【広島県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験:数学

広島県の2021年3月実施の令和3年度(2021年度)入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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国語:解答

問題文

次の(1)~(8)に答えなさい。
(1)6-5-(-2)を計算しなさい。

(2)a=4のとき,6a²÷3aの値を求めなさい。

(3)√2×√6+9/√3を計算しなさい。

(4)方程式x²+5x-6=0を解きなさい。

(5)図のように,BC=3㎝,AC=5㎝,∠BCA=90°の直角三角形ABCがあります。直角三角形ABCを,辺ACを軸として1回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。ただし,円周率はπとします。

(6)2点A(1,7),B(3,2)の間の距離を求めなさい。

(7)右の図の①~③の放射物は、下のア~ウの関数のグラフです。①~③は、それぞれどの関数のグラフですか。ア~ウの中から選び、その記号をそれぞれ書きなさい。
ア y=2x²
イ y=1/3x²
ウ y=-X²

(8)数字を書いた4枚のカード,【1】,【2】,【3】,【4】が袋の中に,数字を書いた3枚のカード,【1】,【2】,【3】が袋の中に入っています。それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出すとき,その2枚のカードに書いてある数の和が6以上になる確率を求めなさい。

解答

(1) 【正答 3】

(2) 【正答 8】

(3) 【正答 5√3】

(4) 【正答 x=-6,1】

(5) 【正答 15π】

(6) 【正答 √29】

(7)① 【正答 イ】
(7)② 【正答 ア】
(7)③ 【正答 ウ】

(8) 【正答 1/4】

大問2

問題文

次の(1)~ (3)に答えなさい。

(1)4<√a<13/3に当てはまる整数aの値を全て求めなさい。

(2)下の図のように,線分AB上に点Cがあり,AC=CB=3cmです。線分AC上に点Pをとります。このとき,APを1辺とする正方形の面積とPBを1辺とする正方形の面梢の和は,PCを1辺とする正方形の面積とCBを1辺とする正方形の面梢の和の2倍に等しくなります。このことを,線分APの長さをXcmとして,Xを使った式を用いて説明しなさい。ただし,点Pは点A,Cと重ならないものとします。

(3)Aさんは駅を出発し,初めの10分間は平らな道を,そのあとの9分間は坂道を歩いて図書館に行きました。下の固は,Aさんが駅を出発してからX分後の駅からの距離をym とし,Xとyの関係をグラフに表したもので,10≦X≦19のときのyをXの式で表すとy= 40x + 280です。Bさんは,Aさんが駅を出発した8分後に自転車で駅を 出発し,Aさんと同じ道を通って,平らな道,坂道ともに分速160mで同書館に行きました。 Bさんはその途中でAさんに追いつきました。BさんがAさんに追いついたのは,駅から何mのところですか。

解答

(1) 【正答 17,18】

(2) 【正答 (例)
APを1辺とする正方形の面積はx²㎠…①
PBを1辺とする正方形の面積は(6-x)²=x²-12x+36(㎠)…②
①,②より、APを1辺とする正方形の面積とPBを1辺とする正方形の面積の和は
x²+x²-12x+36=2x²-12x+36…③
PCを1辺とする正方形の面積は
(3-x)²=x²-6x+9(㎠)…④
CBを1辺とする正方形の面積は9㎠…⑤
④,⑤より、PCを1辺とする正方形の面積とCBを1辺とする正方形の面積の和の2倍は
(x²-6x+9+9)×2=2x²ー12x+36…⑥
③,⑥より、APを1辺とする正方形の面積とPBを1辺とする正方形の面積の和は、PCを1辺とする正方形の面積とCBを1辺とする正方形の面積の和の2倍に等しくなる。】

(3) 【正答 800】

大問3

問題文

下の図のように, AD II BCの台形ABCDがあります。辺BC上に点E, 辺CD 上に点F を, BD II E Fとなるようにとります。また,線分BF と線分EDとの交点を Gとします。 BG:GF =5:2 となるとき,△ABEの面積Sと△ GEF の面積 Tの比を,最も簡単な整数の比で表しなさい。

解答

【正答 35:4】

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大問4

問題文

下の図のように,y軸上に点A(0, 5)があり,関数y=a/x含のグラフ上に,y座標が5 より大きい範囲で動く点Bとy座標が 2 である点Cがあります。直線ABとX軸との交点をDとします。また,点CからX軸に垂線を引き,X軸との交点をEとします。ただし, a > 0 とします。

次の(1).(2)に答えなさい。
(1)a=8のとき,点Cのx座標を求めなさい。
(2)DA = AB, DE = 9となるとき,aの値を求めなさい。

解答

(1) 【正答 4】

(2) 【正答 15】

大問5

問題文

A市役所で働いている山本さんと藤井さんは,動画を活用した広報活動を担当しています。山本さんたちは,A市の動画の再生回数を増やすことで,A市の魅力をより多くの人に知ってもらいたいと考えています。そこで,インタネット上に投稿した動画が人気となっているA市出身のXさんーとYさんとZさんのうちの1人に,A市の新しい動画の作成を依頼しようとしています。

山本「A 市が先月投稿した動画の再生回数は,今はどれくらいになっているかな?」
藤井「先ほど確認したところ,今は 1200 回くらいになっていました。 新しい動画では再生回数をもっと増やしたいですね。」
山本「そうだよね。 Xさん,Yさん,Zさんの誰に動画の作成を依頼したらいいかな。」
藤井「まずは, 3 人が投稿した動画の再生回数がどれくらいなのかを調べましょう。」

