【和歌山県】平成31年度/2019年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説

和歌山県の2019年3月実施の平成31年度（2019年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

和歌山県の数学は5つの大問で構成され、小問集合が2つ、法則性を問う問題（数列）、関数、図形となっています。
難易度はやや易です。数学が得意なお子さんは満点が狙えると思います。

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大問1：小問集合

問1：次の（1）～（5）の計算問題を解く問題です。

（1）：6－9
【・答え「－3」】

（2）：4＋2÷（－3/2）
【・答え「8/3」】
※先に割り算から計算する。割り算は、分母と分子を入れ替え掛け算にして計算する。

（3）：3（2ｘ-ｙ）+2（4ｘ-2ｙ）
【・答え「14ｘ－7ｙ」】

（4）：√32－√18＋√2
【・答え「2√2」】
※素因数分解を先にして、√の中を整理する。

（5）：（a+2）（a-1）－（a-2）²
【・答え「5a －6」】
※(a-b)²=a²－2ab +b²

問2：次の二次方程式を解く問題です。

ｘ²－9ｘ＝0
【・答え「ｘ＝0，9」】
ｘ²－9ｘ＝0
ｘ（ｘ－9）＝　0
ｘ＝0、9

問3：周の長さが20ＣＭの長方形があり、この長方形の縦の長さをＸＣＭ、横の長さをＹＣＭとするとき、ＸとＹの関係について、次のア～エの中から正しいものを選ぶ問題です。

ア：ｙはｘに比例する。
イ：ｙはｘに反比例する。
ウ：ｙはｘに比例しないが、ｙはｘの一次関数である。
エ：ｘとｙの関係は、比例、反比例、一次関数のいずれでもない。
【・答え「ウ」】
２つの数の関係に関する問題です。
ｘ、ｙの関係を式で表すと、ｙ＝(20－2ｘ)/2
つまり、ｙ＝-ｘ+10となる。　よって、ウが適切。

問4：大小2つのさいころを同時に投げて、大きいサイコロの出た目をA、小さいサイコロの出た目をBとするとき次の問いに答える問題です。

bがaの約数となる確率を求めなさい。
【・答え「7/18」】
２つのさいころの出る目の組み合わせは全部で6×6＝36通り。　
実際に、bがaの約数となる組み合わせは、(6、6)（6、3）（6、2）（6、1）（5、5）（5、1）（4、4）（4、2）（4、1）（3、3）（3、1）（2、2）（2、1）（1、1）の14通り。
よって約数になる確率は、14/36＝7/18

問5：下図の∠Ｘの大きさを求める問題です。

【・答え「26°」】
円周角と中心角の関係より、∠ＡＯＤ＝58°×2＝116°
また、∠ＢＯＤ＝180°－116°＝64°
ＣＢ、ＡＣの交点をＨとすると、ＡＢ⊥ＣＤなので∠ＣＨＢ＝90°
同様に∠ＤＨＯ＝90°
△ＯＤＨにおいて、∠ｘ＝180°－∠ＤＨＯ－∠ＢＯＤ＝180°－90°－64°＝26°

大問2：小問集合

問1：下図のような陸上競技用のトラックを作ったときに（1）（2）の問いに答える問題です。

（1）：第一レーンの内側のライン1周の距離をlｍとすると、lは「l=2a+πb」と表せます。この式をaについて解く問題です。
【・答え「a＝(ｌ－πb)/2」】
ｌ＝2a+πb
この式をaについて解くと、
2a＝ｌ－πb
a＝(ｌ－πb)/2

