前回は空間図形の色々な立体について学んでいきました。
今回は空間図形の体積や表面積などについて見ていきたいと思います。
ここは苦手にするお子さんが多い分野なのでしっかりと押さえていきましょう!
角柱とは三角柱や四角柱(立方体や直方体)などを言います。
表面積という新しい言葉が出来てきましたが、「表面の全部の体積のこと」を表面積と呼びます。
表面積=底面積+側面積で求めることができますが、「表面の全部の体積のこと」と覚えておくと便利です。
早速問題を解きながら学んでいきましょう。
以下の三角柱の表面積を求めよ
表面積とは「表面の全部の体積のこと」でした。その為展開図を見てみて、全ての面積を足し合わせれば答えになります。
上記を見てみると、三角形の底面積が2枚、長方形の側面積が3枚の計5つの面積の足し算をすればOKです。
底面積:3×4÷2×2=12cm²
側面積:5×8+4×8+3×8=96cm²
よって、表面積は108cm²が答えとなります。
以下の直方体の表面積を求めよ
この場合も同じ様に展開図にして考えてみましょう。
上記を見てみると、底面積が2枚、側面積が4枚の計6つの面積の足し算をすればOKです。
底面積:4×3×2=24cm²
側面積:4×5×2+3×5×2=70cm²
よって、表面積は94cm²が答えとなります。
この章では円柱の表面積の求め方を学んでいきます。
前章で習った通り、表面積とは「表面の全部の体積のこと」と捉えていきましょう。
円柱の表面積は側面積の長方形の横の長さが底面積の円周と同じ大きさになることがポイントです。
早速見ていきましょう。
以下の円柱の表面積を求めよ
表面積を求めるときには展開図です。やってみましょう!
赤線の「?」の部分が重要になってきます。ここは底面積の円周の長さになりましたね。
底面積:5×5×π×2=50πcm²
側面積:9×(5×2×π)=90πcm²
よって、表面積は140πcm²が答えになります。
さて、ここからは「柱」ではなく、「錐」を見ていきたいと思います。
基本の考え方は同じです。表面積は「表面の全部の体積のこと」でしたね。
以下の四角錐の表面積を求めよ
展開図は上記のようになります。底面積が1枚と側面積が4枚の計5つの面積の足し算をすればOKです。
底面積:8×8=64cm²
側面積:8×12÷2×4=192cm²
よって、表面積は256cm²が答えとなります。
次に円錐の表面積を見ていきましょう。くどいようですが、表面積は「表面の全部の体積のこと」です。
円錐の場合のポイントは側面積のおうぎ形の弧の長さが底面積の円周と同じになることです。
以下の円錐の表面積を求めよ
展開図はこのようになります。底面積の円と側面積のおうぎ形の2つに分かれます。
本来であれば中心角の角度を求めておうぎ形の面積を求めていきますが、今回は省略し、半径×弧の長さ÷2で求めていきます。詳しくはこちらの記事で解説しています。
底面積:6×6×π=36πcm²
側面積:9×(6×2×π【底面積の円周の長さ】)÷2=54πcm²
よって、表面積は90πcm²となります。
ここからは体積を学んでいきたいと思います。体積は表面積と違って簡単です!
公式があるのでしっかり覚えていきましょう!単位が「cm²」ではなく「cm³」なので注意してください。
「柱の体積=底面積×高さ」で求めることができます。
早速例題を解いていきましょう!
以下の立体の体積を求めよ
それぞれ公式に当てはめていけば簡単に求めることができます。
①:5×12×÷2×10=300cm³
②:5×5×π×8=200πcm³
単位に注意して下さいね。
錐の体積は柱の3分の1になるので、柱の体積の公式に÷3をすれば求めることができます。
公式は「錐の体積=底面積×高さ÷3」です。早速解いていきましょう。
以下の立体の体積を求めよ
今回も公式に当てはめていけば大丈夫です。
①:3×3×4÷3=12cm³
②:3×3×π×4÷3=12πcm³
単位を「cm²」としないように気を付けてください。
「球」とは「円」の立体バージョンです。実生活でも触れるので形のなじみはあると思います。こういうものです。
球の体積と表面積は公式が決まっているので覚えておけばOKです!
球の体積=4×π×半径³÷3
球の表面積=4×π×半径²
です。
僕は体積の公式を(身の上心配アール参上【みのうえ(3分の)し(4)んぱい(π)あーる(半径)さんじょう(³)】)と覚えるようにしています。
表面積は「³」の部分と「3分の」が相殺して「²」になると覚えています。【高校になると微分という単元で説明できるようになります】
半径6cmの球の体積と表面積を求めよ
公式に当てはめればOKなので
体積:4×π×6³÷3=288πcm³
表面積:4×π×6²=144πcm²
が答えとなります。
最後までお読みいただきありがとうございました。
他にも様々なお役立ち情報をご紹介しているので、ぜひご参考にしてください。
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【定期テストについてのお役立ち情報】
前回は平面図形について学んでいきました。
今回は空間図形の分野に入り、基本の言葉を中心に学んでいきましょう!
中学校1年生の数学の中で最大の山ですが、ここを越えれば後はちょろっとした計算の分野だけなので頑張って押さえていきましょう。
【定期テストについてのお役立ち情報】
前回は空間図形の体積や表面積の求め方について学んでいきました。
今回は資料の活用の分野について学んでいきたいと思います。
中学校1年生の数学もこの分野で最後です。頑張っていきましょう!
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