小学校の頃にやった比例の関係をおさらいしていきます。

ここから学んでいく関数の分野に繋がって行くように勉強していきましょう！
比例の意味や、比例定数、変域まで幅広く解説していきます。

1.比例の関係

早速ですが問題です。
縦の長さが4ｃｍの長方形があり、この横の長さをｘｃｍ、面積をｙｃｍ²とするとき、ｘとｙはどのような関係にあるでしょうか？
まず、ｘ、ｙを具体的な数字になる様に下表で確認してみましょう！

x	0	1	2	3	4	5
y	0	4	8	12	16	20

このように、ｘが2倍、3倍となると、ｙも2倍、3倍となっています。
このような関係のことを「比例の関係」と呼びます。

例題1-1

底辺が6ｃｍ、高さがｘｃｍの三角形の面積をｙｃｍ²とするとき、ｘ、ｙが比例の関係にあることを表を使って示せ。

解説1-1

下表のようにｘ、ｙを表にまとめると、

ｘ	0	1	2	3	4	5
ｙ	0	3	6	9	12	15

上表のようになる。
ｘの値が2倍、3倍となると、ｙの値も2倍、3倍となっているので、
ｘとｙは比例の関係にあることが分かる。

2.比例の式

前章の長方形を式にして表してみましょう。
長方形の面積＝縦の長さ×横の長さ
で表せるので、ｙ＝4ｘと表すことができます。

このように比例の関係にあるｘ、ｙは
y=axと表すことができます。

この時の「a」は「比例定数」と呼びます。

この比例定数の意味は①ｘが1増えるときの、ｙの増える量と、②ｘ＝1のときのｙの値という意味があります。

例題2-1

次のｘ、ｙの関係を式に表しなさい。
①底辺6cm、高さｘcmの三角形の面積ｙcm²
②毎分60ｍでｘ分歩いたら、ｙｍ進んだ
③空の水そうに毎分4Lずつ水を入れたときの、ｘ分後の水の量ｙL

解説2-1

①三角形の面積＝底辺×高さ÷2で表せるのでｙ＝3ｘとなる。

②道のり＝速さ×時間で表せるのでｙ＝60ｘとなる。

③表にして考えて見ましょう。

ｘ	1	2	3	4	5
ｙ	4			16

比例定数がどのようになるかを考えていけばよいです。

比例定数は①ｘが1増えるときの、ｙの増える量と、②ｘ＝1のときのｙの値のことでした。
①で考えると4ずつ増えることが分かります。②で考えても4であることが分かります。
以上より比例定数は4だということが分かります。
よって、答えはｙ＝4ｘとなります。

3.変域

前章の例題2-1③を例にしていきましょう。
新たに、空の水槽は40Lで満杯になるとする条件を追加します。

解説の通り、ｙとｘの式はｙ＝4ｘとなっていました。
この時のｘ、ｙは「変数」と呼ばれ、数の集合体であると考えます。
またこの変数が取りうる値のことを「変域」と呼びます。

まず、ｙに注目すると、最初は水が入っていないので0Lとなります。最大になるときは満杯になる時なので40Lであると分かります。
よって、yの変域は不等号を用いて、「0≦ｙ≦40」と表せます。
この時にｘの値は、ｙ＝4ｘの値に代入すると得ることができ、「0≦ｘ≦10」と表せます。

例題3-1

ｙ＝－4ｘにおいて、ｘの変域が－6≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。

解説3-1

ｙ＝－4ｘに代入して解いていけばよい。
ｘ＝－６の時、ｙ＝－４×－６＝２４
ｘ＝2の時、ｙ＝－４×２＝－8
よって、－８≦ｙ≦24となる。
※24≦ｙ≦－８とミスをしないように気を付けてください。

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4.比例の式を求める

では実際に文章から比例の式を作ってみましょう！

あるバネは、のびる長さがおもりの重さに比例します。
このバネに8ｇのおもりをつり下げると、4ｃｍのびました。
ｘｇのおもりをつり下げると、ｙｃｍのびるとしてｙをｘの式で表す問題です。

y=axの式にx＝8＝【ｇ】、ｙ＝4＝【ｃｍ】を代入すると
8a=4となり、a=1/2となります。
よって、ｙ＝1/2ｘが答えとなります。

練習問題をいくつかやってみましょう！

例題4-1

次の文のｙをｘの式で表しなさい。
①同じ大きさのくぎがたくさんあり、その中から30本の釘を取り出し重さをはかると40ｇだった。この釘ｘ本の重さをｙｇとする。
②ある針金の3ｍの重さが100ｇだった。この針金ｘｃｍの重さをｙｇとする。

解説4-1

両方とも単位にしっかりと注目することがポイントです。
①基本式であるy=axにｘ＝30＝【本】、ｙ＝40＝【ｇ】を代入すると
30a＝40となり、a=4/3となる。
よって、答えはｙ＝4/3ｘである。

②基本式であるy=axにｘ＝3ｍ＝3000【ｃｍ】、ｙ＝100＝【ｇ】を代入すると
3000a=100となり、a=1/30となります。
よって、答えはｙ＝1/30ｘである。