（2）：すべてのレーンのゴールラインの位置を同じにして、第一レーンの走者が走る1周分と同じ距離を、各レーンの走者が走るためには、第4レーンは第1レーンからスタートラインの位置を何ｍ前に調整するとよいか説明する問題です。
【・答え「6πｍ」】
第１レーンの走者の１周分の距離を式に表すと、直線部分が（a×2）ｍ、円の部分がラインの20㎝外側を走るので半径（b+0.2+0.2）ｍ、つまり（ｂ+0.4）ｍの円の外周分となるので、
(（b+0.4)π)/2×2+2a = (ｂ+0.4)π+2a…①
同様に第４レーンの走者の1周分の距離を式に表すと、直線部分は（a×2）ｍ、円の部分は、各レーンの幅が1ｍあるので、１～４レーンまでで3ｍあり、円の半径は、レーンの幅（3ｍ×2）と20㎝外側を走る分の（0.2×2)ｍで、（b+0.4+6）ｍの外周分となる、
よって、（b+6.4）π+2a…②
そしてこの第１レーンと第４レーンの走者が走る距離を同じにするためには、第4レーンのスタートをｘｍ前にすると、
(（b+0.4)π)/2×2+2a＝（b+6+0.4）π+2a－ｘとなる。
これを解くと、（b+0.4）π+2a＝（b+6.4）π+2a－ｘ
ｂπ+0.4π＝ｂπ+6.4π－ｘ
ｘ＝6π　
よって、第４走者のスタートを6πｍ前にする。

問2：標本調査を利用して箱の中のねじの本数を調べる問題です。

（1）：この調査の母集団と標本を次のア～エの中から選んで記号を書く問題です。
ア：この箱の全部のねじ
イ：はじめに取り出した600個のねじ
ウ：無造作に取り出した300個のねじ
エ：300個の中に含まれていた印のついたねじ
【・答え「母集団：ア、標本：ウ」】
※母集団とは、集合全体のことなので、アのネジの総数にあたる。　標本とは母集団から抽出したデータの集まりなので、ウにあたる。

（2）：この箱の中にはおよそ何個のねじが入っていると推測できるか求める問題です。
【・答え「15000個」】
全体の総数をｘとすると、
ｘ：600 ＝ 300：12
12ｘ＝180000
ｘ＝15000　よって15000個

問3：以下の図と条件になるときに花束Aの数をＸ束、花束Ｂの数をＹ束として連立方程式を作り、花束をつくる前にあった赤色の本数を求める問題です。

条件1：白色の花は200本あり、赤色の花は十分な本数がある。
条件2：白色の花が過不足なく使われるとき赤色の花は80本余った。
条件3：花束Aと花束Bは全て売ることができ、売り上げの合計は16000円であった。
【・答え「220本」】
800ｘ+400ｙ＝16000…①
　　　8ｘ+6ｙ＝200…②
②×100　800ｘ+600ｙ＝20000…②’
②’－①　200ｙ＝4000
　　　　　　ｙ＝20…③
③を②に代入して、
　　8ｘ+6×20＝200
　　8ｘ+120＝200
　　8ｘ＝80
　　　x＝10
よって、赤色の花の本数は、
10×10+2×20+80＝220本

大問3：法則性を問う問題

図1のように第20列までテーブルと席順が配置されているとき以下の問1～4に答える問題です。

問1：次の（1）・（2）の問いに答える問題です。
（1）：座席は全部で何席あるか求める問題です。
【・答え「420席」】
テーブル数は、20列までそれぞれ奇数10列、偶数10列あるので、
3×10+4×10＝70　
そしてそれぞれに6席あるので、
70×6＝420席

（2）：第7列の最も左側にあるテーブル番号は何番か求める問題です。
【・答え「22番」】
第７列の最も左側のテーブルとは、第７列の最初のテーブル番号なので、第６列までのテーブル数を求め、その次の番号が答えとなる。
第６列までのテーブル数は、奇数3列、偶数3列あるので、
3×3+4×3＝21
よって、第７列の最も左側にあるテーブルは22番となる。
問2：和歌子さんの座席番号が176番であるとき、和歌子さんのテーブル番号は何番か求める問題です。またテーブルのどの座席に座ることになるか図2のア～カの中から1つ選び記号を書く問題です。

【・答え「30番テーブル、イ 」】
6人ずつ座るので、まずテーブル数を求めると、
176÷6＝29…2　つまり、29テーブルあり、30テーブル目に2人すわることとなる。そして、和歌子さんは30テーブル目の2人目の位置になるので、答えは30番のテーブルのイの位置となる。

