【数学】文章題対策!方程式の応用問題

前回は方程式の解き方について勉強していきました。

今回は文章問題の解き方のコツを解説していきます!
一見難しそうな問題もステップを踏んでいけば簡単に解けます。早速やっていきましょう!

目次

1.方程式と文章題

方程式の文章題の解き方をまとめていきます。
④・⑤は前回の復習です。
求めたいものを文字にする
「=」に注目して言葉で式を立てる
②で立てた式を文字を使って表す
左辺に文字だけ、右辺に数字だけになる様に移項をする。
「x=○」にするために、xについている係数の逆数を両辺に掛ける。
単位に注目して答えを書く
それでは早速問題に挑戦していきましょう!

例題1

1個90円 のリンゴをいくつか買って、250円 のカゴに入れてもらうと、代金の合計が 1330円 になりました。このとき、リンゴをいくつ買ったでしょう。

解答1

手順通りにやっていきましょう。
①の求めたいものは文末の「りんごをいくつ買ったでしょう」に注目すると「買ったリンゴの数」を文字で置けばよいと分かります。
②「=」で結ばれるのは「買ったものの合計」と「代金の合計」です。これを踏まえると
「1個90円のリンゴをx個と250円のカゴ」=「代金の合計1330円」となります。
③文字を使って表していきましょう。
90円のリンゴをx個買うと代金は90×x=90xとなります。よって
「90x+250=1330」となります。
ここから方程式を解いていく問題になります。
④左辺に文字だけ、右辺に数字だけに変形すると
90x=1330-250
90x=1080
⑤90の逆数を両辺にかけます。
90x×1/90=1080×1/90
x=12
⑥単位は「個」なので答えは12個となります。

2.色々なパターンの方程式

前節の例題のような「個数と代金」のように、方程式の文章題には決まったパターンがあります。
この章では「個数と代金」・「数の関係」・「ものと人数」・「速さ」の4つの代表的なパターンの問題を取り扱っていきます。

2-1.個数と代金

個数の代金は商品の値段×個数の合計が代金の合計と等しいとなる問題が多いです。
今回は少しややこしい問題を取り扱っていきます。

例題2-1

(1) りんご 5 個とみかん 10 個買った。代金の合計は 1500 円だった。
りんご 1 個の値段はみかん 1 個より 30 円高い。みかんは 1 個いくらか。

(2) 80 円の鉛筆と 100 円のボールペンを合わせて 15 本買った。代金の合計は1340 円だった。
それぞれ何本ずつ買ったのか。

解答2-1

(1)手順①の求めたいものは「みかんは 1 個いくらか。」より、みかんをx円とする。
手順②「りんご5 個とみかん 10 個の代金」=「代金の合計1500円」
手順③ここがややこしいです。みかんは①よりx円と表せますが、りんごは書いてありません。そこで「りんご 1 個の値段はみかん 1 個より 30 円高い。」を使います。するとみかんをx円と置いたので、(x+30)円と表すことができます。
よって、「5(x+30)+10x=1500」となります。
手順④15x=1350
手順⑤x=90
手順⑥答えは90円です。

(2)手順①がややこしいです。「それぞれ何本ずつ買ったのか。」が求めたいものですが、同時に二つを答えることはできないので、鉛筆をx本とします。
手順②「80円の鉛筆の代金と100円のボールペンの代金」=「代金の合計1340円」
手順③ボールペンの本数は(15-x)本と表せるので「80x+100(15-x)=1340」となります。
手順④-20x=-160
手順⑤x=8
手順⑥答えはそれぞれの本数だったことに注意すると、鉛筆8本、ボールペン7本が答えとなります。

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2-2.数の関係

数の関係は身近なものが例に上がらないのでイメージがしにくいのが特徴です。
ただ、慣れてしまうと言葉の式が立てやすいのでむしろ簡単な問題だと思います。

例題2-2

ある数と 5 との和の 3 倍はもとの数の 7 倍から 1 を引いたものと等しい。もとの数を求めよ。

解答2-2

手順①もとの数(=ある数)をxとします。
手順②「ある数と 5 との和の 3 倍」=「もとの数の 7 倍から 1 を引いたもの」
手順③「3(x+5)=7x-1」
手順④-4x=-16
手順⑤x=4
手順⑥答えは4になります。

2-3.ものと人数

ものと人数は今回扱うパターンの中で一番ややこしい問題です。
手順②をしっかり作れるように練習を重ねると良いです。

例題2-3

折り紙を子供に配る。3枚ずつ配ると20枚あまり、4枚ずつ配ると5枚足りなくなる。

子供の人数と折り紙の枚数を求めなさい。

解答2-3

子どもの人数をxとするやり方と、折り紙の枚数をxとするやり方の2種で解くことができます。
それぞれ実際にやってみたいと思います。

(ⅰ)手順①子どもの人数をx人とする。
手順②「3枚ずつ配ると20枚あまり」と「4枚ずつ配ると5枚足りなくなる」の時も「折り紙の枚数」は同じになることに注目する。
すなわち、「x人の子どもに3枚ずつ配って20枚あまる」と「x人の子どもに4枚ずつ配って5枚足りない」時の「折り紙の枚数」は同じになります。
手順③「3x+20=4x-5」
手順④-x=-25
手順⑤x=25
手順⑥子どもの人数が25人、折り紙の枚数が95枚となります。

(ⅱ)手順①折り紙の枚数をx枚とする。
手順②「子どもの人数」が同じになることに注目する。「折り紙に20枚引いて3で割った数」と「折り紙に5枚足して4で割った数」が同じになります。
手順③「(x-20)/3=(x+5)/4」
手順④・⑤x=95
手順⑥折り紙の枚数が95枚、子どもの人数が25人となります。

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2-4.速さ

速さの問題は道のり・時間・速さをしっかり押さえておけば大丈夫です。
3パターンを覚えておきましょう。
道のり=速さ×時間
速さ=道のり÷時間
時間=道のり÷速さ

例題2-4

花子さんが家をでて毎分40mで歩いていった。その10分後に母が毎分120mで花子さんを追いかけた。

母が花子さんに追いつくのは花子さんが家を出てから何分後か。

解答2-4

手順①花子さんが家を出てから母が花子さんに追いつくまでをx分後とする。
手順②追いつくときは移動した距離が同じになるという事なので、「花子さんが進んだ道のり」と「母が進んだ道のり」が同じになります。
手順③道のり=速さ×時間より、「40x=120(x-10)」
手順④-80x=-1200
手順⑤x=15
手順⑥15分後がこたえとなる

趣味:サイクリング

学習アドバイザー 後藤

家庭教師のやる気アシストで、学習アドバイザーとして年間600人以上のお子さんの勉強のお悩みを解決!たくさんのお悩みを解決してきた学習アドバイザーの目線から、勉強に関する様々なことを記事にしています。
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