGにおいて

面積比は、高さが等しく、底辺の比だけを考えればよいので

△AEF：△AEG = △ACB：△ABD = BC：BD = ８：６

→△AEG = S ×３/４　①

△AEGと△ABDにおいて

点E,Gなのではそれぞれ辺AB,ADの中点

AE：AB = １：２

面積比を考えると

△AEG：△ABD= １²：２²

→ △ABD = △AEG×４ ②

①、②より

 △ABD =  S ×３/４×４ = ３S

GDBE  =  △ABD - △AEG

              =  ３S -  S ×３/４

              =  S×９/４

　AB ＝ 12 cm であり，立体 A－BCD から立体 AHFG と立体 HBCI を取り除いてできる立体の体積が 70 cm3 であるときの，線分 HB の長さを求めなさい。

【・答え　(３＋√２１)/２　 】

辺HBの長さをxとする

A-BCDの体積を求める

(６×８÷２)×１２÷３ = ９６　①

G-AFHの体積を求める

高さを辺EG,底面を△AHF(底辺AＨ，高さFE)とすると

FE = CB÷２ = 4

EG = BD÷２ = 3

(（１２－ｘ）×４）÷２)×３÷３ = ２４－２ｘ　②

H-BCIの体積を求める

△ABDにおいてHI//ADより、

BH：BA = BI：BD

→ x：１２ =  BI：６

→ BI= x/２

(ｘ/２×８÷２)×x÷３ = ２x²/３　③

①、②、③より

９６- (２４－２ｘ＋２x²/３) = ７０

→２x²/３－２ｘ＋１２= ０

→x = (３±√２１)/２

BHはEBより小さくなければならないので、

０≦ x ≦６より

x = (３+√２１)/２

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