【東京都】令和7年度/2025年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
東京都の2025年3月実施の令和7年度（2025年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1 小問集合
問題文
次の各問いに答えよ。
問1
\(3 – 6^2 \div 4\) を計算せよ。
問2
\(\displaystyle \frac{9a-b}{5} – a + 2b\) を計算せよ。
問3
\((3\sqrt{7}+8)(3\sqrt{7}-8)\) を計算せよ。
問4
一次方程式 \(\displaystyle \frac{9x-6}{2} = 4x+1\) を解け。
問5
連立方程式 \(\displaystyle \begin{cases} 8x – 5y = -3 \\ y = 2x – 1 \end{cases}\) を解け。
問6
二次方程式\(x^2 – 9x + 7 = 0\) を解け。
問7
〔問７〕次の ① と ② に当てはまる数を、下のア～クのうちからそれぞれ選び、記号で答えよ。
関数 \(y = -x^2\) について、\(x\) の変域が \(-2 \leqq x \leqq 3\) のときの \(y\) の変域は、
① \(\leqq y \leqq\) ②
である。
ア -9 イ -6 ウ -4 エ -2
オ 0 カ 4 キ 6 ク 9
問8
次の[ ]の中の「あ」「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
右の図1のように、1,2,3,4,5の数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。
この5枚のカードから同時に3枚のカードを取り出すとき，取り出した3枚のカードに書いてある数の和が10以上になる確率は
\(\displaystyle \frac{あ}{い}\)
である。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。
問9
右の図2で、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。解答欄に示した図をもとにして、辺ＡＤ上にあり、頂点Ｂ、頂点Ｃまでの距離が等しい点Ｐを、定規とコンパスを用いて作図によって求め、
点Ｐの位置を示す文字Ｐも書け。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。
解答・解説
問1 $-6$
計算の順序を間違えないようにしましょう。
$3-36\div4=3-9=-6$
問2 $\frac{4a+9b}{5}$
通分をしてから求めます。
$\frac{9a-b-5a+10b}{5}=\frac{4a+9b}{5}$
問3 $-1$
$(x+a)(x-a)=x^2-a^2$を用います。
$(3\sqrt{7}+8)(3\sqrt{7}-8)=(3\sqrt{7})^2-8^2=63-64=-1$
問4 $x=8$
両辺に2を掛けて、分数を取り除きましょう。
$9x-6=8x+2$
$x=8$
問5 $x=4,y=7$
2つ目の式を1つ目の式に代入します。
$8x-5(2x-1)=-3$
$-2x=-8$
$x=4$
これを2つ目の式に代入します。
$y=2\times4-1=7$
問6 $\frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$
解の公式$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$を用います。
$x=\frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2-4\times1\times7}}{2\times1}=\frac{9 \pm \sqrt{53}}{2}$
問7 ①ア ②オ
上に凸の二次関数なので、yの最大値は0をとり、最小値は絶対値が大きい方のｘの値を代入すればよいです。
問8 $\frac{2}{5}$
まず全通りを考えると
$(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)(1,3,5)(1,4,5)(2,3,4)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)$の10通りあります。
この中で和が10以上になるのは$(1,4,5)(2,3,5)(2,4,5)(3,4,5)$の4通りあります。
よって、答えは$\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
問9 回答略
大問2 証明問題
Ｓさんのクラスでは、先生が示した問題をみんなで考えた。次の各問に答えよ。
問題文
［先生が示した問題］
右の図1のように、円Ｏの円周を12等分する点に、1から12までの自然数の番号を、小さい順で時計回りに付ける。1から12までの番号を付けた点のうち、2点を結んでできる線分が円Ｏの直径となるとき、その2点を向かい合う点とする。
例えば、1の点と7の点は、向かい合う点である。