問3：図3と表をみてaとbの関係を等式で表す問題です。

【・答え「ｂ＝6a－2」】
aとｂのそれぞれの変化の仕方を考えてみる。
a=1のとき、ｂ＝4
a＝2のとき、ｂ＝10
a＝3のとき、ｂ＝16　以上より、aが1増えるとｂは6ずつ増えることがわかり、1次式になることが推測できるので、ｂ＝6a+ｃ…①　とおく。
① にa=1,b=4を代入して、
4＝6+ｃ　
ｃ＝－2　よって、ｂ＝6a－2

問4：すべてのテーブルの6席の座席番号の和は3の倍数となる証明をする問題です。
【・答え「下記参照」】
ｎ+1、ｎ+2、ｎ+3、ｎ+4、ｎ+5となる。
それぞれの和を求めると、
ｎ+（ｎ+1）+（ｎ+2）+（ｎ+3）+（ｎ+4）+（ｎ+5）
＝6ｎ+15
＝3（2ｎ+5）となる。
2ｎ+5は自然数なので、3（2ｎ+5）は3の倍数になる。

大問4：2次関数

図1のように
y=1/2x²・・・①
y=-12/x（x＞0）・・・②
のグラフがあるとき、①のグラフ上に2点A,Bがあり、それぞれの座標は（－2，2）（2，2）である。
また、②のグラフ上に点Pがあり、Pを通りｘ軸に平行な直線とｙ軸との交点をＱとし、四角形ＡＢＰＱを作るとき以下の問1～4に答える問題です。

問1：関数①についてＺの値が0から2まで増加するときの変化の割合を求める問題です。

【・答え「1」】
ｘの値が0から2まで増加するときの変化の割合は、
(2-0)/(2-0)　＝1

問2：図2のように四角形ＡＢＰＱが平行四辺形になるとき、直線ＡＱの式を求める問題です。

【・答え「ｙ＝－5/2ｘ－3」】
ＡＢ＝4より、Ｐのｘ座標は4とわかる。よって、点Ｐのｙ座標は、②の式にｘ＝４を代入して、
　　　　ｙ＝－12/4＝－3つまり点Ｐ（4－3）となる。
　　　　また、直線ＡＱは、
　　　　ｙ＝(-3-2)/(0-2)ｘ+ｂ
　　　　ｙ＝－5/2ｘ+ｂ…②　条件より、点Ｑのｘ座標は0、また点Ｐのｙ座標と点Ｑのｙ座標は等しいので、ｙ座標は－3。これを②に代入して、
　　　　－3＝ｂ
　　　　よって、直線ＡＱは、ｙ＝－5/2ｘ－3

問3：図3のように①のグラフと四角形ＡＢＰＱの対角線ＢＱがＢ以外で交わっている。その交点をＲとするとき、ＲのＸ座標が1のときＰの座標を求める問題です。

【・答え「Ｐ（12、－1）」】
点Ｒのｘ座標が１、ｙ座標は①のグラフ上の点なので代入して、ｙ＝1/2となる。
直線ＢＱをｙ＝aｘ+ｂとすると、傾きは2、点Ｂ（2、2）、点Ｒ（1、1/2）を通るので代入して、
　　　　2＝2a+b…①
　　　　1/2＝a+ｂ…②
②の連立方程式を解くと、a=3/2、ｂ＝－1
よって、直線ＢＱはｙ＝3/2ｘ－1　また、点Ｑ（0、－1）。
条件より、点Ｑと点Ｐのｙ座標は等しいので、点Ｐのｙ座標は－1とわかる。
点Ｐは②上の点なので、ｙ＝－1を②に代入して、
－1＝－12/ｘ
ｘ＝12　よって点Ｐ（12、－1）となる。

