【島根県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学
島根県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の問1～問11に答えなさい。
問1 （-2）×3－4を計算しなさい。
問2 140を素因数分解しなさい。
問3 6/√3+√15÷√5を計算しなさい。
問4 卵が全部でa個あり、それを10個ずつパックに入れるとbパックできて3個余った。aを求める式を、bを使って表しなさい。
問5 連立方程式ｘ-3ｙ＝5、3ｘ+5ｙ＝1を解きなさい。
問6 方程式ｘ²+ｘ-6＝0を解きなさい。
問7 次のア～オのうち、無理数であるものを2つ選び、記号で答えなさい。
ア 0.5 イ 1/3 ウ √2 エ √9 オ π
問8 図1においてｌ//ｍのとき∠ｘの大きさを求めなさい。
問9 図2は、底面が1辺4ｃｍの正方形で、側面の二等辺三角形の高さが5ｃｍである正四角錐の見取り図である。正四角錐の高さを求めなさい。
問10 白玉だけがたくさんはいっている箱がある。白玉の数を推定するために、同じ大きさの黒玉100個を白玉がはいっている箱の中に入れてよくかき混ぜた。そこから200個の玉を無作為に抽出すると、黒玉が20個ふくまれていた。はじめに箱にはいっていた白玉はおよそ何個と推定されるか。次のア～エのうち、最も適当なものを、1つ選び、記号で答えなさい。
ア 700個 イ 900個 ウ 1000個 エ 1200個
問11 次の□にあてはまる整数を求めなさい。
2つのさいころがあり、1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。この2つのさいころを同時に1回投げるとき、出た目の数の和が□以下になる確率は1/12である。
解答
【解答】
問1 【正答 -10】
問2 【正答 2²×5×7】
問3 【正答 3√3】
問4 【正答 a=10b+3】
問5 【正答 x=2,y=-1】
問6 【正答 x=-3,2】
問7 【正答 ウ、オ】
問8 【正答 35度】
問9 【正答 √21cm】
問10 【正答 イ】
問11 【正答 3】
【解説】
問1
（与式）＝-6-4＝-10
問3
（与式）＝6√3/3+√3＝3√3
問5
ｘ-3ｙ＝5…①、3ｘ+5ｙ＝1…②
①より、ｘ＝3ｙ+5…③
②に代入して、3（3ｙ+5）+5ｙ＝1 9ｙ+15+5ｙ＝1 ｙ＝-1
③に代入して、ｘ＝3×（-1）+5＝2
問6
（ｘ+3）（ｘ-2）＝0
ｘ＝-3，2
問7
エ √9＝3より、有理数である。
問8
平行線の同位角と三角形の内角と外角の関係を利用して、∠ｘ＝60°-25°＝35°
問9
高さをｘｃｍとすると、三平方の定理より、
ｘ²+2²＝5² ｘ²＝21 ｘ＞0より、ｘ＝√21（ｃｍ）
問10
はじめに箱にはいっていた白玉の個数をｘ個とすると、（ｘ+100）：100＝200：20 ｘ＝900（個）
問11
すべての目の出方は、6×6＝36（通り）
確率が1/12＝3/36より、3とおりとなるのは、2つのさいころの出た目の数をa,bとすると、
（a,b）＝（1，1）（1，2）（2，1）となるときなので、出た目の数の和は3以下である。
大問2
問題文
次の問1，問2に答えなさい。
問1 A中学校の陸上部では、市の陸上大会に出場する代表選手を決めることになった。次の1，2に答えなさい。
1 表1は短距離選手20人の100ｍ走の記録を度数分布表に整理したものである。次の（1）、（2）に答えなさい。
（1）最頻値を階級値で答えなさい。
（2）大会の100ｍ走には13.0秒未満の記録をもっている人が出場できる。短距離選手のうち、大会に出場できる選手は何％か、求めなさい。
2 砲丸投げの代表選手1名の候補にユウキさんとミナトさんの2人があがった。2人の最高記録が等しかったため、最近の20回分の記録を比較してみることにした。図1は2人の記録の分布の様子を箱ひげ図に表したものである。箱ひげ図から読み取れることとして正しいと判断できるものを、下のア～エから2つ選び、記号で答えなさい。
問2 A中学校の陸上部では、大会参加の記念に記念集をつくることになった。P社かQ社に印刷を依頼することになり、両社の印刷料金を表2にまとめた。料金を比較するために、印刷する冊数をｘ冊、印刷料金をｙ円とし、ｙをｘの関数とみなして、その関係をグラフに表すことにした。図2はＱ社のｘとｙの関係をグラフに表したものである。あとの1～4に答えなさい。
1 P社で20冊を印刷するとき印刷料金を求めなさい。
2 P社について、印刷する冊数をｘ冊、印刷料金をｙ円として、ｙをｘの一次関数とみなし、それを表すグラフを図2に書き入れなさい。