図1において、1組の向かい合う点を選び、それぞれの点の番号のうち、
小さい方の数をa、大きい方の数をbとする。
a，bの平均値をＡ，\(b^2-a^2\) の値をＢとするとき，ＢはＡの何倍か求めなさい。
問1
［先生が示した問題］で、ＢはＡの［ ］倍と表すとき、［ ］に当てはまる数を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。
ア 3 イ 4 ウ 6 エ 12
Ｓさんのグループは、［先生が示した問題］をもとにして、次の問題を作った。
［Ｓさんのグループが作った問題］
右の図2のように，円Ｏの円周を24等分する点に，
1から24までの自然数の番号を、小さい順で時計回りに付ける。
1から24までの番号を付けた点のうち、2点を結んでできる線分が円Ｏの直径となるとき，その2点を向かい合う点とする。
図2において，異なる2組の向かい合う点を選び、1組目のそれぞれの点の番号のうち，小さい方の数をa，大きい方の数をbとし，2組目のそれぞれの点の番号のうち，小さい方の数をc，大きい方の数をdとする。
a，b，c，dの平均値をＰ，bd-acの値をＱとするとき，Ｑ=24Ｐとなることを
確かめてみよう。
問2
［Ｓさんのグループが作った問題］で，Ｑ=24Ｐとなることを証明せよ。
解答・解説
問1 エ
問題文に与えられているように1と7を例にとって計算してみます。
$a=1,b=7$となるので、平均値Aは
$A=(1+7)\div2=4$となります。
次に、$B=b^2-a^2=7^2-1^2=48$となるので
BはAの12倍となります。
問2 下記参照
bをaを用いた式で表すと、
$b=a+12$
dをcを用いた式で表すと、
$d=c+12$
よって、
$P=\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{a+c+12}{2}$
$24P=24\times\frac{a+c+12}{2}=12a+12c+144$…①
また、$Q=bd-ac=(a+12)(c+12)-ac=12a+12c+144$…②
①、②より$Q=24P$
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大問3 一次関数
問題文
右の図1で、点Oは原点、点Aの座標は(0, -4)であり、直線lは一次関数 \(\displaystyle y = \frac{1}{2}x + 3\) のグラフを表している。
直線lとx軸との交点をＢとする。直線l上にある点をＰとし，2点Ａ，Ｐを通る直線をmとする。
次の各問に答えよ。
問1
点Ｐのy座標が-1のとき、点Ｐのx座標を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。
ア -8 イ \(-\displaystyle\frac{9}{2}\) ウ -2 エ \(\displaystyle\frac{5}{2}\)
問2
点Pが点Bに一致するとき、直線mの式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
ア \(y = -\displaystyle\frac{3}{2}x – 4\)イ \(y = -\displaystyle\frac{3}{2}x – 6\)
ウ \(y = -\displaystyle\frac{2}{3}x – 4\)
エ \(y = -\displaystyle\frac{2}{3}x – 6\)
問3
右の図2は、図1において、点Ｐのx座標が正の数のとき、x軸上にありx座標が点Ｐのx座標と等しい点をＱとし、点Ａと点Ｂ、点Ａと点Ｑ、点Ｐと点Ｑをそれぞれ結んだ場合を表している。
△ＡＰＢの面積が△ＡＱＰの面積の2倍になるとき，点Ｐのx座標を求めよ。
解答・解説
問1 ア
点Pのｙ座標の値を直線lの式に当てはめれば求まります。
$-1=\frac{1}{2}x+3$
$x=-8$
問2 ウ
点Pが点Bに一致するときは、点Pのy座標は0となるので、問1と同様にして
$0=\frac{1}{2}x+3$
$x=-6$となり、点B(-6,0)だと分かります。
直線mは点Bと点Aの2点を通るので、それぞれ代入して連立方程式を解くと、直線の式が求まります。
点Aを代入して、$b=-4$…①
点Bを代入して$-6a+b=0$…②
①、②より、$a=-\frac{2}{3},b=-4$となるので、
直線mの式は$y=-\frac{2}{3}x-4$となります。
問3 7
点Pのx座標をsとすると、$点P(s,\frac{1}{2}s+3)$と表せます。
△APBの面積は$7\times(s+6)\div2$で求められ、
△AQPの面積は$s\times(\frac{1}{2}s+3)\div2$で求められます。
△APBが△AQPの面積の2倍となるので
$7s+42=2(\frac{1}{2}s^2+3s)$
$s^2-s-42=0$
$(s-7)(s+6)=0$
$s=7,-6$
$s>0$なので、$s=7$が答えとなります。
大問4 平面図形
問題文
右の図1で、点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。点Pは、線分OA上にある点で、点O、点Aのいずれにも一致しない。
