【滋賀県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

滋賀県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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大問1

問題文

次の（1）から（9）までの各問いに答えなさい。

（1）12－6÷（-3）を計算しなさい。

（2）1/2a－4/3aを計算しなさい。

（3）A＝4ｘ-1、B＝-2ｘ+3とするとき、次の式を計算しなさい。
-4A+3B+2A

（4）-15a²b÷3ab²×（-2b）²を計算しなさい。

（5）（√2－√3）²+√6を計算しなさい。

（6）次の2次方程式を解きなさい。
ｘ²＝ｘ+12

（7）関数ｙ＝-3ｘ²について、ｘが-4から3まで増加したときの、ｙの変域を求めなさい。

（8）3，4，5，6，7の数字の書かれたカードが1枚ずつある。この5枚のカードから同時に2枚のカードを引くとき、2枚のカードの数字の積が2の倍数でなく、3の倍数でもない確率を求めなさい。ただし、どのカードを引くことも同様に確からしいとします。

（9）下の表1は、A中学校におけるハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものです。表1をもとに、表2のB中学校の度数分布を推定します。A中学校とB中学校の10ｍ以上20ｍ未満の階級の相対度数が等しいとしたとき、表2の（ア）にあてはまる度数を求めなさい。

解答・解説

（1）　【正答　14】
加減乗除は乗除から計算する
【与式】＝12+2＝14

（2）　【正答　−5a/6】
展開して計算すればよい
【与式】＝（3a-8a）/6＝−5a/6

（3）　【正答　-14ｘ+11】
【与式】＝-2Ａ+3Ｂ
Ａ、Ｂをそれぞれ代入して、
-2Ａ+3Ｂ＝-2（4ｘ-1）+3（-2ｘ+3）
                  ＝-8ｘ+2-6ｘ+9
                  ＝-14ｘ+11

（4）　【正答　-20ab】

（5）　【正答　5-√6】
【与式】＝2-2√6+3+√6

（6）　【正答　ｘ＝-3、-4】
【与式】＝x²-x-12＝0
⇔(x-4)(x+3)＝0
⇔ｘ＝-3、-4

（7）　【正答　-48≦y≦0】
ｙ＝-3ｘ²にｘ＝0を代入してｙ＝0
ｙ＝-3ｘ²にｘ＝-4を代入してｙ＝-48

（8）　【正答　1/10】
条件を満たす数字の組み合わせは、5、7の1通りのみ。
数字の組み合わせ方は10通りあるので、求める確率は1/10。

大問2

問題文

優さんは、コンピュータを使って、関数のグラフや図形について調べました。このコンピュータでは、一次関数ｙ＝ax+bのaとbに値を代入すると画面に直線が表示されます。後の（1）から（4）までの各問いに答えなさい。

はじめに、優さんは、aとbにある値を代入すると図1の直線が表示されました。

さらに、優さんは、aとbの値をいろいろと変えました。

図4は、点Aが①、②、③、④の順に点線上を動くとき、点AとB、BとC、CとD、DとAを線分で結んでできる図形が変化していく様子を表しています。

解答・解説

（1）　【正答　(aの値)負の値　(bの値)負の値】
グラフの傾きからaの値は負。
y＝ax+bにx＝3を代入したときのグラフの値を読み取ると、負の値になっている。

（2）　【正答　aの値は大きくする　bの値は小さくする】
図1の直線とくらべて、傾きが緩くなっているので、aの値は大きくする。
図1の直線とくらべて、切片の値は小さくなっているので、bの値は小さくする。

（3）　【正答　S：T＝1：4】
線分BDと直線y＝-x、直線BCと直線y＝-xのそれぞれの交点をA´、A´´とする。
S＝△BCD、T＝△A´´CDとおける。
直線BCは、傾きが(2-0)/(1-4)＝-2/3なので、
y＝-2/3x+bに(4,0)を代入して、
y＝-2/3x+8/3 ー①
y＝-xと①より、点A´´(-8,8)
BC＝√{(4-1)²+(0-2)²}＝√13、
A´´C＝√{(-8-4)²+(8-0)²}＝4√13、
△BCD、△A´´CDにおいて、線分BC、A´´Cを底辺とすると高さな同じである。
よって、底辺の長さの比が、面積の比と等しくなるので、
S：T＝△BCD：△A´´CD＝√13：4√13＝1：4

（4）　【正答　(例)
直線ACの傾きは１、直線DBの傾きも１
よってAC//DB　ー①
△ADCと△ABCについて、ACを底辺とする①より△ADC＝△ABC　ー②
△RAD＝△ADC－△ARC、△RBC＝△ABC－△ARC
②より△RAD＝△RBCの距離は等しい　】

大問3

問題文

涼さんと純さんは、食パンとロールパンをつくります。次の（1）から（3）までの各問いに答えなさい。

（1）涼さんは、つくったロールパンを友人に同じ個数ずつ配りたいと考えています。4個ずつ配ると9個あまり、6個ずつ配ると5個足りません。友人の人数を求めなさい。
食パン1斤とロールパン6個をつくるために使う小麦粉とバターの分量は、次のとおりです。