3 Q社で50冊を印刷するときの印刷料金と同額で、P社に依頼したときに印刷できる冊数を求めなさい。
4 P社に依頼するとき、1冊あたりの料金を400円以下にするためには、印刷する冊数を何冊以上にすればよいかを求めなさい。
解答
【解答】
問1 1（1） 【正答 13.25秒】
問1 1（2） 【正答 40％】
問1 2 【正答 ア、ウ】
問2 1 【正答 1200円】
問2 2 【正答 解答略】
問2 3 【正答 60冊】
問2 4 【正答 40冊以上】
【解説】
問1 1（1）
度数が最も多い階級は、13.0～13.5なので、最頻値は、13.0+13.5/2＝13.25（秒）
問1 1（2）
13.0秒未満の人は、1+1+2+4＝8（人）より、8/20＝0.4 よって、40％
問1 2
イ：四分位範囲は、ユウキさんの方が大きい
エ：小さい方から数えて5番目と6番目の記録が8.5ｍのときにも、第1四分位数は、8.5ｍとなる。
問2 1
8000+20×200＝12000（円）
問2 2
点（0，8000）点（20，12000）を通る直線となる。
問2 3
Q社で50冊を印刷するときの印刷料金は、グラフより20000円。
P社が印刷できる冊数をｘ冊、印刷料金をｙ円とすると、P社を表す式は
ｙ＝8000+ｘ×200より、ｙ＝200ｘ+8000となるので
ｙ＝20000を代入して
20000＝200ｘ+800 ｘ＝60（冊）
問2 4
印刷する冊数をｘ冊とすると
200ｘ+8000＝ｘ×400 ｘ＝40（冊）
大問3
問題文
中学生のナオさんとケンタさんは、公園の一部に芝生を並べて住民がくつろげる場をつくるというアイデアを考えている。
公園は縦30ｍ、横60ｍ、芝生1枚は1辺30ｃｍの正方形で、あとの規則にしたがって図1のように公園の中心から並べていく。あとの問1～問3に答えなさい。
問1 2人は規則に従って公園に芝生を並べたときの、それぞれの図形における芝生の総枚数を考えることにした。ナオさんは図2の1番目の□1枚に、2番目以降の■の枚数を順に加えることで、ｎ番目の図形の芝生の総枚数を求めることができると考えた。次の1，2に答えなさい。
1 5番目の図形を囲むように芝生■を並べて6番目の図形を作るとき、新たに並べる■の枚数を求めなさい。
2 ｎ番目の図形を囲むように芝生■を並べてｎ番目の次の図形をつくるとき、新たに並べる■の枚数をｎを使って表しなさい。
問2 ナオさんの考え方でｎ番目の図形の芝生の総枚数を求めようとしたが、計算が難しいために考え方を変えることにした。そこで、ケンタさんは、並べた図形を図3のように白□と黒■の色に塗り分けて数え、表にまとめた。下の1，2に答えなさい。
1 表中のaの値を求めなさい。
2 ｎ番目の図形の芝生の総枚数を、ｎを使って表しなさい。
問3 ケンタさんは、規則にしたがって公園に芝生を並べて一番大きな図形をつくるためには、何枚の芝生が必要になれるかを考えた。Ⓐ Ⓑにあてはまる数を入れ、ケンタさんの説明を完成させなさい。
解答
【解答】
問1 1【正答 20枚】
問1 2【正答 4ｎ枚】
問2 1【正答 36】
問2 2【正答 （2ｎ²-2ｎ+1）枚】
問3 Ａ【正答 99】
問3 Ｂ【正答 50】
【解説】
問1 1 5×4＝20
問1 2 ｎ×4＝4ｎ
問2 1 6²＝36
問2 2
（ⅰ）ｎが奇数の時、□はｎ²、■は（ｎ-1）²となるので、総枚数は、
ｎ²+（ｎ-1）²＝2ｎ²-2ｎ+1
（ⅱ）ｎが偶数の時、□は（ｎ-1）²、■はｎ²となるので、総枚数は2ｎ²-2ｎ+1
問3 Ａ 縦方向に並べられる芝生の枚数は1，3，5，7，…のように奇数枚となるので、最も多くて99枚となる。
問3 Ｂ ｎ番目の図形の縦方向の芝生の枚数は、ｎ×2-1＝2ｎ-1（枚）となるので、ｎ＝50
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大問4
問題文
図1のように、関数ｙ＝1/4ｘ²…①のグラフ上に2点Ａ，Ｂがあり、直線ABはｘ軸に並行で、点Ａのｘ座標は6である。下の問1～問3に答えなさい。
問1 次の1，2に答えなさい。
1 点Ｂのｘ座標を求めなさい。
2 関数①について、ｘの値が0から6まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
問2 図2のように、四角形OAPBがひし形になるようにｙ軸上に点Ｐをとり、直線OA上にｘ座標が正である点Ｃをとる。下の1，2に答えなさい。
1 四角形OAPBの面積を求めなさい。
2 △PBAと△CBAの面積が等しくなるときの点Cの座標を求めなさい。
