【滋賀県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

滋賀県の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。

受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。

また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

今年の滋賀県の数学は4つの大問から構成され、小問集合・図形が2つ・関数という構成でした。
難易度としては激難です。全国の中でも有数の難易度になっているかと思います。
唯一の救いは小問集合です。ここが簡単なので確実に得点を取っておきたいです。またその他の大問の（1）は必ず解けるようにしておくと良いと思います。

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次の（1）から（9）までの各問いに答えなさい。
（1）２×（－３）＋１を計算しなさい。
【答え】－５
【解説】2×(-3)+1=-6+1=-5

（2）5a/3－3a/4を計算しなさい。
【答え】(11/12)a
【解説】5a/3-3a/4=20a/12-9a/12=11a/12

（3）次の連立方程式を解きなさい。

ｘ－3ｙ＝6
2ｘ＋ｙ＝5
【答え】x=3,y=-1
【解説】x-3y=6を①,2x+y=5を②として②-2*①よりy=-1,①に代入してx=3

（4）6/√2＋√8を計算しなさい。
【答え】5√2
【解説】6/√2=6/√2×√2/√2=3√2,√8=2√2より3√2＋2√2が答えとなる。

（5）次の2次方程式を解きなさい。
ｘ²＋ｘ＝6
【答え】x=2,-3
【解説】x²+x-6=0→(x+3)(x-2)=0

（6）15a³b²÷5ab²/2を計算しなさい。
【答え】6a²

【解説】15a³b²×2/5ab²=6a²

（7）下の表は、関数y=ax²について、ｘとｙの関係を表したものです。このとき、aの値および表のbの値を求めなさい。

【答え】a=3/8,b=27/2

【解説】x=4,y=6をy=ax²に代入。a=3/8が決定。x=-6をy=3/8x²に代入。b=27/2

（8）大小2個のさいころを同時に投げたとき、大きいさいころの出た目を十の位の数、小さいさいころの出た目を一の位の数として2けたの整数をつくる。このとき、2けたの整数が素数となる確率を求めなさい。ただし、さいころは、1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいとします。
【答え】2/9

【解説】条件を満たすような出目は(大、小)=(1,1)(1,3)(2,3)(3,1)(4,1)(4,3)(5,3)(6,1)の8通り。2つのサイコロを同時に投げた時の出目の総数は36通りであるから、8/36=2/9

（9）下の度数分布表は、ある学級の生徒の自宅から学校までの通学時間を整理したものです。この表から通学時間の平均値を求めると20分であった。（ア）、（イ）にあてはまる数と最頻値を求めなさい。

【答え】（ア）13、（イ）32、最頻値25

【解説】階級20~30の人数をxとする。度数分布表において平均値を求める場合、(階級値×度数の和/人数の和)で求められるから、次式が成り立つ。

(5×5+15×10+25×x+35×4)/(5+10+x+4)=20　よってx=13

これにより(ア)=13,(イ)=32が決定する。

また最頻値は度数が13である20~30の階級の階級値をとれば良い。

太郎さんは、花子さんと体育大会で使う応援用のメガホンを学級の人数分作ることにしました。後の（1）から（4）までの各問いに答えなさい。

太郎さんと花子さんは、数学の授業で円について学習した後、2点で交わる2つの円について調べることにしました。太郎さんは、次の手順でノートに右の図をかきました。後の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。

①から③の手順で、線分ABの長さや円の半径をいろいろ変えて調べます。

（1）太郎さんは、まず線分ABの長さを8ｃｍにして、円の半径をいろいろ変えて調べました。すると、4点Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑが、点Ｃを中心とする円周上にある場合がありました。このとき、線分ＡＰの長さと∠ＡＰＢの大きさを求めなさい。
【答え】AP：4√2cm、∠ＡＰＢ：90°

【解説】点Cを中心とする円上にA,B,P,QがあることからAC=CP=CB=4cm

△ACPは∠ACP=90°,AC=CPの直角二等辺三角形であるから、辺の比が1:1:√2であることを用いてAP=4√2

△ACPと△BCPはともに直角二等辺三角形であり∠APBはそれらの底角の和で表されるので∠APB=45°+45°=90°

太郎さんと花子さんは、図を見て気付いたことを話しています。

（2）2人の会話の中にある太郎さんの言った波線部の考え方を使って、下線部を証明しなさい。

【答え】
△APQと△BPQについて、

仮定より、AP＝BP･･･①、AQ＝BQ･･･②、PQは共通･･･③

①～③より、3組の辺がそれぞれ等しいから、△APQ≡△BPQである。

合同な三角形の対応する角の大きさは等しいので、∠APQ＝∠BPQ･･･④

よって、PQは∠APBの二等分線である。

次に、△APCと△BPCについて、PCは共通…⑤

④より、∠APC＝∠BPC…⑥

①、⑤、⑥より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、△APC≡△BPC

よって、合同な三角形の対応する角の大きさはそれぞれ等しいので、∠ACP＝∠BCP

よって、∠ACP＋∠BCP＝2∠ACP＝180°

∠ACP＝90°より、AB⊥PQ

（3）AP＝PQ=5ｃｍのとき、線分ＡＰの延長線が点Ｂを中心とする円と、点Ｐ以外にもう1点で交わりました。その交点をＤとしたとき、線分ＰＤの長さを求めなさい。

【答え】5cm

太郎さんは、寒かったので衣類に貼るカイロを貼ろうとしました。裏紙（剥離紙）をはがすとき、カイロの粘着部分の形や面積が変化していくことに気付き、下のような考え方をもとに、その変化について考えました。後の（1）から（4）までの各問いに答えなさい。

（1）裏紙をはがし始めてから、はがし終えるまでのｘの変域を表しなさい。

【答え】0≦x≦16

【解説】剥がし終えるまでの点Pの動きはA→B→Cであるからxがとりうる値は0から10+6=16までである。

（2）0≦ｘ≦10のとき、カイロの粘着部分アの面積をｙｃｍ²とする。ｘとｙの関係をグラフに表しなさい。

（3）裏紙をはがしていくと、カイロの粘着部分アの面積が、長方形ABCDの面積の5/8になりました。このときのｘの値を求めなさい。

【答え】x=16-3/2 √15 

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