（2）純さんは食パンとロールパンをつくるために、小麦粉1.5ｋｇ、バター80ｇを用意しました。用意した小麦粉とバターは残さずに使います。純さんは、食パンとロールパンをそれぞれいくつつくる予定ですか。方程式をつくり、答えを求めなさい。ただし、答えを求めるまでの過程も書きなさい。
2人は、図1のような食パン1斤を焼き上げたあと、食パンを2つ切って2人で分けました。図2は純さんの食パンを表し、図3は、図2の食パンの大きさを表しています。ただし、食パン1斤を直方体とみて、頂点E,F,G,Hが同じ平面上にあるとします。

（3）純さんは図3の四角形EFGHが平行四辺形であることに気づきました。このときの、対角線FHの長さを求めなさい。

解答・解説

（1）　【正答　7人】
友人の人数をx人とすると、ロールパンの個数はそれぞれ、
4x+9(個)ー①、6x-5(個)ー②
①、②より
4x+9＝6x-5
⇔x＝7

（2）　【正答　(食パン)2斤　(ロールパン)36個
(求める過程)食パンをx斤、ロールパンをy個つくるとすると、
小麦粉が1.5㎏だから、300x+150y/6＝1500　ー①
バターが80gだから10x+10y/6＝80　ー②
①より12x+y＝60　ー③
②より6x+y＝48　ー④
③－④より6x＝12　x＝2
④よりy＝36　】

（3）　【正答　17㎝】
線分FHを対角線とする直方体をつくる
点Hと点Fは10-9＝1㎝分座標に差があり、直方体の高さと横の長さは12㎝なので、
直方体の対角線を求める公式√(a²+b²+c²)に代入して
√(12²+12²+1²)＝√289＝17

大問4

涼さんと純さんは、体育の授業中に3人で行うダンスの隊形移動について考えています。3人の位置を点A,B,Cとします。後の（1）から（4）までの各問いに答えなさい。

（1）図1の②のように、点B、Cは点Aを中心とする半径2ｍの円周上を反時計回りに90°それぞれ動きます。点Ｂ，Ｃがそれぞれ動くとき、点Ｂ，Ｃの2点が動く距離の合計を求めなさい。
次に、2人は、図1の③から点Ａ，Ｂ，Ｃを動かすことを考えています。

2人は、点A,B,Cが動く距離の合計が、最も短くなる点Pの位置を求めるにはどうしたらよいか先生に質問したところ、アドバイスをもらいました。

（2）下線部のCP＝DQであることを証明しなさい。

（3）点A,B,Cが動く距離の合計が最も短くなるときの値を求めなさい。
さらに2人は、先生から次のアドバイスをもらいました。

先生のアドバイス2の①をもとに作図すると、点Pは、3つの頂点から等距離にあることがわかりました。

（4）先生のアドバイス2をもとに、3点Ｂ，Ｃ，Ｔからの距離が最も短くなる点Ｒをコンパスと定規を使って作図しなさい。ただし、作図に使った線は消さないこと。

解答・解説

（1）　【正答　2π㎝】
点B、点Cはそれぞれ、円周の1/4分だけ動くので、あわせて半円分動くことになる。
この円の円周は、2×2×π＝4π
これの半分なので、2π

（2）　【(例)
△APQ、△ABCは正三角形より
AP＝AQー①、AC＝BCー②、∠PAQ＝∠BCA＝60°ー③
AD//BCだから∠BCA＝∠DAC(錯角)　
よって③より∠DAC＝60°ー④
△APCと△AQDについて、
③より∠PAC＝∠PAQ－∠CAQ＝60°－∠CAQ
④より∠QAD＝∠CAD－∠CAQ＝60°－∠CAQ
よって、∠PAC＝∠QADー➄
また、AD＝BCだから②よりAC＝ADー⑥
①、➄、⑥より2組の辺とその間の角が等しいので△APC≡△AQD
合同な2つの三角形の対応する辺の長さは等しいのでCP＝DQ】

（3）　【正答　4√3ｍ】
線分BP、PQ、QDの直線が一直線になるとき、BP∔PQ∔QDが最も短くなる。
△ABCより、BC＝AB＝4㎝
AD＝4㎝なので、△ABDはAB＝ADの二等辺三角形　ー①
また、AD＝BCかつAD//BCなので四角形ABCDは平行四辺形　ー②
①、②より四角形ABCDはひし形とわかる
線分ACと線分BDの交点を点Oとすると、
∠AOC＝90°ー③
また、△ABCは正三角形なので∠BAC＝60°ー④
③、④よりAB：BO：OA＝2：√3：1
BO＝4×√3/2＝2√3
BD＝2×BO＝4√3

（4）　【正答】

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