点Qは、弧AB上にある点で、点A、点Bのいずれにも一致しない。
点Rは、弧BQ上にある点で、点B、点Qのいずれにも一致しない。
点Aと点Q、点Aと点R、点Bと点Q、点Pと点Rをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
問1
図1において、\(\stackrel{\frown}{AQ} = \stackrel{\frown}{BQ}\), \(\angle QAR = 20^\circ\), \(\angle ARP = a^\circ\) とするとき、\(\angle BPR\)の大きさを表す式を、次のア～エのうちから選び、記号で答えよ。
図1において、ＡＱ=ＢＱ、∠ＱＡＲ=20°、∠ＡＲＰ=a°とすると、∠ＢＰＲの大きさを表す式を、次のア〜エのうちから選び、記号で答えよ。
ア \((a+20)\)度 イ \((a+25)\)度 ウ \((155-a)\)度 エ \((160-a)\)度
問2
右の図2は、図1において、ＡＰ=ＡＱ，弧ＢＲ=弧ＱＲのとき、点Ｑと点Ｒを結んだ場合を表している。次の①、②に答えよ。
① △ＡＰＲ≡△ＡＱＲ であることを証明せよ。
② 次のの中の「う」「 え」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。図2において、線分ＡＲと線分ＢＱとの交点をＳ、点Ｏと点Ｒを結び、
線分ＢＱと線分ＯＲとの交点をＴとした場合を考える。ＡＰ=2ＯＰのとき，△ＲＳＴの面積は，四角形ＡＯＲＱの面積の
\(\displaystyle \frac{う}{え}\)倍である。
解答・解説
問1 イ
△AQBに注目すると直角二等辺三角形だと分かるので
∠QAB＝45°だと分かります。
よって、∠RAP＝45°－∠QAP＝25°
さらに△ARPに注目すると外角の性質から
∠BPR＝∠RAP+∠ARP＝$a+25$°が答えとなります。
問2 ①下記参照 ②【う】1【え】5
①
△APRと△AQRにおいて
共通な辺なので、$AR=AR$…①
仮定より、$AP=AQ$…②
仮定より、弧BR＝弧QR
等しい弧に対する円周角は等しいので
∠PAR＝∠QAR…③
①～➂より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
△APR≡△AQR
②
AP：PO＝2：1からAQは2
△ABQ∽△OBTとり、OT＝1
半径は3なので、TR＝3-1＝2だと分かります。
錯覚とAQ＝RTより、△AQS≡△RTS
QS＝STからSはQTの中点だとわかります。
AQ//ORに注目すると
AQ+OR＝台形AORQ
△RSTは四角形AORQの$\frac{1}{5}$倍だと分かります。
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大問5 空間図形
問題文
右の図1に示した立体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨは、ＡＢ=ＡＤ=6cm、ＡＥ=4cmの直方体である。
頂点Ａと頂点Ｃを結び、線分ＡＣ上にある点をＰとする。
頂点Ｈと点Ｐを結ぶ。
次の各問に答えよ。
問1
次の[ ]の中の「お」「 か」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。図1において、頂点Ｄと点Ｐ、頂点Ｅと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を考える。
点Ｐが線分ＡＣの中点のとき、立体Ｐ-ＡＥＨＤの体積は、 [ おか ]cm3 である。
問2
次の[ ]の中の「き」「 く」「 け」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
右の図2は、図1において、頂点Ｆと頂点Ｈ、頂点Ｆと点Ｐをそれぞれ結んだ場合を表している。
ＡＰ：ＰＣ=5：1のとき、△ＦＰＨの面積は
[きく]\(\sqrt{[け]}\) cm\(^2\)
解答・解説
問1 【お】2 【か】4
底面が四角形AEHDの立体になります。
点PからADに垂線を下した交点を点Qとすると、高さはPQで表せます。
△APDは直角二等辺三角形になるので、PQ＝3cm
よって、$4\times6\times3\div3=24cm^3$となります。
問2 【き】1 【く】２ 【け】3
△EFHは直角二等辺三角形になるので、△EPHの底辺となるFHは$6\sqrt{2}cm$となります。
また、点Pから降ろした垂線の交点をOとします。
△PFHも直角二等辺三角形であることに気づくと、POの長さが三平方の定理から求まりそうなことに気が付きます。
そのために、ORの長さを求めます。
EGを結び、PからEGへの垂線をRとすると
OR＝EG－（EO+RG）で求まります。
EGは3、RG＝PC＝1となるので、ORの比は2となります。
$EG:OR＝6:2＝6\sqrt{2}:OR$
$OR=2\sqrt{2}cm$
よって、△FPHの面積は$6\sqrt{2}\times2\sqrt{6}\div2=12\sqrt{3}cm^2$となります。
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