問4：図4のように∠ＡＢＰ＝90°のとき、四角形ＡＢＰＱを辺ＢＰを軸として1回転させて出来る立体の体積を求める問題です。

【・答え224/3㎤　（添付図参照）】

四角形ＡＢＰＱを、辺ＢＰを軸として１回転させるとできる立体は、図のようになる。また線分ＢＰと対称になる点をそれぞれＡ’（6、2）、Ｑ’（4、－8）とする。
条件より点Ｂのｘ座標と、点Ｐのｘ座標は等しいので、点Ｐのｘ座標はｘ＝2となる。点Ｐは②上の点なので代入してｙ座標を求めると、ｙ＝－12/2＝－6。
同様に、点Ｑのｙ座標と点Ｐのｙ座標は等しいので、点Ｑ（0、－6）となる。
直線ＡＱ：ｙ＝－4ｘ－6…①
直線Ａ’Ｑ’：ｙ＝4ｘ+ｂとすると、点Ｑ（0、－6）を通るので代入すると、
　　　　　ｙ＝4ｘ－22…②
②の交点をＲとすると、連立方程式を解いてＲ（2、－14）となる。
求める体積は、円錐ＡＡ’Ｒ－円錐ＱＱ’Ｒなので、
｛4×4×π×16×1/3｝－2×2×π×8×1/3
＝256/3－32/3
＝224/3

大問5：平面図形

図1のように、一辺が6ｃｍの正方形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に点Ｅがあり、ＡＥとＢＤの交点をＦとするとき問1・2に答える問題です。

問1：次の（1）（2）に答える問題です。

（1）：BE:EC＝3：2のとき、AF:FEを求める問題です。
【・答え「5：3」】
ＡＤ//ＢＣなので、平行線と線分の定理より、
ＡＦ：ＦＥ＝ＡＤ：ＢＥ
　　　　　＝ＢＥ+ＥＣ：ＢＥ
　　　　　＝（3+2）：3
　　　　　＝5：3

（2）：∠BFE＝∠BEFのとき、BFの長さを求める問題です。
【・答え「6√2－6」】
△ＢＤＣにおいて三平方の定理より、ＢＤ＝√(36+36)＝6√2
△ＢＦＥにおいて、∠ＢＦＥ＝∠ＢＥＦより、二等辺三角形である。次に△ＡＦＤおいて、ＡＤ//ＢＣより∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ＝∠ＡＦＤ＝∠ＢＦＥより、二等辺三角形である。
ＢＦ＝ＢＤ－ＤＦで求められる。
ＡＤ＝ＤＦ＝6より、ＢＦ＝6√2－6

問2：図2のようにEを通りBDに平行な直線と辺DCとの交点をGとし、辺ADの延長線上にAD=DHとなる点Hをとり、HとGを結ぶとき（1）（2）に答える問題です。

（1）：△ABE≡△HDGを証明する問題です。
【・答え「下記参照」】
仮定より、ＡＤ＝ＤＨ＝ＡＢ＝6、∠ＡＢＥ＝∠ＨＤＧ＝90°、また、∠ＤＣＥ＝90°。△ＢＤＣは直角二等辺三角形なので∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＣ＝45°。
ＢＤ//ＥＧより、同位角なので∠ＢＤＣ＝∠ＣＧＥ＝∠ＧＥＣ＝45°。以上より、△ＣＥＧも直角二等辺三角形であり、ＣＥ＝ＣＧ、ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ、ＤＧ＝ＤＣ－ＣＧ。よってＢＥ＝ＤＧとなり、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＥ≡△ＨＤＧとなる。

（2）：図3のようにHGの延長とAEとの交点をIとし、∠BAE＝30°のとき、四角形IECGの面積を求める問題です。
【・答え「36－18√3㎠」】
△ＡＩＨにおいて、∠ＩＡＨ＝90°－30°＝60°
△ＡＢＥ≡△ＨＤＧより、∠ＡＨＩ＝30°
よって、∠ＨＩＡ＝180°－60°－30°＝90°
△ＡＩＨは直角三角形なので、３辺の比は、1：2：√3
ＡＨ＝12より、ＡＩ＝12/2＝6　、ＨＩ＝(12√3)/2＝6√3
求める面積は、△ＡＢＥ＝△ＤＧＨより、四角形ＡＢＣＤ－△ＡＩＨなので、
36－1/2×6+×6√3＝36－18√3㎠

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