問3 図3のように、関数①と反比例ｙ＝-12/ｘ（ｘ＞0）…②のグラフがある。さらに、ｘ軸に平行な直線ｌを関数②と交わるように引く。このとき、直線ｌとｙ軸との交点をＱ、直線ｌと関数②との交点をＲとする。点Ｑのｙ座標が-3のとき、下の1，2に答えなさい。
1 点Ｒのｘ座標を求めなさい。
2 図4のように、関数①のグラフ上に2点D,Eをとる。点D,Eのｘ座標はそれぞれ正、負とし、四角形DEQRが平行四辺形になるとき、次の（1）、（2）に答えなさい。
（1）点Ｄの座標を求めなさい。
（2）点Ｒを通る直線で平行四辺形DEQRを2つに分け、大きい方と小さい方の面積比を3：1にするには、どのような直線をひけばよいか。そのうちの1本について、「点Rと□を通る直線」という形で答えなさい。ただし、□には平行四辺形DEQRの周上の点を示す言葉や座標を入れること。
解答
【解答】
問1 1 【正答 -6】
問1 2 【正答 3/2】
問2 1 【正答 108】
問2 2 【正答 C（12，18） 】
問3 1 【正答 4】
問3 2（1） 【正答 D（2，1）】
問3 2（2） 【正答 辺DEの中点、または、辺EQの中点】
【解説】
問1 1 ｙ軸に関して対称なので、-6
問1 2 点Aのｙ座標は、ｙ＝1/4×6²＝9より、9/6＝3/2
問2 1 点Pの座標は（0，18）より、四角形OAPBの面積は、6×2×18×1/2＝108
問2 2 PC//BAとなればよいので、点Cのｙ座標は18となる。ｘ座標は、直線OAの式がｙ＝3/2ｘより、18＝3/2ｘ ｘ＝12 よって、Ｃ（12，18）
問3 1 -3＝-12/ｘ ｘ＝4
問3 2（1）ED＝QR＝4 よって、点Dのｘ座標は4×1/2＝2 ｙ座標はｙ＝1/4×2²＝1より、Ｄ（2，1）
問3 2（2）△EQR＝△ERDであるから
（ⅰ）辺DEの中点をFとすると、△ERF＝△FRDとなるので、四角形EQRF：△FRD＝3：1となる。
（ⅱ）辺EQの中点をGとすると、△GQR＝△GREとなるので、△GQR：四角形EGRD＝1：3となる。
大問5
問題文
図1のように、円Oの外部の点Aから円Oに接線をひき、その接点をP,P’とする。下の問1～問4に答えなさい。
問1 線分OPをひいたとき、∠OPAの大きさを求めなさい。
問2 図2において、図1のように点Aから円Oにひいた2本の接線を、定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし、作図に用いた線はけさないでおくこと。
問3 △APOと△AP’Oに着目して、接線の長さAPとAP’が等しいことを証明しなさい。
問4 図3のように、線分AOと線分PP’との交点をMとする。AM＝3、MO＝1のとき、下の1～3に答えなさい。
1 ∠PAMと同じ大きさの角を図3中のア～ウから1つ選び、記号で答えなさい。
2 線分PMの長さを求めなさい。
3 図4のように、点Rは∠PRP’＝120°をみたしながらPからP’まで、直線PP’について点Oと同じ側を動く。このとき、点Rによってできる図形と線分PP’とで囲まれてできる図形の面積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
解答
【解答】
問1 【正答 ∠OPA＝90°】
問2 【正答 解答略】
問3 【正答 下記参照】
問4 1 【正答 イ】
問4 2 【正答 √3】
問4 3 【正答 4/3π-√3】
【解説】
問3 △APOと△AP’Oにおいて、
直線APと直線AP’は円Oの接線なので
∠APO＝∠AP’O＝90°…①
辺AOは共通なので、AO＝AO…②
辺POとP’Oは円Oの半径なので、PO＝P’O…③
よって、①～③より
直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
△APO≡△AP’O
合同な図形では、対応する辺は等しい。
よって、AP＝AP’
問4 1 △APO∽△PMOより、∠PAM＝∠MPO
問4 2 △AMP∽△PMOより、AM：PM＝PM：OM 3：PM＝PM:1 PM＝√3
問4 3
点P,R,P’は同一円周上にあるので、右の図の円O’において、円周角の定理より、
∠PRP’の中心角は、
120°×2＝240°
∠PO’P’＝360°－240°＝120°より、
∠PO’M＝120°×1/2＝60°
また、∠O’MP＝90°より、△O’MPにおいて、
O’M：O’P：PM＝1：2：√3より、O’M＝1 O’P＝2
よって、求める面積は
扇形O’PP’－△O’PP’
＝π×2²×120/360－1/2×1×√3×2＝4/3π－√3
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