次の (1) · (2) に答えなさい。
(1)藤井さんは,Xさん,Yさん,zさんが投稿した動画のうち,それぞれの直近50本の動画について再生回数を調べ,下の【資料I】にまとめ,山本さんと話をしています。

藤井「【資料 I】から, Xさんの再生回数の平均値は, Y さん, Z さんよりも 3 万回以上少ないことが分かりますね。」
山本「そうだね。 それと, ① Xさんについては再生回数の範囲も,Yさん,Zさんよりも小さいね。」

下線部①について,Xさんの再生回数の範囲として適切なものを下のア~工の中から 選び,その記号を書きなさい。
ア 5.8万回
イ 6.6万回
ウ 12.4 万回
エ 32.8万回

(2)山本さんたちは,(1)の【資料I】の分析から,A市の新しい動画の作成をYさんかZさんに依頼することにしました。さらに分析をするために,Yさん,Zさんが投稿した動画 のうち,直近50本の動画の再生回数のヒストグラムを作成し,下の【資料Ⅱ】にまとめました。【資料Ⅱ】のヒストグラムでは,例えば,直近50本の動画の再生回数が10万回以上 12万回未満であった本数が,Yさん,Zさんとも5本ずつあったことを表しています。

 A市の動画の再生回数を増やすために,A市の新しい動画の作成を,あなたなら,Yさんと Zさんのどちらに依頼しますか。また,その人に依頼する理由を,【資料l1】のYさんと zさんのヒストグラムを比較して,そこから分かる特徴を基に,数値を用いて説明しなさい。

解答

(1) 【正答 ウ】

(2) 【正答 (例)
(Yさんに依頼する場合)
再生回数の最頻値に着目すると、Yさんは23万回、zさんは19万回なので、Yさんが作成する動画の方が、Zさんが作成する動画より再生回数が多くなりそうである。だから、Yさんに依頼する。
(Zさんに依頼する場合)
再生回数が18万回以上の階級の度数の合計に着目すると、Yさんは26本、Zさんは33本なので、Zさんが作成する動画の方が、Yさんが作成する動画より再生回数が多くなりそうである。だから、Zさんに依頼する。】

大問6

問題文

 中学生の航平さんは,「三角形の3つの辺に接する円の作図」について,高校生のお兄さんの啓太さんと話をしています。

航平「数学の授業で,先生から,これまで学習したことを用いると,三角形の 3 つの辺に接する円を作図できると聞いたんだけど,どうやったら作図できるんだろう。」
啓太「①角の二等分線の作図と②垂線の作図の方法を知っていれば,その円を作図できるよ。」
航平「その 2 つの方法は習ったし,角の二等分線の作図の方法が正しいことも証明したよ。」
啓太「そうなんだね。実は,三角形の 2 つの角の二等分線の交点が,その円の中心になるんだよ。 三角形の 3 つの辺に接する円の作図には,いろいろな図形の性質が用いられているから,作図をする際には振り返るといいよ。」

次の(1)~ (3)に答えなさい。
(1)下線部①について,航平さんは,下の【角の二等分線の作図の方法】を振り返りました。

【角の二等分線の作図の方法】において,作固した半直線ORが ∠XOYの二等分線であることを,三角形の合同条件を利用して証明しなさい。

(2)下線部②について,航平さんは,右の図の△ABCにおいて,∠ABC, ∠ACB の二等分線をそれぞれ引き, その交点をIとしました。そして,下の 【手順】によって点Iから辺BCに垂線を引きました。

【手順】の【ア】・【ウ】に当てはまる点をそれぞれ答えなさい。また,【イ】・【エ】 に当てはまる線分をそれぞれ答えなさい。

 航平さんは,点Iから辺BCに引いた垂線と辺BCとの交点をDとしました。同じようにして, 点Iから辺CA,ABにも垂線を引き,辺CA,ABとの交点をそれぞれE,Fとしました。
そして,角の二等分線の性質から ID=IE=IF であり,点 I を中心とし,IDを半径とする円が,円の接線の性質から△ABCの3つの辺に接する円であることが分かりました。

(3) さらに,航平さんは,コンピュ ー タを使って△ABCの 3 つの辺に接する円をかき,下の図のように,辺BCをそのままにして点Aを動かし,△ABCをいろいろな形の三角形に変え, いつでも成り立ちそうなことがらについて調べました。

航平さんは,下の図のように,∠BACの大きさを,鋭角,直角,鈍角と変化させたときの△DEFに着目しました。

航平さんは,△ABCがどのような三角形でも,△DEFが鋭角三角形になるのではない だろうかと考え,それがいつでも成り立つことを,下のように説明しました。

【航平さんの説明】の【オ】に当てはまる式を,∠Xを用いて表しなさい。また,【カ】· 【キ】に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

解答

(1) 【正答 (例)
点Pと点R、点Qと点Rをそれぞれ結ぶ。
△PORと△QORにおいて
OP=OQ…①
PR=QR…②
共通な辺であるから
OR=OR…③
①、②、③より、3組の辺がそれぞれ等しいから
△POR=△QOR
合同な図形の対応する角は等しいから
∠POR=∠QOR】
したがって、ORは∠XOYの二等分線である。

(2)ア 【正答 B】
(2)イ 【正答 BI】
(2)ウ 【正答 C】
(2)エ 【正答 CI】

(3)オ 【正答 90°-1/2∠x】
(3)カ 【正答 0】
(3)キ 【正答 90】

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